Vamos a calcular una primitiva de la función \(f(x)=\dfrac{1}{x^2-a^2}\) donde \(a\) es un número real cualquiera distinto de cero. Es decir, se trata de calcular la integral indefinida \(\displaystyle\int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}\). Para ello vamos a descomponer en dos fracciones simples la fracción \(\dfrac{1}{x^2-a^2}\). Como \(x^2-a^2=(x+a)(x-a)\), tenemos:
\[\frac{1}{x^2-a^2}=\frac{E}{x+a}+\frac{F}{x-a}=\frac{E(x-a)+F(x+a)}{(x+a)(x-a)}=\]
\[=\frac{Ex-Ea+Fx+Fa}{x^2-a^2}=\frac{(E+F)x-Ea+Fa}{x^2-a^2}\]
De aquí se deduce, igualando las fracciones algebraicas primera y última, que
\[\begin{cases}E+F=0\\-Ea+Fa=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}E=-F\\2Fa=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}E=-\frac{1}{2a}\\F=\frac{1}{2a}\end{cases}\]
Es decir:
\[\frac{1}{x^2-a^2}=\frac{-\frac{1}{2a}}{x+a}+\frac{\frac{1}{2a}}{x-a}\]
Por tanto:
\[\int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}=\int{\frac{-\frac{1}{2a}}{x+a}dx}+\int{\frac{\frac{1}{2a}}{x-a}dx}=\]
\[=-\frac{1}{2a}\int{\frac{1}{x+a}dx}+\frac{1}{2a}\int{\frac{1}{x-a}dx}=-\frac{1}{2a}\ln|x+a|+\frac{1}{2a}\ln|x-a|+C=\]
\[=\frac{1}{2a}(\ln|x-a|-\ln|x+a|)+C=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C\]
O sea:
\[\int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C\qquad(1)\]
Ejemplo
Calcular \(\displaystyle\int{\frac{2}{4x^2-1}dx}\)
Solución.
\[\int{\frac{2}{4x^2-1}dx}=2\int{\frac{1}{4x^2-1}dx}=2\int{\frac{\frac{1}{4}}{x^2-\frac{1}{4}}dx}=\]
\[=2\cdot\frac{1}{4}\int{\frac{1}{x^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2}dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2}dx}\]
La integral \(\displaystyle\int{\frac{1}{x^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2}dx}\) es del tipo \(\displaystyle\int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}\) con \(a=\dfrac{1}{2}\). Por tanto, usando la fórmula \((1)\):
\[\int{\frac{1}{x^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2}dx}=\frac{1}{2\cdot\frac{1}{2}}\ln\left|\frac{x-\frac{1}{2}}{x+\frac{1}{2}}\right|+C=\ln\left|\frac{2x-1}{2x+1}\right|+C\]
Entonces:
\[\int{\frac{2}{4x^2-1}dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2}dx}=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{2x-1}{2x+1}\right|+C\]
