La intuición a veces no nos funciona tan bien como creemos. Por ejemplo, supón que te encuentras en grupo con otras \(22\) personas. ¿Cuál crees que sería la probabilidad de que dos de ellas celebren su cumpleaños el mismo día? Si nos dejamos llevar por la intuición pensarás que es complicado que en un grupo de \(23\) personas, dos de ellas cumplan años el mismo día y, por tanto, que esta probabilidad deba ser baja. Digamos ¿un \(10\,\%\) más o menos? ¿Qué te parece? Es decir, ¿cada \(100\) veces que nos encontremos un grupo de \(23\) personas, en \(10\) de ellas, aproximadamente, habrá coincidencia en la fecha de cumpleaños de dos de sus componentes? ¿Es elevado este porcentaje o probabilidad? ¿Es escaso? ¿Te parecería una buena estimación?
Veamos lo que dicen las matemáticas al respecto, en concreto la teoría de probabilidades.
La probabilidad de que ocurra un suceso determinado \(A\), que escribiremos \(P(A)\), se rige por la famosa regla de Laplace, según la cual esta probabilidad es igual al número de casos favorables de que ocurra el suceso \(A\), dividido entre el número de casos posibles en que se puede dar el suceso \(A\).
Lo que supone un porcentaje superior al \(99,7\,\%\). Esto es así porque, elegida una persona cualquiera, debe haber nacido uno de los \(365\) días del año (estamos prescindiendo de los años bisiestos) y, para esta persona, el número de casos favorables es igual que el número de casos posibles: \(365\). Ahora bien, si elegimos otra persona, el número de casos favorables se reducirá a \(364\), uno menos que antes, pues no puede cumplir años el mismo día que la persona anterior. El número de casos posibles sigue siendo \(365\).
Es como calcular cuántos pares de días distintos se pueden elegir al año. En cualquier orden. Para el primer día del par hay \(365\) posibilidades y para el segundo día del par quedan \(364\), ya que alguno tuvo que haber sido usado para la primera persona. Por eso los casos favorables son:
$$365\cdot364=132860$$
Los casos posibles serían, visto de este modo, todos los posibles pares de días que se pueden formar en el año. Por lo tanto son:
$$365\cdot365=133225$$
En realidad, estamos utilizando una conocida regla para contar, el principio de la multiplicación o del producto. Podemos imaginar dos bombos con \(365\) bolas cada uno, numeradas desde el número \(1\) hasta el número \(365\), una para cada uno de los días del año (insistimos en que no contaremos los años bisiestos). Para los casos favorables utilizaremos un bombo completo para la primera persona, y el otro bombo con una bola menos para la segunda persona, justo aquella bola con el número en que cumple los años la primera persona. Está claro que para cada bola del primer bombo hay \(364\) bolas del segundo bombo. En total, como ya se había visto, \(365\cdot364=132860\) parejas distintas de números para los casos favorables.
Si ahora tuviéramos tres personas y quisiéramos saber la probabilidad de que ninguna de las tres hubiese nacido el mismo día, los casos favorables serían todas las posibles ternas de días del año sin repetición. O sea, siguiendo la argumentación anterior:
$$365\cdot364\cdot363=48228180$$
Y los casos posibles ahora serían, naturalmente:
$$365\cdot365\cdot365=48627125$$
Aplicando la regla de Laplace, la probabilidad de que ninguna de las tres personas hayan nacido el mismo día es, por tanto:
$$\frac{48228180}{48627125}\cong0.991795834$$
Si siguiéramos con cuatro personas, la probabilidad de que ninguna de ellas hayan nacido el mismo día es, siguiendo el mismo proceso:
Podríamos seguir así con grupos formados por más personas: cinco, seis, siete, etcétera; y calcular la probabilidad de que ninguna de ellas haya nacido el mismo día. En concreto si llegamos a un grupo de \(23\) personas se tiene:
Es decir, la probabilidad de que, en un grupo de \(23\) personas, ninguna de ellas haya nacido el mismo día es, aproximadamente, \(0,4927\) (en tanto por ciento \(49,27\,\%\)). Esto quiere decir que, en ese mismo grupo, la probabilidad de que dos de ellas sí que celebren su cumpleaños el mismo día es \(1-0,4927=0,5073\), que supone un porcentaje del \(50,73\,\%\).
Por tanto nuestra supuesta intuición estaba lejos de la realidad. En un grupo de, al menos \(23\) personas, la probabilidad de que dos de ellas celebren su cumpleaños el mismo día es de más del \(50\,\%\).
¡Haz la prueba cuando te encuentres en grupo de esta índole y ya me contarás!
Si se introduce el número \(\text{e}\), uno de los números reales más importantes, a la manera matemáticamente formal, quizás dé un poco de miedo. Así que lo haré de una forma, si no divertida, al menos curiosa. Para ello prácticamente transcribiré parte de un libro cuyo título es Matemática, ¿estás ahí?«. Su autor es Adrián Paenza. Adrián es doctor en Matemática, profesor y también un reconocido periodista en los ámbitos deportivo y político. Recomiendo encarecidamente la lectura de su libro.
Pues bien, empecemos.
Supongamos que una persona tiene un capital de \(1\) euro. Y vamos a suponer también que el interés que le pagan anualmente por ese euro es del \(100\,\%\). Es sólo un ejemplo, ya sabemos que no existe ni existirá tal banco, pues se arruinaría antes de empezar. Pero da igual, será un ejemplo que nos servirá. Así que seguid el razonamiento.
Capital: 1 euro
Interés: 100% anual
Si uno hace la inversión en el banco y se va a su casa, ¿cuánto dinero tiene cuando vuelve justo al año? Está claro, como el interés es del \(100\,\%\), al año el señor tiene \(2\) euros: uno que corresponde a su capital y otro que es producto del interés que le pagó el banco.
Capital al cabo de un año: 2 euros
Supongamos ahora que el señor decide poner su dinero no a un año, sino sólo a seis meses. El interés (a lo largo de todo este ejemplo) permanecerá constante: siempre será de un \(100\,\%\). Al cabo de seis meses entonces, el señor ¿cuánto dinero tiene? Está claro que tiene \(1,5\) euros.
Esto es porque como invirtió el mismo capital de \(1\) euro a un interés del \(100\,\%\) pero sólo durante la mitad del año, le corresponde un interés de la mitad de lo que invirtió y, por eso, le corresponden \(0,5\) euros de interés. Es decir, su nuevo capital es de \(1,5\) euros.
Prestad atención porque ahora viene lo bueno. Si ahora el señor decide reinvertir su nuevo capital en el mismo banco, con el mismo interés (\(100\,\%\)) y por otros seis meses para llegar nuevamente al año como antes, ¿cuánto dinero tiene ahora?
Nuevo capital: 1,5 euros
Interés: 100% anual
Plazo que lo deposita: 6 meses
Al finalizar el año tiene:
\[1,5+\frac{1}{2}\cdot1,5=2,25\]
¿Por qué? Porque el capital que tenía a los seis meses iniciales no se toca: \(1,5\) euros. El nuevo interés que cobra es de la mitad del capital, porque el dinero lo pone a un interés del \(100\,\%\) pero sólo por seis meses. Por eso, tiene \(1/2\cdot1,5=0,75\) como nuevo dinero que le aporta el banco como producto de los intereses devengados.
MORALEJA: al señor le conviene (siempre que el banco se lo permita) depositar el dinero en primer lugar a seis meses y luego renovar el plazo fijo a otros seis meses. Si comparamos con lo que le hubiera correspondido en el primer caso, al finalizar el año tenía \(2\) euros. En cambio, reinvirtiendo en la mitad, al cabo de \(365\) días tiene \(2,25\) euros.
Supongamos ahora que el señor coloca el mismo euro que tenía originalmente, pero ahora por cuatro meses. Al cabo de esos cuatro meses, reinvierte el dinero, pero por otros cuatro meses. Y finalmente, hace una última reinversión (siempre con el mismo capital) hasta concluir el año. ¿Cuánto dinero tiene ahora? Veamos.
Al principio del año el señor tiene:
\[1\]
A los cuatro meses (o sea, transcurrido \(1/3\) del año) tiene:
\[1+\frac{1}{3}\]
A los siguientes cuatro meses (ocho desde el comienzo) tiene:
Esto sucede porque a los cuatro meses el capital es de \((1+1/3)\) y, al cabo de otros cuatro meses, tendrá el capital más un tercio de ese capital. La cuenta que sigue despues se obtiene de sacar factor comun \((1+1/3)\) en el primer miembro de la igualdad.
Ahora bien: cuando el señor invierte \((1+1/3)^2\) por otros cuatro meses, al llegar justo el fin del año, el señor tendrá el capital \((1+1/3)^2\) más \(1/3\) de ese capital. O sea:
Os habréis apercibido de que ahora nos queda la tentación de hacerlo no sólo cada cuatro meses, sino cada tres meses. Podéis echar la cuenta y obtendréis que, al cabo de un año el señor tendrá:
\[\left(1+\frac{1}{4}\right)^4=2,44140625\ldots\]
Si lo hiciera cada dos meses, tendría que reinvertir su dinero seis veces al año:
Como podéis ver, al señor le conviene poner su diner a plazo fijo, pero haciéndolo con un plazo cada vez más corto y reinvirtiendo lo que obtiene (siempre con el mismo interés).
Supongamos que el banco le permitiera al señor renovar su plazo diariamente. En este caso, el señor tendría:
Y, por último, supongamos que le permitieran hacerlo una vez por segundo. En este caso, como en el año hay \(31536000\) segundos el capital que tendría al cabo de un año sería:
MORALEJA: si bien uno advierte que el dinero al finalizar el año es cada vez mayor, el dinero que uno tiene al final no aumenta indiscriminadamente.
Hagamos un resumen de la lista que acabamos de escribir, en la que aparezca las veces al año que renueva su capital y su capital final:
1 vez al año – 2
2 veces al año – 2,25
3 veces al año (cuatrimestral) – 2,37037037…
4 veces al año (trimestral) – 2,44140625…
6 veces al año (bimestral) – 2,521626372…
12 veces al año (mensual) – 2,61303529…
365 veces al año (diario) – 2,714567475…
8.760 veces al año (por hora) – 2,718126664…
525.600 veces al año (una vez por minuto) – 2,718279243…
31.536.000 veces al año (una vez por segundo) – 2,718281785…
Lo que es muy interesante es que estos números, si bien crecen cada vez que el interés se cobra más frecuentemente, no lo hacen en forma ni arbitraria ni desbocada. Al contrario: tienen un tope, están acotados. Y la cota superior (es decir, si uno pudiera imaginariamente estar renovándolo a cada instante) es lo que se conoce como el número \(\text{e}\)(que es la base de los logaritmos naturales o neperianos). No sólo es una cota superior, sino que es el número al cual se está acercando cada vez más la sucesión que estamos generando al modificar los plazos de inversión.
El número \(\text{e}\) es un número irracional, cuyas primeras cifras decimales son:
\[\text{e}=2,718281828…\]
El número \(\text{e}\) es uno de los números más importantes de la vida cotidiana, aunque su relevancia está generalmente escondida para el gran público. Habría que divulgar mucho más sobre él. Por ahora, nos contentamos con celebrar su curiosa aparición en este escenario, mostrándolo como el límite (y también la cota superior) del crecimiento de un capital de \(1\) euro a un interés del \(100\,\%\) anual y renovado periódicamente.
Vamos a calcular una primitiva de la función \(f(x)=\dfrac{1}{x^2-a^2}\) donde \(a\) es un número real cualquiera distinto de cero. Es decir, se trata de calcular la integral indefinida \(\displaystyle\int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}\). Para ello vamos a descomponer en dos fracciones simples la fracción \(\dfrac{1}{x^2-a^2}\). Como \(x^2-a^2=(x+a)(x-a)\), tenemos:
La integral \(\displaystyle\int{\frac{1}{x^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2}dx}\) es del tipo \(\displaystyle\int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}\) con \(a=\dfrac{1}{2}\). Por tanto, usando la fórmula \((1)\):
En la Educación Secundaria Obligatoria, es muy habitual proponer la resolución de problemas mediante el planteamiento de ecuaciones de primer grado. Se propone a continuación un problema de este tipo.
Enunciado
Un niño es 26 años menor que su padre. Dentro de tres años, la edad del padre será el triple que la del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno en la actualidad?
Solución
Llamemos $x$ a la edad del padre en la actualidad. Entonces la edad del hijo es $x-26$ años, ya que es 26 años menor que su padre. Una vez fijadas estas dos edades, la edad de cada uno dentro de tres años será: $x+3$ años la del padre, y $x-26+3=x-23$ años la del hijo. A veces es bueno escribir la información en una tabla:
$$\begin{array}{|c|c|c|} & \hline \text{En la actualidad}&\text{Dentro de tres años}\\ \hline \text{Edad del padre}& x &x+3\\ \hline \text{Edad del hijo}& x-26 & x-26+3=x-23\\ \hline \end{array}$$
Pero, según se dice en el enunciado, dentro de tres años la edad del padre será el triple que la edad del hijo. Y esto, en lenguaje matemático, lo podemos escribir así:
$$x+3=3(x-23)$$
Acabamos de plantear una ecuación de primer grado con los datos del problema. Ahora basta con resolverla e interpretar la solución.
$ \Rightarrow x – 3x = – 69 – 3 \Rightarrow – 2x = – 72 \Rightarrow x = \dfrac{{ – 72}}{{ – 2}} \Rightarrow x = 36$
Por tanto, el padre tiene, en la actualidad, 36 años (recuérdese que habíamos llamado $x$ a la edad actual del padre). Como la edad del hijo en la actualidad es $x-26$ años, sustituyendo el valor de $x$, se tiene que $x-26=36-26=10$. Es decir, la edad del hijo actualmente será de 10 años.
Ahora podemos comprobar que los resultados obtenidos se ajustan al enunciado.
Como el padre tiene 36 años y el hijo 10 años, está claro que el hijo es 26 años menor que su padre.
También es claro que, dentro de tres años, el padre tendrá 39 años y el hijo tendrá 13 años. Pero resulta que $39=3\cdot13$. Por tanto, se cumple que dentro de tres años la edad del padre será el triple que la edad de su hijo.
En general, dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, aunque el tamaño sea distinto. En dos figuras semejantes las longitudes de segmentos correspondientes son proporcionales. Se llama razón de semejanza o escala al cociente entre dos longitudes correspondientes.
Dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos son iguales y sus lados son proporcionales. Los ángulos (o vértices) de un triángulo los denotaremos con letras mayúsculas y los lados con letras minúsculas. Al lado opuesto a un ángulo o vértice \(A\) se le suele designar con la misma letra pero minúscula: \(a\). Si dos triángulos \(ABC\), \(A’B’C’\) son semejantes, escribiremos \(ABC\thicksim A’B’C’\).
Obsérvese que, en la figura anterior, si trasladamos el triángulo de la derecha, sin girar, sobre el de la izquierda, hasta superponer los vértices \(A\) y \(A’\), los triángulos encajan perfectamente. Se dice en este caso que los triángulos están en posición de Tales. La razón es porque esta situación concuerda exactamente con el Teorema de Tales, según el cual, rectas paralelas que corten a dos rectas dadas determinan segmentos proporcionales. Por tanto, dos triángulos en posición de Tales siempre son semejantes.
No es necesario comprobar que se cumplen todas las condiciones de la definición para comprobar que dos triángulos son semejantes. Los criterios de semejanza son las condiciones mínimas que se han de cumplir para que dos triángulos sean semejantes.
Primer criterio: dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales.
Segundo criterio: dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales.
Tercer criterio: dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.
De la misma manera que se ha definido para triángulos, la semejanza se puede definir para polígonos cualesquiera. Así, dos polígonos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes proporcionales. Recordemos que se llama razón de semejanza o escala al cociente de la longitud de un lado del polígono entre la longitud correspondiente del otro polígono.
La semejanza tiene muchas aplicaciones a la resolución de problemas geométricos y situaciones reales. Veamos a continuación algunos ejercicios que se pueden resolver utilizando la semejanza.
Ejercicio 1
Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 49 metros en el momento en que un poste de 2 metros arroja una sombra de 1,25 metros.
Solución
El dibujo no está a escala, pero nos sirve para la resolución del problema. Ambos triángulos son semejantes pues están en posición de Tales. Por tanto:
Las sombras de cuatro árboles miden, a las cinco de la tarde, 12 metros, 8 metros, 6 metros y 4 metros, respectivamente. El árbol pequeño tiene una altura de de 2,5 metros. ¿Qué altura tienen los demás?
Solución
Se pueden dibujar triángulos parecidos al del ejercicio anterior que nos sirvan para resolver este problema. No lo vamos a hacer pues el procedimiento es exactamente el mismo. Llamemos (h_1), (h_2) y (h_3) a las alturas de los árboles que arrojan sombras de 12 metros, 8 metros y 6 metros, respectivamente. Entonces:
Así pues, las alturas de los árboles cuyas sombras miden 12 metros, 8 metros y 6 metros son, respectivamente, 7,5 metros, 5 metros y 3,75 metros.
Ejercicio 3
Se tiene un rectángulo inscrito en un triángulo isósceles, como se indica en la figura.
Sabiendo que la base del triángulo es \(b=2\) cm, y la altura \(h=3\) cm, y que la altura del rectángulo es \(H=2\) cm, halla cuánto mide la base del rectángulo.
Solución
Observando la figura anterior se aprecia con claridad que la base del rectángulo mide $2-2x$. Los triángulos en color rojo son semejantes pues están en posición de Tales y sus alturas son, según el enunciado, de 3 cm y 2 cm. De este modo:
Por tanto la base del rectángulo mide $2-2x=2-2\cdot\dfrac{2}{3}=2-\dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{3}\approx0,67$ cm.
Ejercicio 4
¿Cuál es la distancia entre el chico y la base de la torre (el chico ve la torre reflejada en el agua)?
Solución
Llamemos $x$ a la distancia entre el punto de incidencia de la visual del chico con el agua, y el pie de la torre. Por ser ambos triángulos claramente semejantes:
Por tanto, la distancia entre el chico en la base de la torre es $3,3+30=33$ metros.
Ejercicio 5
El bañista se encuentra a 5 metros del barco. La borda del barco está a 1 metro sobre el nivel del mar. El mástil del barco sobresale 3 metros de la borda. El bañista ve alineados el extremo del mástil y el foco del faro.
Solución
¿A qué altura sobre el nivel del mar se encuentra el foco del faro?
Consideremos los dos triángulos siguientes. Uno, el formado por la visual del bañista, el extremo superior del mástil y la vertical del éste hasta el nivel del mar. Otro, el formado por la visual del bañista, el foco del faro y la vertical de éste hasta el nivel del mar. Ambos son semejantes (están en posición de Tales) pues el bañista ve alineados el extremo del mástil y el foco del faro. Llamemos $h$ a la altura sobre el nivel del mar del foco del faro. La altura del primer triángulo es $3+1=4$ metros porque la borda del barco está a 1 metro sobre el nivel del mar. La base del segundo triángulo es, claramente, $20+5=25$ metros. Entonces:
El siguiente ejercicio se ha propuesto en el examen de EvAU de Matemáticas II (convocatoria de junio de 2023).
Enunciado
Sean las matrices $X = \left({\begin{array}{c}a&b\\ c&0 \end{array}} \right)$, con $a,\,b\in\mathbb{R}$, $A = \left( {\begin{array}{c} 2&1\\ 4&2 \end{array}} \right)$, $B = \left( {\begin{array}{c} 1&0\\ 2&0 \end{array}} \right)$.
a) Determina las condiciones que tienen que cumplir los valores $a$, $b$, $c$ para que $A\cdot X=B$.
b) Si además queremos que $X$ sea simétrica, ¿qué se debe cumplir? ¿Cómo es la matriz $X$ resultante?
Solución
a) $A\cdot X=\left( {\begin{array}{c} 2&1\\ 4&2 \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{c} a&b\\ c&0 \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{c} 2a+c&2b\\ 4a+2c&4b \end{array}} \right)$. Entonces, para que $A\cdot X=B$, se ha de cumplir que
De aquí se deduce, por un lado, que $2a+c=1$ y $4a+2c=2$, que son ecuaciones equivalentes, ya que la segunda es el doble de la primera. Despejando $c$ de la primera ecuación, tenemos que $c=1-2a$. Por otro lado, se tiene que $2b=0$ y que $4b=0$. O sea, que $b=0$. Por tanto, las condiciones que tienen que cumplir los valores $a$, $b$, $c$ para que $A\cdot X=B$ son $c=1-2a,\ b=0$. De este modo, para que $A\cdot X=B$, debe ser
Sea un proyectil lanzado verticalmente desde el suelo a una velocidad de \(45\) metros por segundo. Prescindiendo del rozamiento, se supone que solamente actúa la gravedad, por lo que el proyectil se mueve en línea recta. Sea \(f(t)\) la altura en metros que alcanza el proyectil \(t\) segundos después del lanzamiento. Si la fuerza de la gravedad no actuara en él, el proyectil continuaría subiendo a velocidad constante, recorriendo una distancia de \(45\) metros cada segundo, y en el tiempo \(t\) se tendría \(f(t)=45t\). Pero a causa de la gravedad, el proyectil va retardándose hasta que su velocidad llega a valer cero, y a partir de ese momento cae al suelo. Experiencias físicas indican que mientras el proyectil está en movimiento su altura \(f(t)\) viene dada aproximadamente por la fórmula
\[f(t)=45t-5t^2\qquad(1)\]
El término \(-5t^2\) es debido a la influencia de la gravedad. Obsérvese que \(f(t)=0\) cuando \(t=0\) y \(t=9\); o sea, que el proyectil regresa a la tierra después de \(9\) segundos, por lo que la fórmula anterior sólo es válida para \(0\leqslant t\leqslant9\).
El problema a considerar es el siguiente: Determinar la velocidad del proyectil en cada instante de su movimiento. Para poder comprender este problema, hay que precisar lo que se entiende por velocidad en cada instante. Para ello, se introduce la noción de velocidad media durante un intervalo de tiempo, es decir, desde el instante \(t\) al \(t+h\), definiéndola como el cociente:
\[\frac{\text{diferencia de distancias en el intervalo de tiempo}}{\text{intervalo de tiempo}}=\frac{f(t+h)-f(t)}{h}\]
Este cociente, llamado cociente incremental, es un número que se puede calcular siempre que \(t\) y \(t+h\) pertenezcan ambos al intervalo \([0,9]\). El número \(h\) puede ser positivo o negativo, pero no cero. Se dejará fijo \(t\) y se estudiará lo que le ocurre al cociente incremental, cuando se dan a \(h\) valores cada vez menores en valor absoluto.
Por ejemplo, considérese el instante \(t=2\). La distancia recorrida después de \(2\) segundos es:
$$f(2)=90-20=70$$
En el tiempo \(t=2+h\) la distancia recorrida es:
$$f(2+h)=45(2+h)-5(2+h)^2=70+25h-5h^2$$
Por tanto, la velocidad media en el intervalo entre \(t=2\) y \(t=2+h\) es
Tomando valores de \(h\) cada vez más pequeños en valor absoluto, esta velocidad media se acerca más y más a \(25\). Por ejemplo, si \(h=0,1\) la velocidad media es \(24,5\); si \(h=0,001\), es \(24,995\); si \(h=0,00001\), se obtiene el valor \(24,99995\), y cuando \(h=-0,00001\) se obtiene \(25,00005\). Lo importante es que se puede obtener la velocidad media tan próxima a \(25\) como se desee, si más que tomar \(|h|\) suficientemente pequeño. Se describe este hecho diciendo que la velocidad media tiende al límite \(25\) cuando \(h\) tiende a cero. Parece natural llamar al valor de este límite la velocidad instantánea en el instante \(t=2\).
Los mismos cálculos se pueden efectuar para cualquier otro instante. La velocidad media en un intervalo arbitrario entre \(t\) y \(t+h\) está dado por el cociente:
Cuando \(h\) tiende a cero, la expresión de la derecha tiende al límite \(45-10t\) que define la velocidad instantánea en el instante \(t\). Designando la velocidad instantánea por \(v(t)\) se tiene
\[v(t)=45-10t\qquad(2)\]
La fórmula \((1)\) del espacio \(f(t)\), define una función \(f\) que indica la altura a que se encuentra el proyectil en cada instante de su movimiento; \(f\) se denomina función posición o ley de espacios. Su dominio es el intervalo cerrado \([0,9]\) y su gráfica es la siguiente:
La fórmula \((2)\) de la velocidad \(v(t)\) define una nueva función \(v\) que indica la rapidez con que se mueve el proyectil en cada instante de su movimiento, se denomina función velocidad y su gráfica la tienes a continuación.
Obsérvese que, al crecer \(t\) de \(0\) a \(9\), \(v(t)\) decrece constantemente de \(v(0)=45\) a \(v(9)=-45\). Para hallar el instante \(t\) en el cual \(v(t)=0\) se resuelve la ecuación \(45-10t=0\) obteniéndose \(t=\frac{9}{2}\). Por tanto, en el punto central del movimiento la influencia de la gravedad reduce la velocidad a cero y el proyectil queda instantáneamente fijo. La altura en este instante es \(f(\frac{9}{2})=101,25\). Si \(t>\frac{9}{2}\), la velocidad es negativa y la altura decrece.
El proceso por el cual se obtiene \(v(t)\) a partir del cociente incremental se denomina «hallar el límite cuando \(h\) tiende a cero», y se expresa simbólicamente como sigue:
Esta expresión usada para definir la velocidad, en el ejemplo anterior, tiene un sentido más amplio y permite definir la velocidad en movimientos a lo largo de una línea recta, cuando se conozca la función de posición \(f\), y siempre que el cociente incremental tienda a un límite cuando \(h\) tiende a cero.
Derivada de una función
El ejemplo expuesto en el apartado anterior señala el camino para introducir el concepto de derivada. Sea \(f\) una función definida por lo menos en un intervalo abierto \((a,b)\) del eje \(X\). Se elige un punto \(x\) en este intervalo y se forma el cociente de diferencias
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
donde el número \(h\) puede ser positivo o negativo (pero no cero), y tal que \(x+h\) pertenezca también a \((a,b)\). El numerador de este cociente mide la variación de la función cuando \(x\) varía de \(x\) a \(x+h\). El cociente representa la variación media de \(f\) en el intervalo que une \(x\) a \(x+h\).
Seguidamente se hace tender \(h\) a cero y se estudia lo que le ocurre a ese cociente. Si tiende hacia un cierto valor como límite (y será el mismo, tanto si \(h\) tiende a cero con valores positivos como negativos), entonces ese límite se denomina derivada de \(f\) en \(x\) y se indica por el símbolo \(f'(x)\). Por tanto, la definición formal de \(f'(x)\) puede establecerse del siguiente modo.
Definición de derivada.
La derivada \(f'(x)\) está definida por la igualdad
con tal que el límite exista. El número \(f'(x)\) también se denomina coeficiente de variación de \(f\) en \(x\).
Comparando la igualdad \((4)\) con la igualdad \((3)\) se ve que el concepto de velocidad instantánea es simplemente un ejemplo del concepto de derivada. La velocidad \(v(t)\) es igual a la derivada \(f'(t)\) cuando \(f\) es la ley de espacios; lo que frecuentemente se expresa diciendo que la velocidad es la relación entre la variación del espacio y la del tiempo. Ya hemos visto en el apartado anterior que la ley de espacios está dada por la ecuación \(f(t)=45t-t^2\), y su derivada \(f’\) es una nueva función (velocidad) dada por \(f'(t)=45-10t\).
En general, el proceso de paso al límite por el que se obtiene \(f'(x)\) a partir de \(f(x)\), abre un camino para obtener una nueva función \(f’\) a partir de una función dada \(f\). Este proceso se denomina derivación, y \(f’\) es la primera derivada de \(f\). Si \(f’\) a su vez está definida en un intervalo abierto, se puede también calcular su primera derivada, indicada por \(f’\,’\) y que es la segunda derivada de \(f\). Análogamente, la derivada \(n\)-sima de \(f\), que se indica por \(f^{(n)}\), se define como la derivada primera de \(f^{(n-1)}\). Convendremos en que \(f^{(0)}=f\), esto es, la derivada de orden cero es la misma función.
En el caso del movimiento rectilíneo, la primera derivada de la velocidad (segunda derivada del espacio) se denomina aceleración. Por ejemplo, para calcular la aceleración en el ejemplo del apartado anterior, se puede utilizar la ecuación \((2)\) para formar el cociente de diferencias
Como este cociente no varía al tender \(h\) a \(0\), se puede considerar que tiende a \(-10\) (puesto que es \(-10\) cuando \(h\) está próximo a \(0\)). Se concluye pues que la aceleración en este problema es constante e igual a \(-10\), lo que indica que la velocidad decrece a una razón de \(10\) metros por segundo cada segundo. En \(9\) segundos el decrecimiento total de la velocidad es \(9\cdot10=90\) metros por segundo, que está de acuerdo con el hecho de que durante los \(9\) segundos de movimiento la velocidad cambie de \(v(0)=45\) a \(v(9)=-45\).
Ejemplos de derivadas
EJEMPLO 1. Derivada de la función constante. Supongamos que \(f\) es una función constante: sea por ejemplo \(f(x)=k\), para todo \(x\). El cociente de diferencias es
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{c-c}{h}=0$$
Puesto que el cociente es \(0\) para todo \(x\), su límite cuando \(h\) tiende a cero, \(f'(x)\), es también \(0\) para todo \(x\). Dicho de otro modo, una función constante tiene derivada nula para todo \(x\).
EJEMPLO 2. Derivada de la función lineal. Sea \(f\) una función lineal, por ejemplo \(f(x)=mx+n\) para todo real \(x\). Si \(h\neq0\), tenemos
Como que el cociente de diferencias no cambia cuando \(h\) tiende a \(0\), resulta que \(f'(x)=m\), para cada \(x\). Así que, la derivada de una función lineal es una función constante.
EJEMPLO 3. Derivada de una función potencial de exponente entero positivo. Consideremos el caso \(f(x)=x^n\), siendo \(n\) un entero positivo. El cociente de diferencias es ahora
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^n-x^n}{h}$$
En álgebra elemental se tiene la igualdad (¡compruébese!)
Es conveniente observar que el segundo paréntesis del segundo miembro tiene \(n\) sumandos. Si en la igualdad anterior se toma \(a=x+h\) y \(b=x\), la identidad se transforma en:
Por lo tanto el cociente de diferencias tiene como límite \(\cos x\) cuando \(h\rightarrow0\). Dicho de otro modo, \(f'(x)=\cos x\) para todo \(x\), es decir, la derivada de la función seno es el coseno.
EJEMPLO 5. Derivada de la función coseno. Sea \(f(x)=\cos x\). Demostraremos que \(f'(x)=-\text{sen}\,x\), esto es, que la derivada de la función coseno es menos la función seno. Hemos de partir ahora de la identidad trigonométrica siguiente:
La continuidad de la función seno demuestra que \(\text{sen}(x+\frac{h}{2})\rightarrow\text{sen}\,x\) cuando \(h\rightarrow0\). Además, recordemos que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{\text{sen}\,x}{x}=1\). Por tanto \(f'(x)=-\text{sen}\,x\).
EJEMPLO 6. Derivada de la función raíz n-sima. Si \(n\) es un entero positivo, sea \(f(x)=x^{1/n}\) para \(x>0\). El cociente de diferencias para \(f\) es
Pongamos \(u=(x+h)^{1/n}\) y \(v=x^{1/n}\). Tenemos entonces \(u^n=x+h\) y \(v^n=x\), con lo que \(h=u^n-v^n\), y el cociente de diferencias toma la forma (ver ejemplo 3)
La continuidad de la función raíz \(n\)-sima prueba que \(u\rightarrow v\) cuando \(h\rightarrow0\). Por consiguiente, cada término del denominador del miembro de la derecha tiene límite \(v^{n-1}\) cuando \(h\rightarrow0\). En total hay \(n\) términos, con lo que el cociente de diferencias tiene como límite \(\frac{1}{nv^{n-1}}=\frac{v^{1-n}}{n}\). Puesto que \(v=x^{1/n}\), esto demuestra que
EJEMPLO 7. Continuidad de las funciones que admiten derivadas. Si una función \(f\) tiene derivada en un punto \(x\), es también continua en \(x\). Para demostrarlo, empleamos la identidad
que es válida para \(h\neq0\). Si hacemos que \(h\rightarrow0\), el cociente de diferencias del segundo miembro tiende a \(f'(x)\) y, puesto que este cociente está multiplicado por un factor que tiende hacia \(0\), el segundo término del segundo miembro tiende a \(0\). Esto demuestra que \(f(x+h)\rightarrow f(x)\) cuando \(h\rightarrow0\), y por tanto que \(f\) es continua en \(x\) (obsérvese que esto es lo mismo que decir, haciendo un adecuado cambio de variable, que \(f(x)\rightarrow f(a)\) cuando \(x\rightarrow a\)).
Este último ejemplo proporciona un nuevo procedimiento para probar la continuidad de las funciones. Cada vez que establecemos la existencia de una derivada \(f'(x)\), establecemos también, al mismo tiempo, la continuidad de \(f\) en \(x\). Debería observarse, no obstante, que el recíproco no es cierto. La continuidad en \(x\) no implica necesariamente la existencia de la derivada \(f'(x)\). Por ejemplo, cuando \(f(x)=|x|\), el punto \(x=0\) es de continuidad de \(f\) (ya que \(f(x)\rightarrow f(0)=0\) cuando \(x\rightarrow0\)), pero no existe derivada en \(0\). El cociente de diferencias \(\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\) es igual a \(\frac{|h|}{h}\). Éste vale \(1\) si \(h>0\) y \(-1\) si \(h<0\), y por consiguiente no tiene límite cuando \(h\rightarrow0\).
Referencia bibliográfica. Apostol T. M. (1990. Reimpresión digital 2015): Calculus I. Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al álgebra lineal (Reverté Ediciones).
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