Las matemáticas y yo

Yo y las matemáticas. Mis matemáticas y yo. Las matemáticas son mi vida. Las matemáticas me ayudan a estar vivo. Vivo con las matemáticas. Sin ellas yo no sería nada. Y la madre, la Matemática, la veo aún de lejos, como un dios en la frontera. Pero ¿qué?, ¿es que es distinta la Matemática de las matemáticas? Pues sí, es probable que sí, casi seguro que sí. En este humilde sitio Web hacemos matemáticas sin más. Aprendemos y eso es bueno. Pero, es cierto, la Matemática es otra cosa. Digamos que está más allá, que nos une y al tiempo nos separa. No se deja aprehender. Pero, en ocasiones, se vislumbra su existencia. Soy de los que creen que no la hemos creado nosotros. Ya estaba ahí. La Matemática. Podríamos entrar en aspectos internos, históricos. Pero no es el momento.

Dicho esto y, en todo caso, después de años trabajando con las matemáticas en las aulas, mi ilusión son las matemáticas de andar por casa. Me gusta que la gente aprenda cosas, que sepa lo que hago, que se vean los ejercicios, los exámenes y todo aquello que trabajamos en clase. Debemos estar cerca. No es tan difícil. Hay alumnos que se aproximan con miedo y luego ven que esto de las matemáticas es más fácil de lo que parece. Eso sí, hay que aprender, sin remedio, ciertos rudimentos. Como cuando se aprende a leer y a escribir. A partir de ahí garantizo que para muchos las ganas de saber serán, si no inmediatas, inevitables. Hay un problema: llegada cierta edad otras cosas pueden y seducen. Vale, muy bien, pero las matemáticas están ahí, siempre estarán ahí. No son difíciles en el fondo. Pensadlo así. Aunque a veces dé la sensación de que las matemáticas crezcan y se multipliquen ramificándose, y parezcan más complicadas. Sí es cierto pero no es cierto. Somos nosotros los que somos más difíciles y más complejos. Si soltamos lastre veremos luz donde creíamos ver oscuridad. Veremos sencillez donde creíamos ver dificultad.

La materia que imparto, las matemáticas, las quiero como a mi vida. Es más, son parte de mi vida. La Ciencia, la Matemática, me ha dado la posibilidad de estar aquí y de hacer esto. Han pasado muchas cosas de un tiempo a esta parte, pero seguiré aquí, intentando transmitir lo que sé.

¿Mis alumnos están ávidos de saber? No lo sé. Hay gente que dice que es más fácil alimentar por la curiosidad. Pero el curso nada más empezar se nos va. Y el siguiente también. Nos podemos tirar dos meses hablando del cubo de Rubik, de traslaciones y de giros, de combinatoria y de probabilidad en torno al misterioso cubo. Pero todo eso hay que ponerlo sobre el papel. Y eso también cuenta (y mucho), y es lo que cuesta. Es cierto que con ilusión cuesta menos. Cada unidad habrá de llevar su ilusión. Pero la ilusión por las matemáticas es difícil, muy difícil hoy por hoy, de transmitir. Aún así, lejos de tirar la toalla, me embarqué en esto, en este sitio. Y aquí está. Esto es un producto para ayudar, para dar a la gente de Secundaria y de Bachillerato ciertas facilidades que yo no tuve. Yo buscaba libros en estanterías perdidas. En lugares donde la humedad imperaba y donde, aún así, los libros me estaban esperando. Lo hago porque me encanta esto. Y lo seguiré haciendo. Si Dios quiere toda mi vida. Porque las matemáticas, la Matemática, y Dios, es probable que sean, si no una misma cosa, parte de una misma cosa.

Eliminando denominadores de una ecuación

Supongamos que tenemos que resolver la siguiente ecuación de primer grado:

\[\frac{3x+7}{24}-\frac{1-4x}{6}=-4-x-\frac{2x-5}{3}\]

Lo primero es eliminar los denominadores. Para ello se reducen todos los términos a común denominador, utilizando el mínimo común múltiplo de los denominadores. Así que procedemos:

\[\frac{3x+7}{24}-\frac{4-16x}{24}=\frac{-96}{24}-\frac{24x}{24}-\frac{16x-40}{24}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow 3x+7-4-16x=-96-24x-16x-40\]

El primer paso está muy bien pues el mínimo común múltiplo es \(24\). Pero, al eliminar los denominadores en el segundo paso, se olvida con frecuencia que un signo «menos» delante de una fracción cambia de signo todos los términos del numerador, con lo que, a partir de ahí, todo lo que hagamos después es incorrecto. Debemos recordar que restar es lo mismo que sumar el opuesto y el opuesto de \(\dfrac{p-q}{n}\) es \(-\dfrac{p-q}{n}=\dfrac{-(p-q)}{n}=\dfrac{-p+q}{n}\). Por tanto, el primer miembro, una vez eliminado el denominador, no es

\[3x+7-4-16x\]

sino que es

\[3x+7-4+16x\]

De igual manera, el segundo miembro no es

\[-96-24x-16x-40\]

sino

\[-96-24x-16x+40\]

Esto es porque, según lo comentado anteriormente:

\[\frac{3x+7}{24}-\frac{4-16x}{24}=\frac{-96}{24}-\frac{24x}{24}-\frac{16x-40}{24}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\frac{3x+7}{24}+\frac{-(4-16x)}{24}=\frac{-96}{24}+\frac{-24x}{24}+\frac{-(16x-40)}{24}\]

\[\Rightarrow\frac{3x+7}{24}+\frac{-4+16x}{24}=\frac{-96}{24}+\frac{-24x}{24}+\frac{-16x+40}{24}\]

Es un error muy común que se comete con más frecuencia de lo que se podría desear. Por eso, lo que habría que aprender es que si se multiplican los dos miembros de una igualdad por un mismo número, la igualdad no varía. Dicho de otro modo, si multiplicamos los dos miembros (o todos los términos) de una ecuación por un mismo número, la ecuación que resulta es equivalente a la anterior. Así, procediendo de esta manera, la ecuación inicial se puede resolver multiplicando todos los términos por el mínimo común múltiplo de los denominadores (\(24\) en nuestro caso). Una vez hecho esto aplicamos que \(k\cdot\dfrac{p}{n}=\dfrac{k}{n}\cdot p\) para eliminar los denominadores. Llevando a cabo esta forma de trabajar nos obligamos a multiplicar cada vez por «todo el numerador» o, lo que es lo mismo, por todos los términos del numerador. Como consecuencia, es menos probable que no se cometa el error anterior con los signos. Veámoslo paso a paso:

\[\frac{3x+7}{24}-\frac{1-4x}{6}=-4-x-\frac{2x-5}{3}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow24\cdot\frac{3x+7}{24}-24\cdot\frac{1-4x}{6}=24\cdot(-4)-24\cdot x-24\cdot\frac{2x-5}{3}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\frac{24}{24}\cdot(3x+7)-\frac{24}{6}\cdot(1-4x)=24\cdot(-4)-24\cdot x-\frac{24}{3}\cdot(2x-5)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow 1\cdot(3x+7)-4\cdot(1-4x)=-96-24x-8\cdot(2x-5)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow 3x+7-4+16x=-96-24x-16x+40\]

Cuando uno coge manejo, el tercero de los pasos anteriores se puede omitir. Pero es bueno ponerlo ahora de manifiesto para que se vea cómo funciona el procedimiento. Hay que observar que esta forma de hacer las cosas provoca la presencia de los paréntesis antes de hacer la multiplicación, cosa que es buena para que el mencionado error con los signos no se cometa. Por cierto, si se sigue resolviendo la ecuación, la solución es \(x=-1\).

Otra cosa más: el hecho de eliminar denominadores de una ecuación reduciendo todos los denominadores a común denominador y eliminándolos automáticamente después, no sólo provoca el error ya varias veces mencionado con los signos, sino que a veces se confunde hacer operaciones con resolver ecuaciones. De tal manera que al pedir llevar a cabo la siguiente operación

\[\dfrac{3}{x+1}-\dfrac{2x}{x-1}\]

hay personas que proceden así:

\[\frac{3}{x+1}-\frac{x}{x-1}=\frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)}-\frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\]

\[=\frac{3x-3}{x^2-1}-\frac{x^2+x}{x^2-1}=3x-3-x^2-x=-x^2+2x-3=0\]

Y luego se afanan en resolver la ecuación de segundo grado. Es necesario distinguir entre realizar una operación, por un lado (cosa que involucra como en este caso el uso del denominador común), y la resolución de ecuaciones, por otro. Una ecuación tiene dos miembros separados por el símbolo igual. Al proceder como anteriormente, y puede que al no ver el símbolo igual, finalmente se iguala a cero (quizá se piense que como no está haya que poner cero). Mientras no haya una igualdad, dos miembros, y una incógnita que despejar, lo que tenemos no será una ecuación y no se podrán eliminar denominadores ni alegremente inventarse una ecuación que resolver. Es bueno pues, además, leer bien el enunciado antes de atacar la resolución de lo que se pide. Y es que el enunciado dice «realizar la siguiente operación» y no «resolver la siguiente ecuación». Son cosas, pues, diferentes.

La resolución correcta es, pues, la siguiente:

\[\frac{3}{x+1}-\frac{x}{x-1}=\frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)}-\frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\]

\[=\frac{3x-3}{x^2-1}-\frac{x^2+x}{x^2-1}=\frac{3x-3-(x^2+x)}{x^2-1}=\frac{3x-3-x^2-x)}{x^2-1}=\frac{-x^2+2x-3}{x^2-1}\]

Y ya está. Es como si nos piden hacer la operación \(2+3-8\). Pues operamos y nos da como resultado \(-3\) y no igualamos \(-3\) a \(0\). Lo que ocurre es que, cuando en el proceso de aprendizaje no se pone el cuidado suficiente, al ver las letras muchos ya piensan que son las incógnitas de una ecuación y a veces no. Hay que insistir pues en la lectura cuidadosa del enunciado del ejercicio o problema que se propone y tener muy claro lo que se pide.

Puede que no sea fácil explicar o decidir el mejor método para resolver ecuaciones, o comunicarlo de la mejor forma posible. Pero no podemos esperar que nos lo enseñen todo. Dicho de otra manera, el mejor método es resolver muchas, muchas ecuaciones por nosotros mismos. Aunque esto pueda ser muy aburrido. Pero es el mejor método, pues así nos damos cuenta de nuestros errores, con lo que es menos probable que los volvamos a cometer.