Vamos a calcular una primitiva de la función \(f(x)=\dfrac{1}{x^2-a^2}\) donde \(a\) es un número real cualquiera distinto de cero. Es decir, se trata de calcular la integral indefinida \(\displaystyle\int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}\). Para ello vamos a descomponer en dos fracciones simples la fracción \(\dfrac{1}{x^2-a^2}\). Como \(x^2-a^2=(x+a)(x-a)\), tenemos:
La integral \(\displaystyle\int{\frac{1}{x^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2}dx}\) es del tipo \(\displaystyle\int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}\) con \(a=\dfrac{1}{2}\). Por tanto, usando la fórmula \((1)\):
En la Educación Secundaria Obligatoria, es muy habitual proponer la resolución de problemas mediante el planteamiento de ecuaciones de primer grado. Se propone a continuación un problema de este tipo.
Enunciado
Un niño es 26 años menor que su padre. Dentro de tres años, la edad del padre será el triple que la del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno en la actualidad?
Solución
Llamemos $x$ a la edad del padre en la actualidad. Entonces la edad del hijo es $x-26$ años, ya que es 26 años menor que su padre. Una vez fijadas estas dos edades, la edad de cada uno dentro de tres años será: $x+3$ años la del padre, y $x-26+3=x-23$ años la del hijo. A veces es bueno escribir la información en una tabla:
$$\begin{array}{|c|c|c|} & \hline \text{En la actualidad}&\text{Dentro de tres años}\\ \hline \text{Edad del padre}& x &x+3\\ \hline \text{Edad del hijo}& x-26 & x-26+3=x-23\\ \hline \end{array}$$
Pero, según se dice en el enunciado, dentro de tres años la edad del padre será el triple que la edad del hijo. Y esto, en lenguaje matemático, lo podemos escribir así:
$$x+3=3(x-23)$$
Acabamos de plantear una ecuación de primer grado con los datos del problema. Ahora basta con resolverla e interpretar la solución.
$ \Rightarrow x – 3x = – 69 – 3 \Rightarrow – 2x = – 72 \Rightarrow x = \dfrac{{ – 72}}{{ – 2}} \Rightarrow x = 36$
Por tanto, el padre tiene, en la actualidad, 36 años (recuérdese que habíamos llamado $x$ a la edad actual del padre). Como la edad del hijo en la actualidad es $x-26$ años, sustituyendo el valor de $x$, se tiene que $x-26=36-26=10$. Es decir, la edad del hijo actualmente será de 10 años.
Ahora podemos comprobar que los resultados obtenidos se ajustan al enunciado.
Como el padre tiene 36 años y el hijo 10 años, está claro que el hijo es 26 años menor que su padre.
También es claro que, dentro de tres años, el padre tendrá 39 años y el hijo tendrá 13 años. Pero resulta que $39=3\cdot13$. Por tanto, se cumple que dentro de tres años la edad del padre será el triple que la edad de su hijo.
En general, dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, aunque el tamaño sea distinto. En dos figuras semejantes las longitudes de segmentos correspondientes son proporcionales. Se llama razón de semejanza o escala al cociente entre dos longitudes correspondientes.
Dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos son iguales y sus lados son proporcionales. Los ángulos (o vértices) de un triángulo los denotaremos con letras mayúsculas y los lados con letras minúsculas. Al lado opuesto a un ángulo o vértice \(A\) se le suele designar con la misma letra pero minúscula: \(a\). Si dos triángulos \(ABC\), \(A’B’C’\) son semejantes, escribiremos \(ABC\thicksim A’B’C’\).
Obsérvese que, en la figura anterior, si trasladamos el triángulo de la derecha, sin girar, sobre el de la izquierda, hasta superponer los vértices \(A\) y \(A’\), los triángulos encajan perfectamente. Se dice en este caso que los triángulos están en posición de Tales. La razón es porque esta situación concuerda exactamente con el Teorema de Tales, según el cual, rectas paralelas que corten a dos rectas dadas determinan segmentos proporcionales. Por tanto, dos triángulos en posición de Tales siempre son semejantes.
No es necesario comprobar que se cumplen todas las condiciones de la definición para comprobar que dos triángulos son semejantes. Los criterios de semejanza son las condiciones mínimas que se han de cumplir para que dos triángulos sean semejantes.
Primer criterio: dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales.
Segundo criterio: dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales.
Tercer criterio: dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.
De la misma manera que se ha definido para triángulos, la semejanza se puede definir para polígonos cualesquiera. Así, dos polígonos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes proporcionales. Recordemos que se llama razón de semejanza o escala al cociente de la longitud de un lado del polígono entre la longitud correspondiente del otro polígono.
La semejanza tiene muchas aplicaciones a la resolución de problemas geométricos y situaciones reales. Veamos a continuación algunos ejercicios que se pueden resolver utilizando la semejanza.
Ejercicio 1
Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 49 metros en el momento en que un poste de 2 metros arroja una sombra de 1,25 metros.
Solución
El dibujo no está a escala, pero nos sirve para la resolución del problema. Ambos triángulos son semejantes pues están en posición de Tales. Por tanto:
Las sombras de cuatro árboles miden, a las cinco de la tarde, 12 metros, 8 metros, 6 metros y 4 metros, respectivamente. El árbol pequeño tiene una altura de de 2,5 metros. ¿Qué altura tienen los demás?
Solución
Se pueden dibujar triángulos parecidos al del ejercicio anterior que nos sirvan para resolver este problema. No lo vamos a hacer pues el procedimiento es exactamente el mismo. Llamemos (h_1), (h_2) y (h_3) a las alturas de los árboles que arrojan sombras de 12 metros, 8 metros y 6 metros, respectivamente. Entonces:
Así pues, las alturas de los árboles cuyas sombras miden 12 metros, 8 metros y 6 metros son, respectivamente, 7,5 metros, 5 metros y 3,75 metros.
Ejercicio 3
Se tiene un rectángulo inscrito en un triángulo isósceles, como se indica en la figura.
Sabiendo que la base del triángulo es \(b=2\) cm, y la altura \(h=3\) cm, y que la altura del rectángulo es \(H=2\) cm, halla cuánto mide la base del rectángulo.
Solución
Observando la figura anterior se aprecia con claridad que la base del rectángulo mide $2-2x$. Los triángulos en color rojo son semejantes pues están en posición de Tales y sus alturas son, según el enunciado, de 3 cm y 2 cm. De este modo:
Por tanto la base del rectángulo mide $2-2x=2-2\cdot\dfrac{2}{3}=2-\dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{3}\approx0,67$ cm.
Ejercicio 4
¿Cuál es la distancia entre el chico y la base de la torre (el chico ve la torre reflejada en el agua)?
Solución
Llamemos $x$ a la distancia entre el punto de incidencia de la visual del chico con el agua, y el pie de la torre. Por ser ambos triángulos claramente semejantes:
Por tanto, la distancia entre el chico en la base de la torre es $3,3+30=33$ metros.
Ejercicio 5
El bañista se encuentra a 5 metros del barco. La borda del barco está a 1 metro sobre el nivel del mar. El mástil del barco sobresale 3 metros de la borda. El bañista ve alineados el extremo del mástil y el foco del faro.
Solución
¿A qué altura sobre el nivel del mar se encuentra el foco del faro?
Consideremos los dos triángulos siguientes. Uno, el formado por la visual del bañista, el extremo superior del mástil y la vertical del éste hasta el nivel del mar. Otro, el formado por la visual del bañista, el foco del faro y la vertical de éste hasta el nivel del mar. Ambos son semejantes (están en posición de Tales) pues el bañista ve alineados el extremo del mástil y el foco del faro. Llamemos $h$ a la altura sobre el nivel del mar del foco del faro. La altura del primer triángulo es $3+1=4$ metros porque la borda del barco está a 1 metro sobre el nivel del mar. La base del segundo triángulo es, claramente, $20+5=25$ metros. Entonces:
El siguiente ejercicio se ha propuesto en el examen de EvAU de Matemáticas II (convocatoria de junio de 2023).
Enunciado
Sean las matrices $X = \left({\begin{array}{c}a&b\\ c&0 \end{array}} \right)$, con $a,\,b\in\mathbb{R}$, $A = \left( {\begin{array}{c} 2&1\\ 4&2 \end{array}} \right)$, $B = \left( {\begin{array}{c} 1&0\\ 2&0 \end{array}} \right)$.
a) Determina las condiciones que tienen que cumplir los valores $a$, $b$, $c$ para que $A\cdot X=B$.
b) Si además queremos que $X$ sea simétrica, ¿qué se debe cumplir? ¿Cómo es la matriz $X$ resultante?
Solución
a) $A\cdot X=\left( {\begin{array}{c} 2&1\\ 4&2 \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{c} a&b\\ c&0 \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{c} 2a+c&2b\\ 4a+2c&4b \end{array}} \right)$. Entonces, para que $A\cdot X=B$, se ha de cumplir que
De aquí se deduce, por un lado, que $2a+c=1$ y $4a+2c=2$, que son ecuaciones equivalentes, ya que la segunda es el doble de la primera. Despejando $c$ de la primera ecuación, tenemos que $c=1-2a$. Por otro lado, se tiene que $2b=0$ y que $4b=0$. O sea, que $b=0$. Por tanto, las condiciones que tienen que cumplir los valores $a$, $b$, $c$ para que $A\cdot X=B$ son $c=1-2a,\ b=0$. De este modo, para que $A\cdot X=B$, debe ser
Sea un proyectil lanzado verticalmente desde el suelo a una velocidad de \(45\) metros por segundo. Prescindiendo del rozamiento, se supone que solamente actúa la gravedad, por lo que el proyectil se mueve en línea recta. Sea \(f(t)\) la altura en metros que alcanza el proyectil \(t\) segundos después del lanzamiento. Si la fuerza de la gravedad no actuara en él, el proyectil continuaría subiendo a velocidad constante, recorriendo una distancia de \(45\) metros cada segundo, y en el tiempo \(t\) se tendría \(f(t)=45t\). Pero a causa de la gravedad, el proyectil va retardándose hasta que su velocidad llega a valer cero, y a partir de ese momento cae al suelo. Experiencias físicas indican que mientras el proyectil está en movimiento su altura \(f(t)\) viene dada aproximadamente por la fórmula
\[f(t)=45t-5t^2\qquad(1)\]
El término \(-5t^2\) es debido a la influencia de la gravedad. Obsérvese que \(f(t)=0\) cuando \(t=0\) y \(t=9\); o sea, que el proyectil regresa a la tierra después de \(9\) segundos, por lo que la fórmula anterior sólo es válida para \(0\leqslant t\leqslant9\).
El problema a considerar es el siguiente: Determinar la velocidad del proyectil en cada instante de su movimiento. Para poder comprender este problema, hay que precisar lo que se entiende por velocidad en cada instante. Para ello, se introduce la noción de velocidad media durante un intervalo de tiempo, es decir, desde el instante \(t\) al \(t+h\), definiéndola como el cociente:
\[\frac{\text{diferencia de distancias en el intervalo de tiempo}}{\text{intervalo de tiempo}}=\frac{f(t+h)-f(t)}{h}\]
Este cociente, llamado cociente incremental, es un número que se puede calcular siempre que \(t\) y \(t+h\) pertenezcan ambos al intervalo \([0,9]\). El número \(h\) puede ser positivo o negativo, pero no cero. Se dejará fijo \(t\) y se estudiará lo que le ocurre al cociente incremental, cuando se dan a \(h\) valores cada vez menores en valor absoluto.
Por ejemplo, considérese el instante \(t=2\). La distancia recorrida después de \(2\) segundos es:
$$f(2)=90-20=70$$
En el tiempo \(t=2+h\) la distancia recorrida es:
$$f(2+h)=45(2+h)-5(2+h)^2=70+25h-5h^2$$
Por tanto, la velocidad media en el intervalo entre \(t=2\) y \(t=2+h\) es
Tomando valores de \(h\) cada vez más pequeños en valor absoluto, esta velocidad media se acerca más y más a \(25\). Por ejemplo, si \(h=0,1\) la velocidad media es \(24,5\); si \(h=0,001\), es \(24,995\); si \(h=0,00001\), se obtiene el valor \(24,99995\), y cuando \(h=-0,00001\) se obtiene \(25,00005\). Lo importante es que se puede obtener la velocidad media tan próxima a \(25\) como se desee, si más que tomar \(|h|\) suficientemente pequeño. Se describe este hecho diciendo que la velocidad media tiende al límite \(25\) cuando \(h\) tiende a cero. Parece natural llamar al valor de este límite la velocidad instantánea en el instante \(t=2\).
Los mismos cálculos se pueden efectuar para cualquier otro instante. La velocidad media en un intervalo arbitrario entre \(t\) y \(t+h\) está dado por el cociente:
Cuando \(h\) tiende a cero, la expresión de la derecha tiende al límite \(45-10t\) que define la velocidad instantánea en el instante \(t\). Designando la velocidad instantánea por \(v(t)\) se tiene
\[v(t)=45-10t\qquad(2)\]
La fórmula \((1)\) del espacio \(f(t)\), define una función \(f\) que indica la altura a que se encuentra el proyectil en cada instante de su movimiento; \(f\) se denomina función posición o ley de espacios. Su dominio es el intervalo cerrado \([0,9]\) y su gráfica es la siguiente:
La fórmula \((2)\) de la velocidad \(v(t)\) define una nueva función \(v\) que indica la rapidez con que se mueve el proyectil en cada instante de su movimiento, se denomina función velocidad y su gráfica la tienes a continuación.
Obsérvese que, al crecer \(t\) de \(0\) a \(9\), \(v(t)\) decrece constantemente de \(v(0)=45\) a \(v(9)=-45\). Para hallar el instante \(t\) en el cual \(v(t)=0\) se resuelve la ecuación \(45-10t=0\) obteniéndose \(t=\frac{9}{2}\). Por tanto, en el punto central del movimiento la influencia de la gravedad reduce la velocidad a cero y el proyectil queda instantáneamente fijo. La altura en este instante es \(f(\frac{9}{2})=101,25\). Si \(t>\frac{9}{2}\), la velocidad es negativa y la altura decrece.
El proceso por el cual se obtiene \(v(t)\) a partir del cociente incremental se denomina «hallar el límite cuando \(h\) tiende a cero», y se expresa simbólicamente como sigue:
Esta expresión usada para definir la velocidad, en el ejemplo anterior, tiene un sentido más amplio y permite definir la velocidad en movimientos a lo largo de una línea recta, cuando se conozca la función de posición \(f\), y siempre que el cociente incremental tienda a un límite cuando \(h\) tiende a cero.
Derivada de una función
El ejemplo expuesto en el apartado anterior señala el camino para introducir el concepto de derivada. Sea \(f\) una función definida por lo menos en un intervalo abierto \((a,b)\) del eje \(X\). Se elige un punto \(x\) en este intervalo y se forma el cociente de diferencias
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
donde el número \(h\) puede ser positivo o negativo (pero no cero), y tal que \(x+h\) pertenezca también a \((a,b)\). El numerador de este cociente mide la variación de la función cuando \(x\) varía de \(x\) a \(x+h\). El cociente representa la variación media de \(f\) en el intervalo que une \(x\) a \(x+h\).
Seguidamente se hace tender \(h\) a cero y se estudia lo que le ocurre a ese cociente. Si tiende hacia un cierto valor como límite (y será el mismo, tanto si \(h\) tiende a cero con valores positivos como negativos), entonces ese límite se denomina derivada de \(f\) en \(x\) y se indica por el símbolo \(f'(x)\). Por tanto, la definición formal de \(f'(x)\) puede establecerse del siguiente modo.
Definición de derivada.
La derivada \(f'(x)\) está definida por la igualdad
con tal que el límite exista. El número \(f'(x)\) también se denomina coeficiente de variación de \(f\) en \(x\).
Comparando la igualdad \((4)\) con la igualdad \((3)\) se ve que el concepto de velocidad instantánea es simplemente un ejemplo del concepto de derivada. La velocidad \(v(t)\) es igual a la derivada \(f'(t)\) cuando \(f\) es la ley de espacios; lo que frecuentemente se expresa diciendo que la velocidad es la relación entre la variación del espacio y la del tiempo. Ya hemos visto en el apartado anterior que la ley de espacios está dada por la ecuación \(f(t)=45t-t^2\), y su derivada \(f’\) es una nueva función (velocidad) dada por \(f'(t)=45-10t\).
En general, el proceso de paso al límite por el que se obtiene \(f'(x)\) a partir de \(f(x)\), abre un camino para obtener una nueva función \(f’\) a partir de una función dada \(f\). Este proceso se denomina derivación, y \(f’\) es la primera derivada de \(f\). Si \(f’\) a su vez está definida en un intervalo abierto, se puede también calcular su primera derivada, indicada por \(f’\,’\) y que es la segunda derivada de \(f\). Análogamente, la derivada \(n\)-sima de \(f\), que se indica por \(f^{(n)}\), se define como la derivada primera de \(f^{(n-1)}\). Convendremos en que \(f^{(0)}=f\), esto es, la derivada de orden cero es la misma función.
En el caso del movimiento rectilíneo, la primera derivada de la velocidad (segunda derivada del espacio) se denomina aceleración. Por ejemplo, para calcular la aceleración en el ejemplo del apartado anterior, se puede utilizar la ecuación \((2)\) para formar el cociente de diferencias
Como este cociente no varía al tender \(h\) a \(0\), se puede considerar que tiende a \(-10\) (puesto que es \(-10\) cuando \(h\) está próximo a \(0\)). Se concluye pues que la aceleración en este problema es constante e igual a \(-10\), lo que indica que la velocidad decrece a una razón de \(10\) metros por segundo cada segundo. En \(9\) segundos el decrecimiento total de la velocidad es \(9\cdot10=90\) metros por segundo, que está de acuerdo con el hecho de que durante los \(9\) segundos de movimiento la velocidad cambie de \(v(0)=45\) a \(v(9)=-45\).
Ejemplos de derivadas
EJEMPLO 1. Derivada de la función constante. Supongamos que \(f\) es una función constante: sea por ejemplo \(f(x)=k\), para todo \(x\). El cociente de diferencias es
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{c-c}{h}=0$$
Puesto que el cociente es \(0\) para todo \(x\), su límite cuando \(h\) tiende a cero, \(f'(x)\), es también \(0\) para todo \(x\). Dicho de otro modo, una función constante tiene derivada nula para todo \(x\).
EJEMPLO 2. Derivada de la función lineal. Sea \(f\) una función lineal, por ejemplo \(f(x)=mx+n\) para todo real \(x\). Si \(h\neq0\), tenemos
Como que el cociente de diferencias no cambia cuando \(h\) tiende a \(0\), resulta que \(f'(x)=m\), para cada \(x\). Así que, la derivada de una función lineal es una función constante.
EJEMPLO 3. Derivada de una función potencial de exponente entero positivo. Consideremos el caso \(f(x)=x^n\), siendo \(n\) un entero positivo. El cociente de diferencias es ahora
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^n-x^n}{h}$$
En álgebra elemental se tiene la igualdad (¡compruébese!)
Es conveniente observar que el segundo paréntesis del segundo miembro tiene \(n\) sumandos. Si en la igualdad anterior se toma \(a=x+h\) y \(b=x\), la identidad se transforma en:
Por lo tanto el cociente de diferencias tiene como límite \(\cos x\) cuando \(h\rightarrow0\). Dicho de otro modo, \(f'(x)=\cos x\) para todo \(x\), es decir, la derivada de la función seno es el coseno.
EJEMPLO 5. Derivada de la función coseno. Sea \(f(x)=\cos x\). Demostraremos que \(f'(x)=-\text{sen}\,x\), esto es, que la derivada de la función coseno es menos la función seno. Hemos de partir ahora de la identidad trigonométrica siguiente:
La continuidad de la función seno demuestra que \(\text{sen}(x+\frac{h}{2})\rightarrow\text{sen}\,x\) cuando \(h\rightarrow0\). Además, recordemos que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{\text{sen}\,x}{x}=1\). Por tanto \(f'(x)=-\text{sen}\,x\).
EJEMPLO 6. Derivada de la función raíz n-sima. Si \(n\) es un entero positivo, sea \(f(x)=x^{1/n}\) para \(x>0\). El cociente de diferencias para \(f\) es
Pongamos \(u=(x+h)^{1/n}\) y \(v=x^{1/n}\). Tenemos entonces \(u^n=x+h\) y \(v^n=x\), con lo que \(h=u^n-v^n\), y el cociente de diferencias toma la forma (ver ejemplo 3)
La continuidad de la función raíz \(n\)-sima prueba que \(u\rightarrow v\) cuando \(h\rightarrow0\). Por consiguiente, cada término del denominador del miembro de la derecha tiene límite \(v^{n-1}\) cuando \(h\rightarrow0\). En total hay \(n\) términos, con lo que el cociente de diferencias tiene como límite \(\frac{1}{nv^{n-1}}=\frac{v^{1-n}}{n}\). Puesto que \(v=x^{1/n}\), esto demuestra que
EJEMPLO 7. Continuidad de las funciones que admiten derivadas. Si una función \(f\) tiene derivada en un punto \(x\), es también continua en \(x\). Para demostrarlo, empleamos la identidad
que es válida para \(h\neq0\). Si hacemos que \(h\rightarrow0\), el cociente de diferencias del segundo miembro tiende a \(f'(x)\) y, puesto que este cociente está multiplicado por un factor que tiende hacia \(0\), el segundo término del segundo miembro tiende a \(0\). Esto demuestra que \(f(x+h)\rightarrow f(x)\) cuando \(h\rightarrow0\), y por tanto que \(f\) es continua en \(x\) (obsérvese que esto es lo mismo que decir, haciendo un adecuado cambio de variable, que \(f(x)\rightarrow f(a)\) cuando \(x\rightarrow a\)).
Este último ejemplo proporciona un nuevo procedimiento para probar la continuidad de las funciones. Cada vez que establecemos la existencia de una derivada \(f'(x)\), establecemos también, al mismo tiempo, la continuidad de \(f\) en \(x\). Debería observarse, no obstante, que el recíproco no es cierto. La continuidad en \(x\) no implica necesariamente la existencia de la derivada \(f'(x)\). Por ejemplo, cuando \(f(x)=|x|\), el punto \(x=0\) es de continuidad de \(f\) (ya que \(f(x)\rightarrow f(0)=0\) cuando \(x\rightarrow0\)), pero no existe derivada en \(0\). El cociente de diferencias \(\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\) es igual a \(\frac{|h|}{h}\). Éste vale \(1\) si \(h>0\) y \(-1\) si \(h<0\), y por consiguiente no tiene límite cuando \(h\rightarrow0\).
Referencia bibliográfica. Apostol T. M. (1990. Reimpresión digital 2015): Calculus I. Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al álgebra lineal (Reverté Ediciones).
Puedes descargar el artículo completo haciendo clic aquí.
Utilizando distintos métodos de integración se resuelven muchas integrales al nivel de 2º de Bachillerato Científico-Técnico (en la materia de Matemáticas II).
Vamos a hacer un estudio bastante completo de una función racional. Hallaremos su dominio, sus puntos de corte con los ejes y sus asíntotas. También estudiaremos su monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento), así como sus extremos (máximos y mínimos) relativos.
Recordemos que una función racional es una función como la siguiente:
$$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$$
donde $p(x)$ y $q(x)$ son polinomios.
Por ejemplo, la función
$$f(x)=\frac{x^2-2x+2}{x-1}$$
se trata de una función racional, y ésta será la función objeto de nuestro estudio.
Dominio
Es fácil darse cuenta de que el denominador de la función se anula para $x=1$. Entonces:
$$\text{Dom}\,f=\mathbb{R}-\{1\}$$
Puntos de corte con los ejes
Los puntos de corte con el eje $X$ son de la forma $(x,0)$. Por tanto, para obtenerlos habremos de resolver la ecuación $f(x)=0\Leftrightarrow\dfrac{x^2-2x+2}{x-1}=0$.
Pero un cociente es cero si el numerador es cero. luego habremos de resolver la ecuación $x^2-2x+2=0$, ecuación de segundo grado que no tiene solución real porque su discriminante es menor que cero: $\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot2=4-8=-4$.
Por tanto, la gráfica de nuestra función no corta al eje $X$.
Los puntos de corte con el eje $Y$ son de la forma $(0,y)$. Entonces, haciendo $x=0$, obtenemos claramente que $y=-2$. Esto quiere decir que la gráfica de la función corta al eje $Y$ en el punto $(0,-2)$.
Asíntotas
Una recta vertical $x=k$ es una asíntota vertical de una función $f(x)$ si se cumple que
$$\lim_{x\rightarrow k}f(x)=\pm\infty$$
Para que esto pueda ocurrir debemos estudiar el límite en el punto que no pertenece al dominio, es decir, en $x=1$:
Esto ocurre porque el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del polinomio del denominador. Como el límite en el infinito de la función no es un número real, hemos de deducir que $f$ no tiene asíntotas horizontales.
Una recta de la forma $y=mx+n$ es una asíntota oblicua de una función $f$ si
De lo anterior se deduce que $y=x-1$ es una asíntota oblicua de la función.
Extremos (máximos y mínimos) y monotonía: intervalos de crecimiento y decrecimiento
Si una función $f$ presenta en un punto $x=a$ un máximo o un mínimo relativo, entonces se tiene que $f'(a)=0$. Derivemos pues nuestra función e igualemos a cero.
Estos dos puntos reciben el nombre de puntos singulares o críticos, a los que vamos a añadir el punto $x=1$ (que no pertenecía al dominio) para elaborar una tabla en la que estudiar el crecimiento y el decrecimiento de la función. Recordemos antes que si $f'(a)>0$, entonces $f$ es creciente en $x=a$, y que si $f'(a)<0$, entonces $f$ es decreciente $x=a$.
Por tanto, $f$ es creciente en $(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$ y decreciente en $(0,1)\cup(1,2)$. Además, tiene un mínimo relativo en el punto $(0,-2)$ y un máximo relativo en el punto $(2,2)$.
Con todos los datos anteriores no es difícil esbozar la gráfica de la función. Es la siguiente:
¡Hola! Mi nombre es Pedro Castro Ortega. Soy profesor de matemáticas en el IES Fernando de Mena, en la localidad de Socuéllamos (Ciudad Real). Aquí comparto mis materiales de matemáticas con todo el mundo. Los podéis usar cómo y cuándo queráis, hacer copias de estos y distribuirlos a discreción. Este sitio web no tiene publicidad, carece de anuncios. Pero sí que os agradecería que, al tiempo que lo usáis, hagáis publicidad de este. ¡Espero que todos estos materiales de matemáticas os sean de utilidad!
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