Supongamos que tenemos que resolver la siguiente ecuación de primer grado:
\[\frac{3x+7}{24}-\frac{1-4x}{6}=-4-x-\frac{2x-5}{3}\]
Lo primero es eliminar los denominadores. Para ello se reducen todos los términos a común denominador, utilizando el mínimo común múltiplo de los denominadores. Así que procedemos:
\[\frac{3x+7}{24}-\frac{4-16x}{24}=\frac{-96}{24}-\frac{24x}{24}-\frac{16x-40}{24}\Rightarrow\]
\[\Rightarrow 3x+7-4-16x=-96-24x-16x-40\]
El primer paso está muy bien pues el mínimo común múltiplo es \(24\). Pero, al eliminar los denominadores en el segundo paso, se olvida con frecuencia que un signo «menos» delante de una fracción cambia de signo todos los términos del numerador, con lo que, a partir de ahí, todo lo que hagamos después es incorrecto. Debemos recordar que restar es lo mismo que sumar el opuesto y el opuesto de \(\dfrac{p-q}{n}\) es \(-\dfrac{p-q}{n}=\dfrac{-(p-q)}{n}=\dfrac{-p+q}{n}\). Por tanto, el primer miembro, una vez eliminado el denominador, no es
\[3x+7-4-16x\]
sino que es
\[3x+7-4+16x\]
De igual manera, el segundo miembro no es
\[-96-24x-16x-40\]
sino
\[-96-24x-16x+40\]
Esto es porque, según lo comentado anteriormente:
\[\frac{3x+7}{24}-\frac{4-16x}{24}=\frac{-96}{24}-\frac{24x}{24}-\frac{16x-40}{24}\Rightarrow\]
\[\Rightarrow\frac{3x+7}{24}+\frac{-(4-16x)}{24}=\frac{-96}{24}+\frac{-24x}{24}+\frac{-(16x-40)}{24}\]
\[\Rightarrow\frac{3x+7}{24}+\frac{-4+16x}{24}=\frac{-96}{24}+\frac{-24x}{24}+\frac{-16x+40}{24}\]
Es un error muy común que se comete con más frecuencia de lo que se podría desear. Por eso, lo que habría que aprender es que si se multiplican los dos miembros de una igualdad por un mismo número, la igualdad no varía. Dicho de otro modo, si multiplicamos los dos miembros (o todos los términos) de una ecuación por un mismo número, la ecuación que resulta es equivalente a la anterior. Así, procediendo de esta manera, la ecuación inicial se puede resolver multiplicando todos los términos por el mínimo común múltiplo de los denominadores (\(24\) en nuestro caso). Una vez hecho esto aplicamos que \(k\cdot\dfrac{p}{n}=\dfrac{k}{n}\cdot p\) para eliminar los denominadores. Llevando a cabo esta forma de trabajar nos obligamos a multiplicar cada vez por «todo el numerador» o, lo que es lo mismo, por todos los términos del numerador. Como consecuencia, es menos probable que no se cometa el error anterior con los signos. Veámoslo paso a paso:
\[\frac{3x+7}{24}-\frac{1-4x}{6}=-4-x-\frac{2x-5}{3}\Rightarrow\]
\[\Rightarrow24\cdot\frac{3x+7}{24}-24\cdot\frac{1-4x}{6}=24\cdot(-4)-24\cdot x-24\cdot\frac{2x-5}{3}\Rightarrow\]
\[\Rightarrow\frac{24}{24}\cdot(3x+7)-\frac{24}{6}\cdot(1-4x)=24\cdot(-4)-24\cdot x-\frac{24}{3}\cdot(2x-5)\Rightarrow\]
\[\Rightarrow 1\cdot(3x+7)-4\cdot(1-4x)=-96-24x-8\cdot(2x-5)\Rightarrow\]
\[\Rightarrow 3x+7-4+16x=-96-24x-16x+40\]
Cuando uno coge manejo, el tercero de los pasos anteriores se puede omitir. Pero es bueno ponerlo ahora de manifiesto para que se vea cómo funciona el procedimiento. Hay que observar que esta forma de hacer las cosas provoca la presencia de los paréntesis antes de hacer la multiplicación, cosa que es buena para que el mencionado error con los signos no se cometa. Por cierto, si se sigue resolviendo la ecuación, la solución es \(x=-1\).
Otra cosa más: el hecho de eliminar denominadores de una ecuación reduciendo todos los denominadores a común denominador y eliminándolos automáticamente después, no sólo provoca el error ya varias veces mencionado con los signos, sino que a veces se confunde hacer operaciones con resolver ecuaciones. De tal manera que al pedir llevar a cabo la siguiente operación
\[\dfrac{3}{x+1}-\dfrac{2x}{x-1}\]
hay personas que proceden así:
\[\frac{3}{x+1}-\frac{x}{x-1}=\frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)}-\frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\]
\[=\frac{3x-3}{x^2-1}-\frac{x^2+x}{x^2-1}=3x-3-x^2-x=-x^2+2x-3=0\]
Y luego se afanan en resolver la ecuación de segundo grado. Es necesario distinguir entre realizar una operación, por un lado (cosa que involucra como en este caso el uso del denominador común), y la resolución de ecuaciones, por otro. Una ecuación tiene dos miembros separados por el símbolo igual. Al proceder como anteriormente, y puede que al no ver el símbolo igual, finalmente se iguala a cero (quizá se piense que como no está haya que poner cero). Mientras no haya una igualdad, dos miembros, y una incógnita que despejar, lo que tenemos no será una ecuación y no se podrán eliminar denominadores ni alegremente inventarse una ecuación que resolver. Es bueno pues, además, leer bien el enunciado antes de atacar la resolución de lo que se pide. Y es que el enunciado dice «realizar la siguiente operación» y no «resolver la siguiente ecuación». Son cosas, pues, diferentes.
La resolución correcta es, pues, la siguiente:
\[\frac{3}{x+1}-\frac{x}{x-1}=\frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)}-\frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\]
\[=\frac{3x-3}{x^2-1}-\frac{x^2+x}{x^2-1}=\frac{3x-3-(x^2+x)}{x^2-1}=\frac{3x-3-x^2-x)}{x^2-1}=\frac{-x^2+2x-3}{x^2-1}\]
Y ya está. Es como si nos piden hacer la operación \(2+3-8\). Pues operamos y nos da como resultado \(-3\) y no igualamos \(-3\) a \(0\). Lo que ocurre es que, cuando en el proceso de aprendizaje no se pone el cuidado suficiente, al ver las letras muchos ya piensan que son las incógnitas de una ecuación y a veces no. Hay que insistir pues en la lectura cuidadosa del enunciado del ejercicio o problema que se propone y tener muy claro lo que se pide.
Puede que no sea fácil explicar o decidir el mejor método para resolver ecuaciones, o comunicarlo de la mejor forma posible. Pero no podemos esperar que nos lo enseñen todo. Dicho de otra manera, el mejor método es resolver muchas, muchas ecuaciones por nosotros mismos. Aunque esto pueda ser muy aburrido. Pero es el mejor método, pues así nos damos cuenta de nuestros errores, con lo que es menos probable que los volvamos a cometer.
