La intuición a veces no nos funciona tan bien como creemos. Por ejemplo, supón que te encuentras en grupo con otras \(22\) personas. ¿Cuál crees que sería la probabilidad de que dos de ellas celebren su cumpleaños el mismo día? Si nos dejamos llevar por la intuición pensarás que es complicado que en un grupo de \(23\) personas, dos de ellas cumplan años el mismo día y, por tanto, que esta probabilidad deba ser baja. Digamos ¿un \(10\,\%\) más o menos? ¿Qué te parece? Es decir, ¿cada \(100\) veces que nos encontremos un grupo de \(23\) personas, en \(10\) de ellas, aproximadamente, habrá coincidencia en la fecha de cumpleaños de dos de sus componentes? ¿Es elevado este porcentaje o probabilidad? ¿Es escaso? ¿Te parecería una buena estimación?
Veamos lo que dicen las matemáticas al respecto, en concreto la teoría de probabilidades.
La probabilidad de que ocurra un suceso determinado \(A\), que escribiremos \(P(A)\), se rige por la famosa regla de Laplace, según la cual esta probabilidad es igual al número de casos favorables de que ocurra el suceso \(A\), dividido entre el número de casos posibles en que se puede dar el suceso \(A\).
Simbólicamente:
$$P(A)=\frac{\text{número casos favorables}}{\text{número casos posibles}}$$De este modo la probabilidad de que dos personas no cumplan años el mismo día es:
$$\frac{365}{365}\cdot\frac{364}{365}=\frac{132860}{133225}\cong0,997260274$$Lo que supone un porcentaje superior al \(99,7\,\%\). Esto es así porque, elegida una persona cualquiera, debe haber nacido uno de los \(365\) días del año (estamos prescindiendo de los años bisiestos) y, para esta persona, el número de casos favorables es igual que el número de casos posibles: \(365\). Ahora bien, si elegimos otra persona, el número de casos favorables se reducirá a \(364\), uno menos que antes, pues no puede cumplir años el mismo día que la persona anterior. El número de casos posibles sigue siendo \(365\).
Es como calcular cuántos pares de días distintos se pueden elegir al año. En cualquier orden. Para el primer día del par hay \(365\) posibilidades y para el segundo día del par quedan \(364\), ya que alguno tuvo que haber sido usado para la primera persona. Por eso los casos favorables son:
$$365\cdot364=132860$$Los casos posibles serían, visto de este modo, todos los posibles pares de días que se pueden formar en el año. Por lo tanto son:
$$365\cdot365=133225$$En realidad, estamos utilizando una conocida regla para contar, el principio de la multiplicación o del producto. Podemos imaginar dos bombos con \(365\) bolas cada uno, numeradas desde el número \(1\) hasta el número \(365\), una para cada uno de los días del año (insistimos en que no contaremos los años bisiestos). Para los casos favorables utilizaremos un bombo completo para la primera persona, y el otro bombo con una bola menos para la segunda persona, justo aquella bola con el número en que cumple los años la primera persona. Está claro que para cada bola del primer bombo hay \(364\) bolas del segundo bombo. En total, como ya se había visto, \(365\cdot364=132860\) parejas distintas de números para los casos favorables.
Si ahora tuviéramos tres personas y quisiéramos saber la probabilidad de que ninguna de las tres hubiese nacido el mismo día, los casos favorables serían todas las posibles ternas de días del año sin repetición. O sea, siguiendo la argumentación anterior:
$$365\cdot364\cdot363=48228180$$Y los casos posibles ahora serían, naturalmente:
$$365\cdot365\cdot365=48627125$$Aplicando la regla de Laplace, la probabilidad de que ninguna de las tres personas hayan nacido el mismo día es, por tanto:
$$\frac{48228180}{48627125}\cong0.991795834$$Si siguiéramos con cuatro personas, la probabilidad de que ninguna de ellas hayan nacido el mismo día es, siguiendo el mismo proceso:
$$\frac{365\cdot364\cdot363\cdot362}{365\cdot365\cdot365\cdot365}=\frac{17458601160}{17748900625}\cong0,9836440875$$Podríamos seguir así con grupos formados por más personas: cinco, seis, siete, etcétera; y calcular la probabilidad de que ninguna de ellas haya nacido el mismo día. En concreto si llegamos a un grupo de \(23\) personas se tiene:
$$\frac{365\cdot364\cdot363\cdot362\cdot\ldots\cdot346\cdot345\cdot344\cdot343}{365\cdot365\cdot365\cdot365\cdot\ldots\cdot365\cdot365\cdot365\cdot365}\cong0,4927027656$$Es decir, la probabilidad de que, en un grupo de \(23\) personas, ninguna de ellas haya nacido el mismo día es, aproximadamente, \(0,4927\) (en tanto por ciento \(49,27\,\%\)). Esto quiere decir que, en ese mismo grupo, la probabilidad de que dos de ellas sí que celebren su cumpleaños el mismo día es \(1-0,4927=0,5073\), que supone un porcentaje del \(50,73\,\%\).
Por tanto nuestra supuesta intuición estaba lejos de la realidad. En un grupo de, al menos \(23\) personas, la probabilidad de que dos de ellas celebren su cumpleaños el mismo día es de más del \(50\,\%\).
¡Haz la prueba cuando te encuentres en grupo de esta índole y ya me contarás!
