La vida es fascinante; sólo hay que mirarla a través de las gafas correctas
Lo mejor es ver cómo se hace con un ejemplo concreto.
Consideremos la matriz
$$A=\begin{pmatrix}
2&1&0\\
0&1&3\\
2&1&1
\end{pmatrix}$$
El objetivo es hallar una matriz $A^{-1}$ tal que $AA^{-1}=A^{-1}A=I$, donde
$$I=\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}$$
es la matriz identidad de orden 3. Esta matriz, $A^{-1}$, se llama inversa de $A$.
Lo primero de todo es hallar el determinante de la matriz $A$. Esto es porque hay un teorema que dice que “una matriz cuadrada tiene inversa si, y solo si, su determinante es distinto de cero”. Por tanto, si el determinante de la matriz $A$ es igual a cero, la matriz $A$ no tendrá inversa y se detiene el proceso. Si el determinante no es cero, su valor nos servirá para hallar la inversa de la matriz $A$ usando una fórmula que veremos al final.
Ahora debemos de hallar una matriz, llamada matriz adjunta de la matriz $A$, que la vamos a denominar $A^d$. Esta es una matriz muy peculiar pues cada uno de sus elementos son lo que se llaman adjuntos. Es un proceso puede que, al principio, un poco largo, pero es muy sencillo.
Del primer elemento de la matriz $A$, que es el $a_{11}=2$ vamos a eliminar la fila y la columna donde se encuentra. Observaremos entonces que queda una matriz de orden 2. Fíjate:
$$\begin{pmatrix}
2&1&0\\
0&1&3\\
2&1&1
\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{pmatrix}
1&3\\
1&1
\end{pmatrix}$$
Ahora hallamos el determinante de esta última matriz de orden 2:
$$\begin{vmatrix}
1&3\\
1&1
\end{vmatrix}=1-3=-2\Rightarrow\Delta_{11}=-2$$
El determinante anterior recibe el nombre de menor complementario del elemento $a_{11}$ de la matriz $A$, y como acabas de ver, se escribe con el símbolo $\Delta_{11}$. Cada elemento $a_{ij}$ de la matriz $A$ tendrá su menor complementario $\Delta_{ij}$, que se obtendrá haciendo el determinante de la matriz de orden 2 que resulta de eliminar la fila y la columna donde se encuentra el elemento $a_{ij}$.
Vamos a hallar los ocho menores complementarios restantes. Esto, con el tiempo, lo harás de cabeza, sin necesidad de escribirlos. Imagina, además, la fila y la columna de las que has de prescindir para obtener el correspondiente menor de orden dos.
$$\begin{pmatrix}
2&1&0\\
0&1&3\\
2&1&1
\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{pmatrix}
0&3\\
2&1
\end{pmatrix}\Rightarrow\Delta_{12}=\begin{vmatrix}
0&3\\
2&1
\end{vmatrix}=0-6=-6$$
$$\begin{pmatrix}
2&1&0\\
0&1&3\\
2&1&1
\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{pmatrix}
0&1\\
2&1
\end{pmatrix}\Rightarrow\Delta_{13}=\begin{vmatrix}
0&1\\
2&1
\end{vmatrix}=0-2=-2$$
$$\begin{pmatrix}
2&1&0\\
0&1&3\\
2&1&1
\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{pmatrix}
1&0\\
1&1
\end{pmatrix}\Rightarrow\Delta_{21}=\begin{vmatrix}
1&0\\
1&1
\end{vmatrix}=1-0=1$$
$$\begin{pmatrix}
2&1&0\\
0&1&3\\
2&1&1
\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{pmatrix}
2&0\\
2&1
\end{pmatrix}\Rightarrow\Delta_{22}=\begin{vmatrix}
2&0\\
2&1
\end{vmatrix}=2-0=2$$
$$\begin{pmatrix}
2&1&0\\
0&1&3\\
2&1&1
\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{pmatrix}
2&1\\
2&1
\end{pmatrix}\Rightarrow\Delta_{23}=\begin{vmatrix}
2&1\\
2&1
\end{vmatrix}=2-2=0$$
$$\begin{pmatrix}
2&1&0\\
0&1&3\\
2&1&1
\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{pmatrix}
1&0\\
0&3
\end{pmatrix}\Rightarrow\Delta_{31}=\begin{vmatrix}
1&0\\
0&3
\end{vmatrix}=3-0=3$$
$$\begin{pmatrix}
2&1&0\\
0&1&3\\
2&1&1
\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{pmatrix}
2&0\\
0&3
\end{pmatrix}\Rightarrow\Delta_{32}=\begin{vmatrix}
2&0\\
0&3
\end{vmatrix}=6-0=6$$
$$\begin{pmatrix}
2&1&0\\
0&1&3\\
2&1&1
\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{pmatrix}
2&1\\
0&1
\end{pmatrix}\Rightarrow\Delta_{33}=\begin{vmatrix}
2&1\\
0&1
\end{vmatrix}=2-0=2$$
Es muy importante andar con sumo cuidado en el cálculo de los menores complementarios sobre todo con la regla de los signos al multiplicar y al restar.
El siguiente paso es hallar el adjunto asociado a cada menor complementario $\Delta_{ij}$, que lo llamaremos $A_{ij}$. Esto es muy sencillo porque los adjuntos son exactamente iguales que los menores complementarios si la suma de su fila y columna es par, y son los menores complementarios cambiados de signo si la suma de su fila y de su columna es impar. Un poco “lioso” de decir pero muy fácil de ver:
$A_{11}=\Delta_{11}=-2$. No cambiamos el signo porque $1+1=2$, que es par.
$A_{12}=-\Delta_{12}=-(-6)=6$. Cambiamos el signo porque $1+2=3$, que es impar.
$A_{13}=\Delta_{11}=-2$. No cambiamos el signo porque $1+3=4$, que es par.
$A_{21}=-\Delta_{21}=-1$. Cambiamos el signo porque $2+1=3$, que es impar.
$A_{22}=\Delta_{22}=2$. No cambiamos el signo porque $2+2=4$, que es par.
$A_{23}=-\Delta_{23}=-0=0$. Cambiamos el signo porque $2+3=5$, que es impar (aunque el cero queda igual).
$A_{31}=\Delta_{31}=3$. No cambiamos el signo porque $3+1=4$, que es par.
$A_{32}=-\Delta_{32}=-6$. Cambiamos el signo porque $3+2=5$, que es impar.
$A_{33}=\Delta_{33}=2$. No cambiamos el signo porque $3+3=6$, que es par.
Pues bien, hecho esto ya casi hemos terminado. Ahora construimos una matriz, llamada matriz adjunta de la matriz $A$, y que nombraremos así: $A^d$. Los elementos de esta matriz son los adjuntos que hemos hallado anteriormente:
$$A^d=\begin{pmatrix}
A_{11}&A_{12}&A_{13}\\
A_{21}&A_{22}&A_{23}\\
A_{31}&A_{32}&A_{33}
\end{pmatrix}$$
En nuestro ejemplo la matriz adjunta será:
$$A^d=\begin{pmatrix}
-2&6&-2\\
-1&2&0\\
3&-6&2
\end{pmatrix}$$
La matriz inversa de la matriz $A$ viene dada por la siguiente fórmula:
$$A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}\left(A^d\right)^t$$
En la fórmula anterior la matriz $\left(A^d\right)^t$ es la traspuesta de la matriz adjunta.
En nuestro ejemplo esta última matriz es
$$\left(A^d\right)^t=\begin{pmatrix}
-2&-1&3\\
6&2&-6\\
-2&0&2
\end{pmatrix}$$
y, finalmente, la inversa de $A$ será, aplicando la fórmula:
$$A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}\left(A^d\right)^t=\frac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix}
-2&-1&3\\
6&2&-6\\
-2&0&2
\end{pmatrix}\Rightarrow A^{-1}=\begin{pmatrix}
-1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\
3&1&-3\\
-1&0&1
\end{pmatrix}$$
Ahora se puede hacer la comprobación de que, efectivamente, la inversa está bien hecha:
$$AA^{-1}=\begin{pmatrix}
2&1&0\\
0&1&3\\
2&1&1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\
3&1&-3\\
-1&0&1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}=I$$
$$A^{-1}A=\begin{pmatrix}
-1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\
3&1&-3\\
-1&0&1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2&1&0\\
0&1&3\\
2&1&1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}=I$$
