El álgebra es generosa; siempre da más de lo que pide

Jean le Rond d’Alembert

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Consideremos un sistema de \(n\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas como el siguiente:

$$\left\{\begin{array}{c}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n=b_2 \\………………………… \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\ldots+a_{nn}x_n=b_n \end{array}\right.$$

La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada del sistema son las siguientes:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array}\right)\quad;\quad A|b=\left(\begin{array}{cccc|c}a_{11} & a_{12} & \ldots &a_{1n} & b_1\\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & b_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} & b_n\\ \end{array}\right)$$

Según el teorema de Rouché, si el rango de la matriz de los coeficientes es igual que el rango de la matriz ampliada el sistema es compatible. Si además, dicho rango coincide con el número de incógnitas, es decir, si \(r(A)=r(A|b)=n\), entonces el sistema es compatible determinado, o sea, que tiene solución única. La condición necesaria y suficiente para que se cumpla lo anterior es que el determinante de la matriz de los coeficientes sea distinto de cero, es decir:

$$|A|\neq0\Leftrightarrow r(A)=r(A|B)=n$$

En este caso, la solución del sistema viene dada por según una serie de identidades que se conocen con el nombre de regla de Cramer:

$$x_1=\frac{\left|\begin{array}{cccc}b_1 & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\b_2 & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\b_n & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{array}\right|}{|A|} , x_2=\frac{\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & b_1 & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & b_2 & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & b_n & \ldots & a_{nn}\end{array}\right|}{|A|},\ldots,x_n=\frac{\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \ldots & b_1 \\a_{21} & a_{22} & \ldots & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \ldots & b_n\end{array}\right|}{|A|}$$

Obsérvese que, en la práctica, para obtener la incógnita \(x_i\) se dividen los valores de dos determinantes. El del numerador es el mismo que el de la matriz de los coeficientes, con la salvedad de que la columna \(i\) se sustituye por la columna de los términos independientes. El denominador es el determinante de la matriz de los coeficientes en todos los casos.

Veamos algunos ejemplos de aplicación de la regla de Cramer.

Ejemplo 1

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases}8x-6y+2z=-1\\3x+y-z=10\\-x+3y-2z=5\end{cases}$$

El determinante de la matriz de los coeficientes es:

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}8 & -6 & 2 \\3 & 1 & -1\\-1 & 3 & -2\end{array}\right|=(-16-6+18)-(-2+36-24)=-4-10=-14$$

Como el determinante anterior es distinto de cero el sistema es compatible determinando (rango de la matriz de los coeficientes, igual al rango de la matriz ampliada, igual a tres, que es el número de incógnitas). Aplicando la regla de Cramer obtenemos las soluciones:

$$x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}-1 & -6 & 2 \\10 & 1 & -1\\5 & 3 & -2\end{array}\right|}{-14}=\frac{(2+30+60)-(10+120+3)}{-14}=\frac{92-133}{-14}=\frac{-41}{-14}=\frac{41}{14}$$

$$y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}8 & -1 & 2 \\3 & 10 & -1\\-1 & 5 & -2\end{array}\right|}{-14}=\frac{(-160-1+30)-(-20+6-40)}{-14}=\frac{-131+54}{-14}=\frac{-77}{-14}=\frac{11}{2}$$

$$z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}8 & -6 & -1 \\3 & 1 & 10\\-1 & 3 & 5\end{array}\right|}{-14}=\frac{(40+60-9)-(1-90+240)}{-14}=\frac{91-151}{-14}=\frac{-60}{-14}=\frac{30}{7}$$

Ejemplo 2

La regla de Cramer también es útil cuando el sistema es compatible indeterminado. Consideremos el sistema siguiente:

$$\begin{cases}x+y+z+t=4\\x-y+z=1\\y-z+t=1\end{cases}$$

La matriz de los coeficientes es

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\1 & -1 & 1 & 0 \\0 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right)$$

cuyo rango es 3 porque contienen un menor de orden tres distinto de cero:

$$\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\1 & -1 & 1 \\0 & 1 & -1\end{array}\right|=(1+1)-(-1+1)=2-0=2$$

Por tanto, el rango de la matriz ampliada también es 3 (el menor anterior nos serviría para demostrarlo) y, como el número de incógnitas es 4, el sistema es compatible determinado. El grado de libertad del sistema es igual al número de incógnitas menos el rango, en este caso, es igual a 1. Si llamamos \(t=\lambda\) el sistema lo podemos reescribir así:

\begin{cases}x+y+z=4-\lambda\\x-y+z=1\\y-z=1-\lambda\end{cases}

El determinante hallado anteriormente es el determinante de la matriz de los coeficientes de este sistema, es decir, \(|A|=2\). Aplicando la regla de Cramer tenemos:

$$x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}4-\lambda & 1 & 1 \\1 & -1 & 1\\1-\lambda & 1 & -1 \end{array}\right|}{2}=\frac{(4-\lambda+1-\lambda+1)-(-1+\lambda-1+4-\lambda)}{2}=\frac{4-2\lambda}{2}=2-\lambda$$

$$y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}1 & 4-\lambda & 1 \\1 & 1 & 1\\0 & 1-\lambda & -1\end{array}\right|}{2}=\frac{(-1+1+\lambda)-(-4+\lambda+1-\lambda)}{2}=\frac{3-\lambda}{2}$$

$$z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 4-\lambda \\1 & -1 & 1\\0 & 1 & 1-\lambda \end{array}\right|}{2}=\frac{(-1+\lambda+4-\lambda)-(1-\lambda+1)}{2}=\frac{1+\lambda}{2}$$

Por tanto, las soluciones son:

$$(x,y,z,t)=\left(2-\lambda,\frac{3-\lambda}{2},\frac{1+\lambda}{2},\lambda\right)$$

Soluciones que también podemos escribir del siguiente modo:

$$(x,y,z,t)=\left(2,\frac{3}{2},\frac{1}{2},0\right)+\lambda\left(-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\right)$$

Desde el punto de vista geométrico, la igualdad anterior viene ser la ecuación vectorial de una recta en un espacio de dimensión cuatro. O sea, que el sistema de ecuaciones del cual hemos extraído las soluciones no es otra cosa que una recta en el hiperespacio.

Ejemplo 3

Usando la regla de Cramer también podemos hallar el punto de corte de dos rectas. Por ejemplo, sean las rectas

$$r\equiv\begin{cases}x+2y-z=1\\-x+y-3z=2\end{cases}\quad;\quad s\equiv\begin{cases}x+y=0\\3x+2y+z=a\end{cases}$$

Vamos a hallar el valor del parámetro \(a\) para el que ambas rectas son secantes y, para ese valor de \(a\), hallaremos el punto de corte. El sistema de ecuaciones formado por ambas rectas es

$$\begin{cases}x+2y-z=1\\-x+y-3z=2\\x+y=0\\3x+2y+z=a\end{cases}$$

La matriz de los coeficientes es

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\-1 & 1 & -3 \\1 & 1 & 0 \\3 & 2 & 1 \end{array}\right)$$

cuyo rango es 3 ya que contiene un menor de orden tres distinto de cero, por ejemplo

$$\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & -3 \\1 & 1 & 0\end{array}\right|=(-6+1)-(-1-3)=-5+4=-1\neq0$$

La matriz ampliada \(A|b\) es una matriz cuadrada de orden 4. Hallemos su determinante:

$$\left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & -1 & 1 \\-1 & 1 & -3 & 2 \\1 & 1 & 0 & 0 \\3 & 2 & 1 & a\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 1 \\-1 & 2 & -3 & 2 \\1 & 0 & 0 & 0 \\3 & -1 & 1 & a\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\2 & -3 & 2 \\ -1 & 1 & a\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\0 & -1 & 0 \\0 & 0 & a+1 \end{array}\right|=-a-1$$

En el primer paso se ha restado a la segunda columna la primera. Luego se ha desarrollado por la tercera fila.

De lo anterior se deduce que si \(a\neq-1\), el determinante anterior es distinto de cero, o lo que es lo mismo, el rango de la matriz ampliada es \(4\). Y como el rango de la matriz de los coeficientes es \(3\), el sistema será incompatible. En este caso las rectas no serán secantes (serán paralelas o se cruzarán).

Sin embargo, si \(a=-1\), el determinante anterior es igual a cero, con lo que el rango de la matriz ampliada y el de la matriz de los coeficientes es tres, igual que el número de incógnitas. Se trata pues de un sistema compatible determinado (solución única). Es decir, ambas rectas se cortan en un punto. Para hallar el punto de corte resolvemos el sistema. Como el rango es tres, podemos eliminar una de las ecuaciones y usar la regla de Cramer. Es decir, resolveremos el sistema siguiente:

$$\begin{cases}x+2y-z=1\\-x+y-3z=2\\x+y=0\\ \end{cases}$$

Ya hemos visto que el determinante de la matriz de los coeficientes es igual a \(-1\). Por tanto, por la regla de Cramer:

$$x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\2 & 1 & -3 \\0 & 1 & 0\end{array}\right|}{-1}=\frac{(-2)-(-3)}{-1}=\frac{1}{-1}=-1$$

$$y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\-1 & 2 & -3 \\1 & 0 & 0\end{array}\right|}{-1}=\frac{(-3)-(-2)}{-1}=\frac{-1}{-1}=1$$

$$z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\-1 & 1 & 2 \\1 & 1 & 0\end{array}\right|}{-1}=\frac{(4-1)-(1+2)}{-1}=\frac{0}{-1}=0$$

Resumiendo, si \(a=1\), las rectas son secantes y el punto de corte de las rectas \(r\) y \(s\) es el punto \((-1,1,0)\).

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La belleza, como el dolor, hace sufrir

Thomas Mann

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Un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con tres incógnitas tiene la siguiente forma

$$\left\{ \begin{array}{l}Ax + By + Cz + D = 0\\A’x + B’y + C’z + D = 0\end{array} \right.\qquad(1)$$

Ya sabemos que una ecuación lineal de primer grado con tres incógnitas es, desde el punto de vista geométrico, un plano en el espacio. En este caso tenemos dos en su forma general:

$$\pi \equiv Ax + By + Cz + D = 0\quad \text{;}\quad \pi’ \equiv A’x + B’y + C’z + D’ = 0$$

Las posibles posiciones relativas de dos planos en el espacio son tres: coincidentes, paralelos y secantes. Utilizaremos el teorema de Rouché para interpretar las soluciones del sistema e identificarlas con la posición relativa correspondiente.

Sean pues, respectivamente,

$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}A&B&C\\{A’}&{B’}&{C’}\end{array}} \right)\quad\text{;}\quad\left( {\begin{array}{*{20}{c}}A&B&C&-D\\{A’}&{B’}&{C’}&{-D’}\end{array}} \right)$$

la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada del sistema $(1)$. Como hay tres incógnitas escribiremos \(n=3\). Veamos ahora los casos que se pueden presentar.

Caso 1

$${\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}A&B&C\\{A’}&{B’}&{C’}\end{array}} \right) = {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}A&B&C&{-D}\\{A’}&{B’}&{C’}&{-D’}\end{array}} \right) = 1 < 3 = n$$

El sistema es compatible indeterminado. Es decir, existen infinitas soluciones. En este caso las filas son proporcionales, con lo que los dos planos serán coincidentes. La condición pues para que esto ocurra es

$$\pi \equiv \pi’ \Leftrightarrow \frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B’}} = \frac{C}{{C’}} = \frac{D}{{D’}}$$

Caso 2

$${\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}A&B&C\\{A’}&{B’}&{C’}\end{array}} \right) = 1 \ne {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}A&B&C&{-D}\\{A’}&{B’}&{C’}&{-D’}\end{array}} \right) = 2$$

El sistema no tiene solución, con lo que los planos serán paralelos. En este caso las filas de la matriz de los coeficientes son proporcionales, pero no lo son las de la matriz ampliada. Por tanto es fácil deducir que la condición para que los dos planos sean paralelos es la siguiente:

$$\pi\, |\,|\,\pi’ \Leftrightarrow \frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B’}} = \frac{C}{{C’}} \ne \frac{D}{{D’}}$$

Caso 3

$${\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}A&B&C\\{A’}&{B’}&{C’}\end{array}} \right) = {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}A&B&C&{-D}\\{A’}&{B’}&{C’}&{-D’}\end{array}} \right) = 2 < 3 = n$$

El sistema vuelve a ser compatible indeterminado. Es decir, hay infinitas soluciones. La única posibilidad es que estas soluciones, al ser el rango dos y no ser las filas proporcionales, estén sobre la recta donde se cortan ambos planos. En este caso los planos son secantes según una recta: \(\pi \cap \pi’ = r\). Las soluciones, o lo que es lo mismo, la recta de corte de ambos planos, se puede obtener hallando las soluciones del sistema (que dependerán de un parámetro). De este modo obtendríamos las ecuaciones paramétricas de la recta. De hecho, si los planos son secantes según una recta \(r\), al conjunto de las dos ecuaciones del sistema se les llama ecuaciones implícitas de la recta:

$$r \equiv \left\{ \begin{array}{l}Ax + By + Cz + D = 0\\A’x + B’y + C’z + D = 0\end{array} \right.$$

Veamos un ejemplo de este último caso.

Sean los planos \(\pi \equiv 2x – 3y + z – 1 = 0\) y \(\pi’ \equiv – x + y – 4z + 1 = 0\). El sistema formado por ambos es:

$$\left\{ \begin{array}{l}2x-3y + z-1 = 0\\-x + y-4z + 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x-3y + z = 1\\-x + y-4z =-1\end{array} \right.$$

Es muy fácil darse cuenta de que

$${\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}2&{-3}&1\\{-1}&1&{-4}\end{array}} \right) = {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}2&{-3}&1&1\\{-1}&1&{-4}&{-1}\end{array}} \right) = 2$$

pues hay un menor de orden dos distinto de cero:

$$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{-3}\\{-1}&1\end{array}} \right| = 2-3 =-1 \ne 0$$

Si llamamos \(z=\lambda\), el sistema lo podemos escribir así:

$$\left\{ \begin{array}{l}2x-3y = 1-\lambda \\-x + y =-1 + 4\lambda\end{array} \right.$$

cuyas soluciones son, aplicando la regla de Cramer:

$$x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1-\lambda }&{ – 3}\\{-1 + 4\lambda }&1\end{array}} \right|}}{{-1}} = \frac{{1-\lambda-\left( {3-12\lambda } \right)}}{{-1}} = \frac{{-2 + 11\lambda }}{{-1}} = 2-11\lambda$$

$$y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{1-\lambda }\\{-1}&{-1 + 4\lambda }\end{array}} \right|}}{{-1}} = \frac{{-2 + 8\lambda-\left( {-1 + \lambda } \right)}}{{-1}} = \frac{{-1 + 7\lambda }}{{-1}} = 1-7\lambda$$

Estas soluciones las podemos escribir así:

$$\left( {x,y,z} \right) = \left( {2-11\lambda ,1-7\lambda ,\lambda } \right) = \left( {2,1,0} \right) + \lambda \left( {-11,7,1} \right)$$

que no es otra cosa que la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto \(P\left( {2,1,0} \right)\) y tiene vector director \(\vec u = \left( {-11,-7,1} \right)\).

En la siguiente figura se pueden apreciar los dos planos y la recta donde se cortan ambos.

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Mejor que de nuestro juicio, debemos fiarnos del cálculo algebraico

Leonhard Euler

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En un artículo anterior habíamos hablado sobre la ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas y sobre la recta en el plano afín.

Esas ideas se pueden extender al espacio en tres dimensiones. Así que vamos allá.

Ya sabemos que una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas.

Si la ecuación tiene tres incógnitas la ecuación adopta la forma

$$ax+by+cz+d=0$$

donde \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\) son números reales, y las incógnitas son \(x\), \(y\), \(z\). Llamando, por ejemplo, \(x=\lambda\), \(y=\mu\), podemos despejar la incógnita \(z\):

$$ax + by + cz + d = 0 \Rightarrow cz =-a\lambda-b\mu-d\Rightarrow z =-\frac{a}{c}\lambda-\frac{b}{c}\mu-\frac{d}{c}$$

El hecho de llamar \(\lambda\) a la incógnita \(x\) y \(\mu\) a la incógnita \(y\), viene a decir que las incógnitas \(x\) e \(y\) pueden tomar cualquier valor real, a los que llamaremos parámetros. Por tanto, la incógnita \(z\) depende del valor que le demos a los parámetros \(\lambda\) y \(\mu\).

Podemos escribir las soluciones en forma de terna ordenada, de la siguiente manera:

$$\left( {x,y,z} \right) = \left( {\lambda\, ,\mu\, ,-\frac{a}{c}\lambda-\frac{b}{c}\mu-\frac{d}{c}} \right)$$

Por ejemplo, sea la ecuación lineal de primer grado con tres incógnitas \(x-2y+3z-5=0\). En este caso \(a=1\), \(b=-2\), \(c=3\) y \(d=-5\). Por tanto, las soluciones son de la forma

$$\left( {x,y,z} \right) = \left( {\lambda\, ,\mu\, ,-\frac{1}{3}\lambda-\frac{{-2}}{3}\mu-\frac{{-5}}{3}} \right) = \left( {\lambda\, ,\mu\, ,-\frac{1}{3}\lambda + \frac{2}{3}\mu + \frac{5}{3}} \right)$$

Ahora, si damos valores a \(\lambda\) y a \(\mu\) podemos ir obteniendo los valores de \(z\). Por ejemplo, si \(\lambda=5\) y \(\mu=0\), entonces

$$z = -\frac{1}{3}\lambda + \frac{2}{3}\mu + \frac{5}{3} = -\frac{1}{3} \cdot 5 + \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{5}{3} = -\frac{5}{3} + \frac{5}{3} = 0$$

Procediendo de manera similar podemos obtener las ternas de soluciones siguientes:

$$\lambda=0\ ,\ \mu=0\Rightarrow \left( {x,y,z} \right) = \left( {0,0,\frac{5}{3}} \right)$$

$$\lambda=0\ ,\ \mu=-\frac{5}{2}\Rightarrow \left( {x,y,z} \right) = \left( {0,-\frac{5}{2},0} \right)$$

$$\lambda=2\ ,\ \mu=2\Rightarrow \left( {x,y,z} \right) = \left( {2,2,\frac{7}{3}} \right)$$

$$\lambda=-3\ ,\ \mu=-1\Rightarrow \left( {x,y,z} \right) = \left( {-3,-1,-2} \right)$$

Podemos representar incluso los valores anteriores usando unos ejes de coordenadas, es decir, fijando un sistema de referencia afín tridimensional (el espacio afín). Este sistema es el habitual, es decir, \(R = \left\{ {O,\,\,\left\{ {{\rm{i}},{\rm{j}},{\rm{k}}} \right\}} \right\}\), donde \({\rm{i}} = \left( {1,0,0} \right)\), \({\rm{j}} = \left( {0,1,0} \right)\), \({\rm{k}} = \left( {0,0,1} \right)\) (ya se habló sobre este sistema de referencia en un artículo anterior, dedicado a los sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas). Pues bien, todas las ternas que son soluciones de la ecuación \(x-2y+3z-5=0\) están situadas en un mismo plano \(\pi\), con lo que llamaremos

$$\pi\equiv x-2y+3z-5=0$$

Lo podemos apreciar en la figura siguiente, en la que incluso se observa el punto del plano \(\left( { – 3, – 1,2} \right)\), que también representa al vector de las mismas coordenadas.

Las soluciones de una ecuación lineal de primer grado con tres incógnitas, \(ax + by + cz + d = 0\), también las podemos escribir así:

$$\left( {x,y,z} \right) = \left( {\lambda\, ,\mu\, , -\frac{a}{c}\lambda-\frac{b}{c}\mu-\frac{d}{c}} \right) = \left( {\lambda ,0,-\frac{a}{c}\lambda } \right) + \left( {0,\mu ,-\frac{b}{c}\mu } \right) + \left( {0,0,-\frac{d}{c}} \right) \Rightarrow$$

$$\Rightarrow \left( {x,y,z} \right) = \lambda \left( {1,0,-\frac{a}{c}} \right) + \mu \left( {0,1,-\frac{b}{c}} \right) + \left( {0,0,-\frac{d}{c}} \right)$$

Siguiendo con el ejemplo anterior podemos escribir las soluciones de la ecuación $x-2y+3z-5=0$ del siguiente modo:

$$\left( {x,y,z} \right) = \lambda \left( {1,0,-\frac{1}{3}} \right) + \mu \left( {0,1,\frac{2}{3}} \right) + \left( {0,0,\frac{5}{3}} \right)$$

Geométricamente, la expresión anterior indica que el plano \(\pi\equiv x-2y+3z-5=0\) es el plano paralelo al plano que contiene a los vectores \(\left( {1,0,-\dfrac{1}{3}} \right)\), \(\left( {0,1,\dfrac{2}{3}} \right)\) y que pasa por el punto \(\left( {0,0,\dfrac{5}{3}} \right)\). Dicho de otro modo: todos los puntos de este plano son los extremos de los vectores que se obtienen al sumar cualquier vector proporcional al vector \(\left( {1,0,-\dfrac{1}{3}} \right)\) con cualquier vector proporcional al vector \(\left( {0,1,\dfrac{2}{3}} \right)\), y con el vector \(\left( {0,0,\dfrac{5}{3}} \right)\).

De hecho, si tomamos \(\lambda=1\) y \(\mu=1\), tenemos que un punto del plano es

$$\left( {x,y,z} \right) = 1\left( {1,0,-\frac{1}{3}} \right) + 1\left( {0,1,\frac{2}{3}} \right) + \left( {0,0,\frac{5}{3}} \right) = \left( {1,1,2} \right)$$

No es fácil imaginar esta situación en el espacio, pero con ayuda de alguna aplicación que represente figuras en tres dimensiones podemos hacernos una idea. En este caso, como en la imagen anterior, hemos utilizado Geogebra.

En la siguiente figura se observa como nuestro plano \(\pi \equiv x – 2y + 3z – 5 = 0\), es paralelo al plano que contiene a \(\left( {1,0, – \dfrac{1}{3}} \right)\) y a \(\left( {0,1,\dfrac{2}{3}} \right)\) y además pasa por el punto \(\left( {0,0,\dfrac{5}{3}} \right)\).

Se puede apreciar con claridad que el punto \(\left( {1,1,2} \right)\), generado por las soluciones correspondientes a \(\lambda=1\) y \(\mu=1\), pertenece al plano \(\pi\).

Analizando lo anterior llegamos a una conclusión: un plano viene completamente determinado por dos vectores con distinta dirección (linealmente independientes) y un punto. O lo que es lo mismo, existe un único plano que pasa por un punto dado y en dos direcciones determinadas. A los vectores que determinan el plano se le llaman vectores de dirección o vectores directores del plano.

Generalicemos esta situación desde el punto de vista vectorial. Para ello llamaremos \(O\) al origen de coordenadas, \(A\) a un punto cualquiera del espacio, \(\overrightarrow {OA} \) al vector de posición con origen en \(O\) y extremo en \(A\), y \(\vec u\) y \(\vec v\) a dos vectores con distinta dirección. La ecuación del plano que pasa por el punto \(A\) con la dirección de los vectores \(\vec u\) y \(\vec v\) viene dada por

$$\overrightarrow {OX} = \overrightarrow {OA} \, + \lambda \vec u + \mu \vec v\,,\,\,\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$$

donde \(\overrightarrow {OX} \) es el vector de posición con origen en \(O\) generado al dar valores a los parámetros \(\lambda\) y \(\mu\).

Hemos de insistir en que las coordenadas de los vectores están escritas en base al sistema de referencia \(R = \left\{ {O,\,\,\left\{ {{\rm{i}},{\rm{j}},{\rm{k}}} \right\}} \right\}\) del que hemos hablado anteriormente. Es decir, hemos instalado en el espacio unos ejes de coordenadas: el eje \(X\) para la anchura, el eje \(Y\) para la profundidad, y el eje \(Z\) para la altura. Así, cuando hablamos de tomar el vector \(\vec e = \left( {1,1,2} \right)\) , y lo visualizamos en el espacio como un segmento orientado desde el origen de coordenadas \(O = \left( {0,0,0} \right)\) hasta el extremo en el punto de coordenadas \(\left( {1,1,2} \right)\), lo que estamos haciendo realmente es la siguiente operación:

$$\left( {1,1,2} \right) = 1\left( {1,0,0} \right) + 1\left( {0,1,0} \right) + 2\left( {0,0,1} \right) = 1 \cdot {\rm{i}} + 1 \cdot {\rm{j}} + 2 \cdot {\rm{k}}$$

O lo que es lo mismo, el vector \(\vec e = \left( {1,1,2} \right)\) es aquel que tiene una unidad de anchura, otra de profundad y dos unidades de altura.

Los vectores \({\rm{i}} = \left( {1,0,0} \right)\), \({\rm{j}} = \left( {0,1,0} \right)\), \({\rm{k}} = \left( {0,0,1} \right)\) situados sobre el eje \(X\), sobre el eje \(Y\) y sobre el eje \(Z\), tienen módulo \(1\) y son perpendiculares. Se dice que los tres vectores son ortonormales o que forman una base ortonormal del espacio. Además cualquier vector \(\left( {a,b,c} \right)\) lo podemos escribir así:

$$\left( {a,b,c} \right) = a\left( {1,0,0} \right) + b\left( {0,1,0} \right) + c\left( {0,0,1} \right) = a \cdot {\rm{i}} + b \cdot {\rm{j}} + c \cdot {\rm{k}}$$

La igualdad anterior expresa que todo vector del espacio, o lo que es lo mismo, todo el espacio, se puede generar a partir de los vectores \({\rm{i}} = \left( {1,0,0} \right)\), \({\rm{j}} = \left( {0,1,0} \right)\), \({\rm{k}} = \left( {0,0,1} \right)\). Se dice que todo vector del espacio es una combinación lineal de \({\rm{i}} = \left( {1,0,0} \right)\), \({\rm{j}} = \left( {0,1,0} \right)\), \({\rm{k}} = \left( {0,0,1} \right)\). Estos vectores, junto con el origen de coordenadas \(O\) forman el sistema de referencia ortonormal \(R = \left\{ {O,\,\,\left\{ {{\rm{i}},{\rm{j}},{\rm{k}}} \right\}} \right\}\).

La geometría en el espacio afín empieza de este modo. Se considera un sistema de referencia afín ortonormal \(R = \left\{ {O,\,\,\left\{ {{\rm{i}},{\rm{j}},{\rm{k}}} \right\}} \right\}\). Se sabe que todo vector que se apoye en \(O\) se puede poner como combinación lineal de \({\rm{i}}\), de \({\rm{j}}\) y de \({\rm{k}}\):

$$X = \overrightarrow {OX} = {x_1}{\rm{i}} + {x_2}{\rm{j}} + {x_3}{\rm{k}} = \left( {{x_1},{x_2},{x_3}} \right)$$

Por tanto, un vector cualquiera del espacio lo podemos «atrapar» en nuestro sistema de referencia. Todo vector \(\vec e\) del espacio tiene un origen \(A\left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\) y un extremo \(B\left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\), y por tanto \(\vec e = \overrightarrow {AB}\). Además:

$$\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AB} \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB}-\overrightarrow {OA} \Rightarrow$$

$$\Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)-\left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {{b_1}-{a_1},{b_2}-{a_2},{b_3}-{a_3}} \right)$$

Por ejemplo, el vector \(\vec e\) que une el punto \(P\left( {3,-1,2} \right)\) con el punto \(Q\left( {2,-\,3,-1} \right)\) es

$$\vec e = \overrightarrow {PQ} = \left( {2-3,-3-\left( {-1} \right),-1-2} \right) = \left( {-1,-2,-3} \right)$$

Nuestro vector \(\vec e\) acaba de ser escrito en base a nuestro sistema de referencia. Hay infinitos vectores en el espacio con el mismo módulo, dirección y sentido, pero sólo uno que se apoya en el origen \(O\) de nuestro sistema de referencia. Al conjunto de todos los vectores con el mismo módulo, dirección y sentido se le llama vector libre del espacio.

Con las consideraciones anteriores la ecuación vectorial del plano que pasa por el punto \(A\) con la dirección de los vectores \(\vec u\) y \(\vec v\), \(\overrightarrow {OX} = \overrightarrow {OA} \, + \lambda \vec u + \mu \vec v\,,\,\,\lambda ,\,\,\mu \in \mathbb{R}\), adquiere todo su sentido.

Si la ecuación vectorial la expresamos en coordenadas tenemos:

$$\left( {x,y,z} \right) = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right) + \lambda \left( {{u_1},{u_2},{u_3}} \right) + \mu \left( {{v_1},{v_2},{v_3}} \right) \Rightarrow$$

$$\Rightarrow \left( {x,y,z} \right) = \left( {{a_1} + \lambda {u_1} + \mu {v_1},{a_2} + \lambda {u_2} + \mu {v_2},{a_3} + \lambda {u_3} + \mu {v_3}} \right)$$

Igualando coordenadas:

$$\left\{ \begin{array}{l} x = {a_1} + \lambda {u_1} + \mu {v_1}\\ y = {a_2} + \lambda {u_2} + \mu {v_2}\\ z = {a_3} + \lambda {u_3} + \mu {v_3} \end{array} \right.$$

Las ecuaciones anteriores reciben el nombre de ecuaciones paramétricas del plano. Estas ecuaciones las podemos ver como un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas: \(\lambda\) y \(\mu\).

$$\left\{ \begin{array}{l} \lambda {u_1} + \mu {v_1} = x-{a_1}\\ \lambda {u_2} + \mu {v_2} = y-{a_2}\\ \lambda {u_3} + \mu {v_3} = z-{a_3} \end{array} \right.$$

Si de este sistema eliminamos los parámetros \(\lambda\) y \(\mu\) obtenemos la ecuación general o implícita del plano, que será una ecuación lineal de primer grado con tres incógnitas:

$$Ax+By+Cz+D=0$$

Veamos con un ejemplo cómo eliminar los parámetros. Supongamos que queremos hallar la ecuación general del plano que pasa por el punto \(A\left( {2,3,5} \right)\) y es paralelo a los vectores \(\vec u = \left( { – 1, – 2, – 3} \right)\), \(\vec v = \left( {1,3,5} \right)\). Sus ecuaciones paramétricas serán:

$$\left\{ \begin{array}{l} x = 2-\lambda+\mu \\ y = 3-2\lambda+3\mu \\ z = 5-3\lambda + 5\mu \end{array} \right.$$

Y de aquí:

$$\left\{ \begin{array}{l}-\lambda+\mu = x-2\\ -2\lambda+3\mu = y-3\\ -3\lambda + 5\mu = z-5 \end{array} \right.$$

Consideremos que las incógnitas son \(\lambda\) y \(\mu\) y apliquemos el método de Gauss para resolver el sistema:

$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-1}&1&{x-2}\\{-2}&3&{y-3}\\{-3}&5&{z-5}\end{array}} \right)\longrightarrow\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{-1}&1&{x-2}\\ 0&1&{y-2x+1}\\0&2&{z-3x + 1}\end{array}} \right)\longrightarrow\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{-1}&1&{x-2}\\0&1&{y-2x + 1}\\0&0&{x-2y + z-1}\end{array}} \right)$$

De lo anterior se deduce, para que el sistema tenga soluciones (precisamente las soluciones son todos los puntos del plano), que \(x-2y + z-1 = 0\), justamente la ecuación general o implícita del plano.

Sin hacer el último paso en el método de Gauss también se obtiene lo mismo. Las dos últimas ecuaciones asociadas son

$$\left\{ \begin{array}{l}\mu = y-2x + 1\\2\mu = z-3x + 1\end{array} \right.$$

y de aquí se obtiene, por igualación, que

$$y-2x + 1 = \frac{{z-3x + 1}}{2} \Rightarrow 2y-4x+2=z-3x+1 \Rightarrow x-2y+z-1=0$$

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El que tiene fe en sí mismo no necesita que los demás crean en él

Miguel de Unamuno

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Un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas lo podemos escribir de la siguiente manera:

$$\left\{ \begin{array}{l}Ax + By + C = 0\\A’x + B\,’y + C’ = 0\end{array} \right.\quad\textbf{(1)}$$

Ya sabemos que una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas es, desde el punto de vista geométrico, una recta en el plano. En este caso tenemos dos en su forma general:

$$r \equiv Ax + By + C = 0\quad\text{;}\quad s\equiv A’x + B\,’y + C’ = 0$$

Las posibles posiciones relativas de dos rectas en el plano son tres: coincidentes, paralelas y secantes.

Si son coincidentes es porque una recta es la misma que la otra salvo un factor numérico, es decir,

$$Ax + By + C = k\left( {A’x + B\,’y + C’} \right) = 0 \Rightarrow$$

$$\Rightarrow Ax + By + C = kA’x + kB\,’y + kC’ = 0\,\,,\,\,k \in \mathbb{R}$$

De aquí se deduce que \(A = kA’\,,\,B = kB\,’\,,\,C = kC’\) y despejando \(k\) obtenemos una condición para que las dos rectas coincidan:

$$r \equiv s \Leftrightarrow \frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B\,’}} = \frac{C}{{C’}}$$

En este caso el sistema \(\textbf{(1)}\) tiene infinitas soluciones pues las dos rectas, al ser coincidentes, tienen en común todos sus puntos.

Si las dos rectas son paralelas tienen la misma dirección, los vectores directores de \(r\) y \(s\) son iguales o proporcionales. Es decir, llamando \(\vec u\) al vector director de \(r\), y \(\vec v\) al vector director de \(s\), tenemos que \(\vec u = k\vec v\), donde \(k\) es un número real. Pero recordemos que los vectores directores se podían obtener fácilmente de la ecuación general de la recta: \(\vec u = \left( {-B,A} \right)\) y \(\vec v = \left( {-B\,’,A’} \right)\), con lo que:

$$\vec u = k\vec v \Leftrightarrow \left( {-B,A} \right) = k\left( {-B\,’,A’} \right) \Leftrightarrow \left( { – B,A} \right) = \left( { – kB\,’,kA’} \right) \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}-B=-kB\,’\\A = kA’\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{B}{{B\,’}}\\k = \frac{A}{{A’}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B\,’}}$$

Así pues para que dos rectas sean paralelas tenemos la siguiente condición:

$$r\,|\,|\,s \Leftrightarrow \frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B\,’}} \ne \frac{C}{{C’}}$$

En este caso el sistema \(\textbf{(1)}\) no tienen ninguna solución (esto es obvio: dos rectas paralelas no tienen ningún punto en común, no se cortan en ningún punto).

Por último, si las dos rectas son secantes, han de tener distinta dirección, con lo que sus vectores directores no serán proporcionales. Esto nos lleva a la siguiente condición:

$$r \cap s = \left\{ P \right\} \Leftrightarrow \frac{A}{{A’}} \ne \frac{B}{{B\,’}}$$

En este caso el sistema \(\textbf{(1)}\) tienen una única solución. Esta solución es el punto de corte de las rectas \(r\) y \(s\): \(P\left( {a,b} \right)\).

Lo veremos un ejemplo. Consideremos el sistema de ecuaciones

$$\displaystyle\left\{ \begin{array}{l}2x-3y-8 = 0\\-5x-y + 3 = 0\end{array} \right.$$

Este sistema está; formado por las rectas \(r \equiv 2x-3y-7 = 0\) y \(s \equiv -5x-y + 3 = 0\).

Como tenemos que \(\dfrac{2}{{-5}} \ne \dfrac{{-3}}{{-1}}\), entonces las rectas son secantes. Si queremos saber el punto de corte basta resolver el sistema. Por reducción es muy sencillo. Multiplicando la segunda ecuación por \(-3\) tenemos:

$$\displaystyle\left\{ \begin{array}{l}2x-3y-8 = 0\\15x + 3y-9 = 0\end{array} \right.$$

Ahora, si a la segunda ecuación se le suma la primera el sistema queda reducido al este otro:

$$\displaystyle\left\{ \begin{array}{l}2x-3y-8 = 0\\17x-17 = 0\end{array} \right.$$

Despejando $x$ de la segunda ecuación: \(17x-17 = 0 \Rightarrow x = 1\). Y sustituyendo este valor en la primera ecuación despejaremos el valor de \(y\): \(2-3y-8 = 0 \Rightarrow -3y-6 = 0 \Rightarrow y =-2\).

Este método de reducción es un caso particular de otro más general, conocido como método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

La interpretación geométrica es muy sencilla: el punto de corte de las rectas $r\equiv2x-3y-8=0$ y $s\equiv-5x-y+3=0$ es \(P\left( {1, – 2} \right)\). Esto se escribe simbólicamente así:

$$r\cap s=P(-1,2)$$

Se puede apreciar en la siguiente figura.

Puede que ahora sea un buen momento de hablar de independencia lineal. Es un concepto muy sencillo. Para ello vamos a pensar en dimensión tres, en un espacio tridimensional como en el que vivimos. Es decir, vamos a fijar un sistema de referencia afín donde cada punto y cada vector tiene tres coordenadas. Este sistema de referencia afín lo podemos escribir as&iacute;: \(R = \left\{ {O\,,\,\left\{ {{\rm{i}},{\rm{j}},{\rm{k}}} \right\}} \right\}\) donde \({\rm{i}} = \left( {1,0,0} \right)\), \({\rm{j}} = \left( {0,1,0} \right)\) y \({\rm{k}} = \left( {0,0,1} \right)\). Algo así como decir que \(\text{i}\) mide la anchura, \(\text{j}\) la profundidad y \(\text{k}\) la altura. De modo que, por ejemplo, el vector \(\vec u\left( {3,4,2} \right)\) tiene tres unidades de anchura, cuatro de profundidad y dos de altura.

Pues bien, un vector es siempre linealmente independiente y genera una recta (la recta que lo contiene, que es un espacio de dimensión uno). Dos vectores son linealmente independientes si tienen distinta dirección, en cuyo caso generan todo un plano (el plano que los contiene, que es de dimensión dos). Si dos vectores no tienen distinta dirección serán proporcionales (uno se puede poner como el otro multiplicado por un número) y no son linealmente independientes. Tres vectores son linealmente independientes si no están situados en un mismo plano (no coplanarios) y generan todo el espacio, que es de dimensón tres.

¿Qué queremos decir cuando hablamos de que dos vectores linealmente independientes generan el plano que los contiene? Pues que, combinando adecuadamente los dos vectores, podemos llegar a cualquier otro vector del plano.

Veamos un ejemplo. Para ello volvamos a la dimensión dos. Consideremos los vectores \(\left( {1,3} \right)\) y \(\left( {-2,1} \right)\), que tienen distinta dirección. Por tanto, según hemos definido anteriormente, son linealmente independientes, y generan todo el plano de dimensión dos. Esto quiere decir que cualquier otro vector se puede poner como combinación de ellos. Pensemos, por ejemplo en el vector \(\left( {3,-5} \right)\). ¿Podremos llegar a él usando los vectores \(\left( {1,3} \right)\) y \(\left( {-2,1} \right)\)? Es decir, ¿existirán números reales \(x\), \(y\) tales que \(x\left( {1,3} \right) + y\left( {-2,1} \right) = \left( {3,-5} \right)\)? Seguro que sí. Veamos:

$$x\left( {1,3} \right) + y\left( {-2,1} \right) = \left( {3,-5} \right) \Leftrightarrow \left( {x,3x} \right) + \left( {-2y,y} \right) = \left( {3,-5} \right) \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\left( {x-2y,3x + y} \right) = \left( {3,-5} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x-2y = 3\\3x + y =-5\end{array} \right.$$

Resolviendo el sistema anterior se obtiene \(x=-1\), \(y=-2\). Esto quiere decir que si el vector \(\left( {1,3} \right)\) lo multiplicamos por \(-1\) (o sea, le cambiamos el sentido), el vector \(\left( {-2,1} \right)\) lo multiplicamos por \(-2\) (o sea, lo duplicamos en longitud y le cambiamos el sentido) y, finalmente, sumamos ambos resultados, obtenemos como resultado el vector \(\left( {3,-5} \right)\). Esto, en matemáticas, se resume diciendo que el vector \(\left( {3,-5} \right)\) se puede poner como combinación lineal de los vectores \(\left( {1,3} \right)\) y \(\left( {-2,1} \right)\):

$$\left( {3,-5} \right) =-1\left( {1,3} \right) + \left( {-2} \right)\left( {-2,1} \right)$$

Podemos ver el resultado en la figura siguiente:

Si en el sistema

$$\left\{ \begin{array}{l}Ax + By + C = 0\\A’x + B\,’y + C’ = 0\end{array} \right.$$

escribimos los términos independientes en el segundo miembro, lo podemos reescribir así:

$$\left\{ \begin{array}{l}{a_{11}}x + {a_{12}}y = {b_1}\\{a_{21}}x + {a_{22}}y = {b_2}\end{array} \right.$$

Una vez escrito así vamos incluso a disponer de una forma más cómoda el sistema.

Llamaremos, respectivamente

$$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{b_1}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{b_2}}\end{array}} \right)$$

matriz de los coeficientes y matriz ampliada del sistema. No descubrimos nada nuevo si pensamos en una matriz como una disposición de elementos en filas y en columnas. Obsérvese que al escribir la matriz ampliada \(A|b\) tenemos completamente definido el sistema sin necesidad de escribir las incógnitas. Ahora, la posición relativa de las dos rectas depende del carácter de la matriz de los coeficientes \(A\) y del de la matriz ampliada \(A|b\), en el siguiente sentido:

• Si las rectas son coincidentes, las filas de la matriz \(A\) son proporcionales y las de la matriz \(A|b\) también.
• Si las rectas son paralelas, las filas de la matriz \(A\) son proporcionales, pero no los son las de la matriz \(A|b\).
• Si las rectas son secantes, las filas de la matriz \(A\) no son proporcionales y, por tanto, tampoco lo son los de la matriz \(A|b\).

Este caráter de las matrices en matemáticas se conoce con el nombre de rango de una matriz. Hemos de observar que las filas de las matrices las podemos ver como vectores (con dos, tres, cuatro,\(\ldots\,\) coordenadas). Se define el rango de una matriz como el número de filas (vectores) linealmente independientes. Esto nos lleva a reescribir la posición relativa de dos rectas, en función de los rangos de la matriz de los coeficientes \(A\) y de la matriz ampliada \(A|b\), del siguiente modo:

• Si las rectas son coincidentes, entonces \(\text{rango}A=\text{rango}A|b=1\).
• Si las rectas son paralelas, entonces \(\text{rango}A=1\neq\text{rango}A|b=2\).
• Si las rectas son secantes, entonces \(\text{rango}A=\text{rango}A|b=2\).

Estas ideas se pueden generalizar a un sistema de \(m\) ecuaciones y \(n\) incógnitas. Según el teorema de Rouché-Frobenius, para que un sistema del tipo anterior tenga solución se ha de cumplir que el rango de la matriz de los coeficientes ha de ser igual al rango de la matriz ampliada: \(\text{rango}A=\text{rango}A|b\). Además, si este número es igual al número de incógnitas \(n\), el sistema tiene solución única (sistema compatible determinado). Sin embargo, si este número es menor que el número de incógnitas, el sistema tiene infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado). Por último, si \(\text{rango}A\neq\text{rango}A|b\). el sistema no tiene solución (sistema incompatible).

Seguiremos dándole vueltas a todo esto en un artículo que dedicaremos a los sistemas de ecuaciones lineales de primer grado con tres incógnitas,

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Nada hay tan práctico como una buena teoría

Kurt Lewin

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Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas. Si la ecuación solamente tiene una incógnita la ecuación es de la forma

$$ax+b=0$$

donde \(a\) y \(b\) son números reales con \(a\neq0\), y \(x\) es la incógnita.

Como \(a\neq0\), \(a\) tiene inverso, con lo que podemos despejar la incógnita con facilidad:

$$ax + b = 0\, \Rightarrow {a^{ – 1}} \cdot \left( {ax + b} \right) = {a^{ – 1}} \cdot 0 \Rightarrow {a^{ – 1}}ax + {a^{ – 1}}b = 0 \Rightarrow$$

$$\Rightarrow x + {a^{ – 1}}b = 0 \Rightarrow x = – {a^{ – 1}}b$$

Así por ejemplo, la solución de \(3x+4=0\) es \(x = – {3^{ – 1}} \cdot 4 = – \dfrac{1}{3} \cdot 4 = – \dfrac{4}{3}\).

Si la ecuación tiene dos incógnitas la ecuación adopta la forma

$$ax+by+c=0$$

donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales con \(a\neq0\) y \(b\neq0\), y las incógnitas son \(x\) e \(y\). Llamando por ejemplo \(x=\lambda\), podemos despejar la incógnita \(y\).

$$ax + by + c = 0 \Rightarrow by = -a\lambda-c \Rightarrow y=-\frac{a}{b}\lambda-\frac{c}{b}$$

El hecho de llamar \(\lambda\) a la incógnita \(x\) viene a decir que la incógnita \(x\) puede tomar cualquier valor real, al que llamaremos parámetro. Por tanto, la incógnita \(y\) depende del valor que le demos al parámetro \(\lambda\).

Podemos escribir las soluciones para \(x\) y para \(y\) en forma de par ordenado, de la siguiente manera:

$$\left( {x,y} \right) = \left( {\lambda,\, -\frac{a}{b}\lambda-\frac{c}{b}} \right)$$

Veamos un ejemplo. Sea la ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas dada por \(2x-y+3=0\). En este caso \(a=2\), \(b=-1\) y \(c=3\). Por tanto las soluciones son de la forma:

$$\left( {x,y} \right) = \left( {\lambda,\,-\frac{2}{{ – 1}}\lambda-\frac{3}{{ – 1}}} \right) = \left( {\lambda,\,2\lambda + 3} \right)$$

Ahora, si damos valores a \(\lambda\) podemos hacer una tabla de valores:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x & \lambda & -5 & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 2\lambda+3 & -7 & -5 & -3 & -1 & 1 & 3 & 5 & 7\\ \hline\end{array}$$

Incluso podemos representar los valores anteriores usando unos ejes de coordenadas.

No es difícil darse cuenta de que podemos colocar infinitos puntos y que todos ellos formarán una recta. Por eso, a la expresión de una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas, también se la conoce como ecuación general de una recta.

Además, ya sabíamos que, si de la ecuación \(ax+by+c=0\), despejamos la incógnita \(y\) tenemos otra ecuación con la forma \(y=mx+n\), llamada ecuación afín de la recta. En nuestro ejemplo la ecuación afín de la recta es \(y=2x+3\). Y en esta ecuación es donde podemos con facilidad realizar también la tabla de valores anterior con el objetivo de representar gráficamente la recta dada.

Con algo de conocimiento de geometría en el plano afín podemos hacer más cosas con la ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas. Ya hemos visto que las soluciones las podemos escribir en forma de par ordenado:

$$\left( {x,y} \right) = \left( {\lambda,\, -\frac{a}{b}\lambda-\frac{c}{b}} \right)$$

Recordemos que, dados dos pares ordenados \(\left( {a,b} \right)\), \(\left( {c,d} \right)\), y un número real \(\lambda\), la suma de pares ordenados y el producto de un número real por un par ordenado, están definidos del siguiente modo:

$$\left( {a,b} \right) + \left( {c,d} \right) = \left( {a + c,b + d} \right)\quad\text{;}\quad\lambda \left( {a,b} \right) = \left( {\lambda a,\lambda b} \right)$$

Si se establecen unos ejes cartesianos sobre un plano, un par ordenado \(\left( {a,b} \right)\) tiene una visualización gráfica: un punto en el plano. O también: el par ordenado lo podemos ver como un vector con origen en el punto \(\left( {0,0} \right)\) (origen de coordenadas) y extremo el punto \(\left( {a,b} \right)\).

Con las ideas anteriores, las soluciones de una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas, \(ax+by+c=0\), las podemos escribir así:

$$\left( {x,y} \right) = \left( {\lambda , -\frac{a}{b}\lambda-\frac{c}{b}} \right) = \left( {\lambda , -\frac{a}{b}\lambda } \right) + \left( {0, -\frac{c}{b}} \right) = \lambda \left( {1, -\frac{a}{b}} \right) + \left( {0, -\frac{c}{b}} \right)$$

Siguiendo con el ejemplo visto anteriormente podemos escribir las soluciones de la ecuación \(2x-y+3=0\) del siguiente modo ($a=2$, $b=-1$, $c=-3$):

$$\left( {x,y} \right) = \lambda \left( {1,2} \right) + \left( {0,3} \right)$$

La interpretación geométrica de la expresión anterior es la siguiente: la recta \(2x-y+3=0\) es la recta paralela al vector \(\left( {1,2} \right)\) que pasa por el punto \(\left( {0,3} \right)\). Dicho de otro modo: todos los puntos de esta recta son los extremos de los vectores que se obtienen al sumar cualquier vector proporcional al vector \(\left( {1,2} \right)\) con el vector \(\left( {0,3} \right)\).

Por ejemplo, si \(\lambda=1\), entonces \(\left( {x,y} \right) = – 1\left( {1,2} \right) + \left( {0,3} \right) = \left( { – 1, – 2} \right) + \left( {0,3} \right) = \left( { – 1,1} \right)\). Véase la figura siguiente:

Analizando todo lo anterior llegamos a una conclusión: una recta viene completamente determinada por un vector y un punto. O lo que es lo mismo, existe una única recta que pasa por un punto dado y en una dirección determinada. Al vector que determina la recta se le llama vector de dirección o vector director de la recta.

Generalicemos esta situación desde el punto de vista vectorial. Para ello llamaremos \(O\), al origen de coordenadas, \(A\) a un punto cualquiera del plano, \(\overrightarrow {OA}\) al vector de posición con origen en \(O\) y extremo en \(A\) y \(\vec e\) a un vector. La ecuación de la recta que pasa por el punto \(A\) con la dirección del vector \(\vec e\) viene dada por

$$\overrightarrow {OX} = \overrightarrow {OA} \, + \lambda \vec e\,,\,\,\lambda \in \mathbb{R}$$

donde \(\overrightarrow {OX}\) es el vector de posición con origen en \(O\) generado al dar un determinado valor al parámetro \(\lambda\).

Naturalmente, las coordenadas de los vectores están escritas en base a un sistema de referencia pues, en caso contrario, no podríamos trabajar con éstas. Habitualmente, y tal y como hemos hecho en el ejemplo anterior, esto es algo a lo que estamos acostumbrados cuando instalamos en el plano unos ejes cartesianos (el eje de abscisas y el eje de ordenadas). Pero es conveniente poner énfasis en esto. Cuando hablamos de tomar, por ejemplo, el vector \(\vec e = \left( { – 2,3} \right)\), y lo visualizamos en el plano como un segmento orientado desde el origen de coordenadas \(O = \left( {0,0} \right)\) hasta el extremo en el punto de coordenadas \(\left( { – 2,3} \right)\), lo que estamos haciendo realmente es la siguiente operación:

$$\left( { – 2,3} \right) = – 2\left( {1,0} \right) + 3\left( {0,1} \right)$$

Si ahora visualizamos los vectores \(\left( {1,0} \right)\) y \(\left( {0,1} \right)\) nos daremos cuenta rápidamente de que el primero está sobre el eje \(X\), el segundo sobre el eje \(Y\) y ambos tienen longitud o módulo \(1\). Además son claramente perpendiculares. En este caso se dice que la pareja de vectores son ortonormales o que forman una base ortonormal del plano.

Pero es que cualquier vector \(\left( {a,b} \right)\) lo podemos escribir así:

$$\left( {a,b} \right) = a\left( {1,0} \right) + b\left( {0,1} \right)$$

La igualdad anterior expresa que todo vector del plano, o lo que es lo mismo, todo el plano, se puede generar a partir de los vectores \(\left( {1,0} \right)\) y \(\left( {0,1} \right)\). A veces se dice que todo vector del plano es una combinación lineal de \(\left( {1,0} \right)\) y \(\left( {0,1} \right)\). Estos dos vectores, junto con el origen de coordenadas \(O\), forman lo que se conoce como sistema de referencia afín. Además, si los dos vectores del sistema son ortonormales hablaremos de un sistema de referencia ortonormal. Suele nombrarse a los dos vectores del sistema así: $\textbf{i} = \left( {1\,\,0} \right)$, $\textbf{j} = \left( {0\,\,1} \right)$.

En realidad, la geometría en el plano afín empieza por aquí. Se considera un sistema de referencia afín ortonormal $R = \left\{ O,\,\left\{ \textbf{i},\,\textbf{j} \right\} \right\}$. Se sabe que todo vector que se apoye en \(O\) se puede poner como combinación lineal de \(\textbf{i}\) y de \(\textbf{j}\): \(X = \overrightarrow {OX} = {x_1}\textbf{i} + {x_2}\textbf{j} = \left( x_1,x_2 \right)\). Por tanto, un vector cualquiera del plano lo podemos «atrapar» en nuestro sistema de referencia. ¿Cómo? Es sencillo. Todo vector \(\vec e\) del plano tiene un origen \(A\left( {{a_1},{a_2}} \right)\) y un extremo \(B\left( {{b_1},{b_2}} \right)\) y, por tanto, \(\vec e = \overrightarrow {AB} \). Pero además es que (ver figura de más abajo):

$$\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AB} \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB}-\overrightarrow {OA} \Rightarrow$$

$$\Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {{b_1},{b_2}} \right)-\left( {{a_1},{a_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {{b_1}-{a_1},{b_2}-{a_2}} \right)$$

Por ejemplo, el vector \(\vec e\) que une el punto \(P\left( { – 2\,,\,1} \right)\) con el punto \(Q\left( { 1\,,\,3} \right)\) es

$$\vec e = \overrightarrow {PQ} = \left( {1-\left( {-2} \right),3-1} \right) = \left( {3,2} \right)$$

Nuestro vector \(\vec e\) acaba de ser escrito en base a nuestro sistema de referencia. Hay infinitos vectores en el plano con el mismo módulo, dirección y sentido, pero sólo uno que se apoya en el origen \(O\) de nuestro sistema de referencia. Al conjunto de todos los vectores con el mismo módulo, dirección y sentido se le llama vector libre.

Con las consideraciones anteriores la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto \(A\) con la dirección de un vector \(\vec e\), \(\overrightarrow {OX} = \overrightarrow {OA} \, + \lambda \vec e\,,\,\,\lambda \in\mathbb{R} \), adquiere todo su sentido.

Si la ecuación vectorial la expresamos en coordenadas tenemos:

$$\left( {x,y} \right) = \left( {a,b} \right) + \lambda \left( {{e_1},{e_2}} \right) \Rightarrow \left( {x,y} \right) = \left( {a,b} \right) + \left( {\lambda {e_1},\lambda {e_2}} \right) \Rightarrow \left( {x,y} \right) = \left( {a + \lambda {e_1},b + \lambda {e_2}} \right)$$

Igualando coordenadas:

$$\left\{ \begin{array}{l} x = a + \lambda {e_1}\\ y = b + \lambda {e_2} \end{array} \right.$$

Las ecuaciones anteriores reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de la recta. De éstas, si despejamos el parámetro \(\lambda\) en ambas e igualamos, obtenemos la ecuación continua de la recta:

$$\begin{cases} \lambda = \dfrac{x-a}{e_1} \\[0.2cm] \lambda = \dfrac{y-b}{e_2} \end{cases} \Rightarrow \frac{x-a}{e_1} = \frac{y-b}{e_2}$$

Si ahora eliminamos denominadores y pasamos todo al primer miembro tenemos:

$${e_2}x-{e_2}a = {e_1}y-{e_1}b \Rightarrow {e_2}x-{e_1}y + {e_1}b-{e_2}a = 0$$

Si llamamos \(A = {e_2}\), \(B = -{e_1}\) y \(C = {e_1}b-{e_2}a\) tenemos la ecuación general o implícita de la recta:

$$Ax+By+C=0$$

Obsérvese que un vector director de la recta es \(\left( {{e_1},{e_2}} \right) = \left( {-B,A} \right)\) y que haciendo \(x=0\) se obtiene \(y=-\dfrac{C}{B}\) (conocida como ordenada en el origen), con lo que un punto de la recta (el que corta al eje \(Y\)) es \(\left( {0,-\dfrac{C}{B}} \right)\).

Volviendo a nuestro primer ejemplo, en el que considerábamos la recta \(2x-y+3=0\), tenemos que un vector director suyo es \(\left( {-B,A} \right) = \left( {1,2} \right)\) y que un punto suyo es \(\left( {0,-\dfrac{C}{B}} \right) = \left( {0,3} \right)\). Así obtenemos la ecuación vectorial \(\left( {x,y} \right) = \lambda \left( {1,2} \right) + \left( {0,3} \right)\), ecuación que ya habíamos deducido en su momento.

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La sabiduría viene de escuchar; de hablar, el arrepentimiento

Proverbio italiano

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Cuando se estudian las matemáticas a un nivel básico en la secundaria, una de las cosas que primero se aprende a resolver es una ecuación de primer grado. A continuación, se puede introducir sin mucha dificultad el concepto de sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas. La forma, digamos reducida, de un sistema de este tipo es:

\[\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\]

Los números reales \(a_1\), \(a_2\), \(b_1\), \(b_2\) reciben el nombre de coeficientes y los números \(c_1\) y \(c_2\) son los términos independientes del sistema (parecido a la nomenclatura estudiada en las expresiones algebraicas, monomios y polinomios). Las incógnitas o números reales de los cuales deseamos saber si satisfacen ambas ecuaciones, son \(x\) e \(y\).

Básicamente existen tres métodos para resolver este tipo de ecuaciones: sustitución, igualación y reducción.

El primero de ellos, el de sustitución, consiste en despejar una de las dos incógnitas de cualquiera de las dos ecuaciones y sustituirla en la otra.

Por ejemplo, dado el sistema

\[\begin{cases}2x+3y=4\\5x-2y=-9\end{cases}\]

despejamos la incógnita \(y\) de la primera ecuación, \(y=\dfrac{4-2x}{3}\), y la sustituimos en la segunda:

\[5x-2\frac{4-2x}{3}=-9\Rightarrow15x-2(4-2x)=-27\Rightarrow\]

\[\Rightarrow15x-8+4x=-27\Rightarrow19x=-19\Rightarrow x=-1\]

Sustituyendo el valor de \(x\) en la igualdad donde está la incógnita \(y\) despejada obtenemos:

\[y=\frac{4-2\cdot(-1)}{3}=\frac{4+2}{3}=\frac{6}{3}\Rightarrow y=2\]

Los sistemas lineales se caracterizan porque la representación gráfica de cada una de las dos ecuaciones es una recta. Si ambas se cortan, el punto de corte es la solución del sistema. En el caso del ejemplo anterior la representación gráfica queda reflejada en la figura siguiente.

En un sistema de ecuaciones no lineal con dos incógnitas, al menos una de las dos ecuaciones no es lineal, es decir, su representación gráfica no es una recta. Este tipo de sistemas se suelen resolver por el método de sustitución, método cuyo uso se ha visto en el ejemplo anterior para un sistema lineal. Veamos ahora un ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones no lineal.

Consideremos el sistema dado en la imagen que encabeza este artículo:

\[\begin{cases}x^2-2y^2=1\\xy=6\end{cases}\]

Despejando \(y\) de la segunda ecuación tenemos \(y=\dfrac{6}{x}\). Y sustituyendo este valor en la primera ecuación:

\[x^2-2\left(\frac{6}{x}\right)^2=1\Rightarrow x^2-\frac{72}{x^2}=1\]

Esta última es una ecuación racional, ya que la incógnita aparece en un denominador. Multiplicando ahora todos los términos por \(x^2\) llegamos a una ecuación bicuadrada:

\[x^4-72=x^2\Rightarrow x^4-x^2-72=0\]

Hagamos el cambio de variable \(x^2=z\) para obtener una ecuación de segundo grado:

\[z^2-z-72=0\Rightarrow z=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-72)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm\sqrt{1+288}}{2}=\]

\[=\frac{1\pm\sqrt{289}}{2}=\frac{1\pm17}{2}=\begin{cases}z_1=9\\z_2=-8\end{cases}\]

Deshaciendo ahora el cambio \(x^2=z\) obtenemos las soluciones de para la incógnita \(x\). Así, si \(z=9\), entonces tenemos dos soluciones para \(x\): \(x_1=3\) y \(x_2=-3\). Si \(z=-8\), la ecuación \(x^2=-8\) no proporciona soluciones reales para \(x\). Cada una de las dos soluciones anteriores para \(x\), \(x_1=3\) y \(x_2=-3\), proporcionan sendas soluciones para \(y\) sustituyendo en la fórmula donde habíamos despejado la incógnita \(y\) al comienzo de este método de sustitución, \(y=\dfrac{6}{x}\). Es decir si \(x_1=3\), entonces \(y_1=2\). Y si \(x_2=-3\), entonces \(y_2=-3\).

Resumiendo, y escribiendo las soluciones en forma de pares ordenados, el sistema no lineal tiene dos soluciones:

\[(3,\ 2)\quad\text{;}\quad(-3,\ -2)\]

Estos dos puntos del plano son los puntos donde se cortan las curvas \(x^2-2y^2=1\), \(xy=6\).

En esta página puedes encontrar una relación de ejercicios de sistemas no lineales, entre otras relaciones de ejercicios de matemáticas. Contiene las soluciones finales de cada uno de ellos. Además, también hay algunos problemas cuya solución se obtiene en muchos casos planteando un sistema de ecuaciones no lineal con dos incógnitas.