La imaginación es la voz del atrevimiento
El determinante de una matriz cuadrada $A$ es un número real asociado a dicha matriz, al que denotaremos del siguiente modo: $|A|$.
Sea $A$ una matriz cuadrada de orden dos. Su determinante es muy fácil de calcular:
\[|A|=\begin{vmatrix}
a_{11} &a_{12} \\
a_{21} &a_{22}
\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\]
Si $A$ es una matriz cuadrada de orden tres, su determinante se calcula del siguiente modo:
\[|A|=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}=\]
\[=(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}) -(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{11}a_{23}a_{32})\]
Hay una regla para recordar fácilmente la fórmula anterior, denomimada regla de Sarrus.
Cuando el determinante es de orden mayor que tres no queda más remedio que desarrollar por una fila o por una columna:
Si los elementos de una fila o de una columna de una matriz cuadrada se multiplican por sus respectivos adjuntos y se suman los resultados, se obtiene el determinante de la matriz inicial. Se dice entonces que el determinante está desarrollado por los elementos de esa fila o de esa columna.
Más concretamente, si $A=(a_{ij})$ es una matriz cuadrada de orden $n$, el determinante de $A$ se puede obtener del siguiente modo:
$$\left| A \right| = {a_{i1}}{A_{i1}} + {a_{i2}}{A_{i2}} + \ldots + {a_{in}}{A_{in}}$$
si se desarrolla por la fila i-ésima, o bien:
$$\left| A \right| = {a_{1j}}{A_{1j}} + {a_{2j}}{A_{2j}} + \ldots + {a_{nj}}{A_{nj}}$$
si se desarrolla por la columna j-ésima.
En los desarrollos anteriores $A_{ij}$ es el adjunto del elemento $a_{ij}$. Y, si llamamos $\Delta_{ij}$ al menor complementario del elemento $a_{ij}$ (es decir, al determinante que resulta de eliminar la fila $i$ y la columna $j$), recodemos que el adjunto coincide con el menor complementario si $i+j$ es par, y con el opuesto del menor complementario si $i+j$ es impar. Hay una fórmula para describir todo esto:
$$A_{ij}=(-1)^{i+j}\Delta_{ij}$$
Para más información sobre el menor complementario y el adjunto de un elemento de una matriz se puede consultar este artículo dedicado al cálculo de matrices inversas.
Naturalemente, el desarrollo anterior es independiente de la fila o de la columna elegidas.
Por ejemplo, calculemos el determinante de la matriz $A=\begin{pmatrix}1&2&0&-3\\4&-1&1&-2\\0&3&2&-1\\ -2&1&3&2 \end{pmatrix}$.
No importa la fila o la columna que elijamos, pero al hacer el desarrollo por la elegida, cada uno de sus elementos se multiplica por su adjunto y luego se suma todo. Por tanto, siempre será mejor si elegimos una fila o una columna con el mayor número de ceros posible.
Desarrollando por la primera fila se tiene:
$$|A|=1\cdot A_{11}+2\cdot A_{12}+0\cdot A_{13}+(-3)\cdot A_{14}=\Delta_{11}-2\cdot \Delta_{12}+3\cdot\Delta_{14}=$$
$$=\begin{vmatrix}-1&1&-2\\3&2&-1\\1&3&2\end{vmatrix}-2\cdot\begin{vmatrix}4&1&-2\\0&2&-1\\-2&3&2\end{vmatrix}+3\cdot\begin{vmatrix}4&-1&1\\0&3&2\\-2&1&3 \end{vmatrix}=$$
$$=-28-2\cdot22+3\cdot38=-28-44+114=42$$
Puedes desarrollar por cualquier otra fila o columna. Se llega al mismo resultado.
Propiedades de los determinantes
- El determinante de una matriz triangular es el producto de sus elementos diagonales. En particular, $|I|=1$, donde $I$ es la matriz identidad.
- El determinande de una matriz cuadrada es igual que el de su traspuesta: $|A|=|A^t|$.
- Si en una matriz cuadrada todos los elementos de una fila o de una columna son ceros, su determinante es cero.
- Si se permutan o se intercambian entre si dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo.
- Si una matriz cuadrada tienen dos filas o dos columnas proporcionales, su determinante es cero. En particular, si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales, su determinante es cero.
- Si multiplicamos por el mismo número todos los elementos de una fila o de una columna de una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado por ese número. Consecuentemente, el determinante de una matriz cuadrada $A$ de orden $n$ multiplicada por un escalar $\lambda$, es igual a $\lambda^n$ veces el determinante de $A$. Es decir: $|\lambda A|=\lambda^n|A|$.
- Si denotamos por $c_1,\ldots,c_i,\ldots,c_n$ a las $n$ columnas de una matriz cuadrada de orden $n$, se tiene que $|c_1,\ldots,c_i+c_i’,\ldots,c_n|=|c_1,\ldots,c_i,\ldots,c_n|+|c_1,\ldots,c_i’,\ldots,c_n|$, siendo esta descomposición válida cualesquiera sean la fila o la columna en la que se encuentre los sumandos.
- Si una matriz tiene una fila o una columna que es combinación lineal de las demás filas o columnas, entonces su determinante es cero. Y, recíprocamente, si un determinate es cero, entonces tiene una fila (y una columna) que es combinación lineal de las demás.
- El determinante no varía si a una fila o a una columna se le suma una combinación lineal de las demás. En particular, si a una fila o a una columna se le suma o se le resta otra previamente multiplicada por un número, el determinante no varía.
- El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de sus determinantes: $|A\cdot B|=|B\cdot A|=|A|\cdot|B|$.
Se dice que una matriz cuadrada $A$ es regular o invertible si tiene inversa o, equivalentemente, si $|A|\neq0$. En tal caso, se tiene que $\left|A\right|^{-1}=\dfrac{1}{|A|}$. La demostración es muy sencilla. Como $AA^{-1}=I$, tenemos:
$$\left|AA^{-1}\right|=|I|\Rightarrow|A|\left|A^{-1}\right|=1\Rightarrow\left|A\right|^{-1}=\dfrac{1}{|A|}$$
Para calcular un determinante usando el desarrollo por una fila o columna, a veces es conveniente, y de manera previa, «hacer ceros» en casi todos los términos de la fila o de la columna por la que vayamos a desarrollar. En estos casos hay que utilizar con cierto ingenio algunas de las propiedades de los determinantes, anteriormente enumeradas. Veámoslo volviendo a calcular el determinante del ejemplo anterior.
En el ejemplo realizado anteriormente, hemos desarrollado por la primera fila y hemos obtenido que $|A|=42$. Pero antes de hacer el desarrollo podemos hacer algunos cambios y todo será más fácil.
Recordemos que teníamos que calcular el siguiente determinante:
$$\begin{vmatrix}1&2&0&-3\\4&-1&1&-2\\0&3&2&-1\\ -2&1&3&2 \end{vmatrix}$$
Si a la segunda fila le restamos la primera multiplicada por $4$, y a la cuarta fila le sumamos la primera multiplicada por $2$, en virtud de la propiedad 9, tenemos:
$$\begin{vmatrix}1&2&0&-3\\4&-1&1&-2\\0&3&2&-1\\ -2&1&3&2 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix}1&2&0&-3\\0&-9&1&10\\0&3&2&-1\\ 0&5&3&-4 \end{vmatrix}=1\cdot A_{11}=\Delta_{11}=\begin{vmatrix} -9&1&10\\ 3&2&-1\\ 5&3&-4 \end{vmatrix}=$$
$$=(72-5+90)-(100-12+27)=157-115=42$$
Ejercicios resueltos
1. Obtener el valor de los siguientes determinantes usando, previamente, las propiedades de estos. Posteriormente puedes desarrollar por los elementos de una fila o de una columna.
a) $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 3 & 3 & 3\\ 1 & 3 & 5 & 5 & 5\\ 1 & 3 & 5 & 7 & 7\\ 1 & 3 & 5 & 7 & 9\\ \end{vmatrix}$
Solución
Restando a la quinta fila la cuarta, a la cuarta la tercera, a la tercera la segunda y a la segunda la primera, resulta ser el determinande de una matriz triangular, cuyo valor es el producto de los elementos de la diagonal principal (basta desarrollar por los elementos de la primera columna):
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 3 & 3 & 3\\ 1 & 3 & 5 & 5 & 5\\ 1 & 3 & 5 & 7 & 7\\ 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}=1\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=16$.
b) $\begin{vmatrix} 1+x & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1-x & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1+y & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1-y\\ \end{vmatrix}$
Solución
Restando a cada fila la siguiente y sacando factor común $x$ de la primera fila e $y$ de la tercera, se tiene:
$\begin{vmatrix} 1+x & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1-x & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1+y & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1-y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x & x & 0 & 0\\ 0 & -x & -y & 0\\ 0 & 0 & y & y\\ 1 & 1 & 1 & 1-y\end{vmatrix}=x\cdot y\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -x & -y & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1-y\end{vmatrix}$
Ahora, en el último determinante, restando a la cuarta fila la primera y desarrollando por la primera columna:
$=x\cdot y\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -x & -y & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1-y\end{vmatrix}=x\cdot y\cdot\begin{vmatrix} -x & -y & 0\\ 0 & 1 &1\\ 0 & 1 & 1-y\end{vmatrix}=x\cdot y\cdot(-x)\cdot\begin{vmatrix}1 & 1\\1 & 1-y\end{vmatrix}=$
$=x\cdot y\cdot(-x)\cdot(1-y-1)=x\cdot y\cdot(-x)\cdot(-y)=x^2\cdot y^2$.
c) $\begin{vmatrix} x^2+1 & xy & xz\\ xy & y^2+1 & yz\\ xz & yz & z^2+1\\ \end{vmatrix}$
Solución
Multiplicando la segunda y tercera filas por \(x\):
$\begin{vmatrix} x^2+1 & xy & xz\\ xy & y^2+1 & yz\\ xz & yz & z^2+1\end{vmatrix}=\dfrac{1}{x^2}\begin{vmatrix} x^2+1 & xy & xz\\ x^2y & xy^2+x & xyz\\ x^2z & xyz & xz^2+x\end{vmatrix}=$
Restando a la segunda fila la primera multiplicada por \(y\), y restando a la tercera fila la primera multiplicada por \(x\):
$=\dfrac{1}{x^2}\begin{vmatrix} x^2+1 & xy & xz\\ -y & x & 0\\ -z & 0 & x\end{vmatrix}=$
Sacando factor común \(x\) en la segunda y tercera columna y desarrollando por la regla de Sarrus:
$=\dfrac{1}{x^2}\cdot x^2\cdot \begin{vmatrix} x^2+1 & y & z\\ -y & 1 & 0\\ -z & 0 & 1\end{vmatrix}=(x^2+1)-(-z^2-y^2)=x^2+y^2+z^2+1$.
d) $\begin{vmatrix} x & y & x+y\\ y & x+y & x\\ x+y & x & y\\ \end{vmatrix}$
Solución
Sumando las filas segunda y tercera a la primera:
$\begin{vmatrix} x & y & x+y\\ y & x+y & x\\ x+y & x & y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2x+2y & 2x+2y & 2x+2y\\ y & x+y & x\\ x+y & x & y\end{vmatrix}=2(x+y)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ y & x+y & x\\ x+y & x & y\end{vmatrix}$
Restando a la segunda columna la primera y a la tercera columna la primera
$=2(x+y)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ y & x & x-y\\ x+y & -y & -x\end{vmatrix}=2(x+y)\begin{vmatrix}x&x-y\\-y&-x\end{vmatrix}=$
$=2(x+y)\left(-x^2-(-y(x-y)\right)=2(x+y)(-x^2+xy-y^2)=$
$=2(-x^3+x^2y-xy^2-x^2y+xy^2-y^3)=-2(x^3+y^3)$.
2. Sabiendo que $\begin{vmatrix} a & b & c\\ p & q & r\\ x & y & z\\ \end{vmatrix}=7$, usa las propiedades de los determinantes para calcular el valor de los dos siguientes:
$$\begin{vmatrix} a+2x & b+2y & c+2z\\ p & q & r\\ 2x+p & 2y+q & 2z+r\\ \end{vmatrix}\quad;\quad \begin{vmatrix} -b & c+b & 5a\\ -q & r+q & 5p\\ -y & z+y & 5x\\ \end{vmatrix}$$
Solución
Primer determinante.
$\begin{vmatrix} a+2x & b+2y & c+2z\\ p & q & r\\ 2x+p & 2y+q & 2z+r\\ \end{vmatrix}\overset{\underset{\mathrm{\textbf{(1)}}}{}}{=}\begin{vmatrix} a & b & c\\ p & q & r\\ 2x+p & 2y+q & 2z+r\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 2x & 2y & 2z\\ p & q & r\\ 2x+p & 2y+q & 2z+r\\ \end{vmatrix}\overset{\underset{\mathrm{\textbf{(2)}}}{}}{=}$
$\overset{\underset{\mathrm{\textbf{(2)}}}{}}{=}\begin{vmatrix} a & b & c\\ p & q & r\\ 2x & 2y & 2z\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a & b & c\\ p & q & r\\ p & q & r\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 2x & 2y & 2z \\ p & q & r\\ p & q & r \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 2x & 2y & 2z\\ p & q & r\\ p & q & r \end{vmatrix}\overset{\underset{\mathrm{\textbf{(3)}}}{}}{=}$
$\overset{\underset{\mathrm{\textbf{(3)}}}{}}{=}2\cdot\begin{vmatrix} a & b & c\\ p & q & r\\ x & y & 2\ \end{vmatrix}+0+0+0=2\cdot7=14$
En los pasos $\textbf{(1)}$ y $\textbf{(2)}$ se ha utilizado la propiedad 7.
En el paso $\textbf{(3)}$ se ha utilizado la propiedad 6 (sacando factor el $2$ del primer determinante porque es común en la tercera fila) y la propiedad 5 (los tres últimos determinantes son cero porque tienen dos filas iguales).
Segundo determinante.
$\begin{vmatrix} -b & c+b & 5a\\ -q & r+q & 5p\\ -y & z+y & 5x \end{vmatrix}\overset{\underset{\mathrm{\textbf{(1)}}}{}}{=}\begin{vmatrix} -b & c & 5a\\ -q & r & 5p\\ -y & z & 5x \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} -b & b & 5a\\ -q & q & 5p\\ -y & y & 5x \end{vmatrix}\overset{\underset{\mathrm{\textbf{(2)}}}{}}{=}(-1)\cdot5\cdot\begin{vmatrix} b & c & a\\ q & r & p\\ y & z & x \end{vmatrix}+0\overset{\underset{\mathrm{\textbf{(3)}}}{}}{=}$
$\overset{\underset{\mathrm{\textbf{(3)}}}{}}{=}-5\cdot\begin{vmatrix} a & b & c\\ p & q & r\\ x & y & z \end{vmatrix}=-5\cdot7=-35$
En el paso $\textbf{(1)}$ se ha utilizado la propiedad 7.
En el paso $\textbf{(2)}$ se ha utilizado la propiedad 6 (sacando factor el $-1$ y el $5$ determinante porque son comunes en la primera y tercera columnas, respectivamente), y la propiedad 5 (el segundo determinante es cero porque la primera y segunda columnas son proporcionales.
En el paso $\textbf{(3)}$ se ha utilizado la propiedad 4 dos veces: se ha intercambiado la primera columna con la tercera, y luego la segunda columna con la tercera. Como hay dos intercambios, hay dos cambios de signo, con lo que el signo del determinante permanece.
