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Ecuaciones con la incógnita en el denominador o ecuaciones racionales

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Las ecuaciones son más importantes para mí que la política, porque la política es para el momento actual, pero una ecuación es para la eternidad

Albert Einstein

Si algunos de los términos de una ecuación contienen denominadores en los que aparecen expresiones algebraicas incluyendo la incógnita que se pretende despejar, se pueden suprimir multiplicando todos los términos por el producto de todos ellos o, mejor aún, por su mínimo común múltiplo. Una vez eliminados los denominadores, la ecuación a la que se llega puede ser de las que se saben resolver a un nivel, digamos, de matemáticas de cuarto de Educación Secundaria Obligatoria, es decir, una ecuación de primer o de segundo grado, una bicuadrada o incluso una ecuación con radicales.

Resolvamos, como ejemplo, la ecuación de la imagen superior.

\[\frac{x+1}{x^2-2x}+\frac{x-1}{x}=2\]

Para obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores debemos factorizar el primero de ellos: \(x^2-2x=x(x-2)\). Entonces la ecuación es equivalente a esta otra:

\[\frac{x+1}{x(x-2)}+\frac{x-1}{x}=2\]

Ahora es fácil darse cuenta de que el mínimo común múltiplo de los denominadores es, precisamente, \(x^2-2x=x(x-2)\). Multipliquemos por él todos los términos.

$$x(x-2)\cdot\frac{x+1}{x(x-2)}+x(x-2)\cdot\frac{x-1}{x}=x(x-2)\cdot2\Rightarrow$$

$$\Rightarrow x+1+(x-2)(x-1)=2x(x-2)$$

Operando y reduciendo términos semejantes nos queda una ecuación de segundo grado:

$$x+1+x^2-x-2x+2=2x^2-4x\Rightarrow -x^2+2x+3=0\Rightarrow$$

$$\Rightarrow x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot(-1)\cdot3}}{2\cdot(-1)}=$$

\[=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{-2}=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{-2}=\frac{-2\pm4}{-2}=\begin{cases}x_1=\dfrac{-2+4}{-2}\Rightarrow x_1=-1\\x_2=\dfrac{-2-4}{-2}\Rightarrow x_2=3 \end{cases}\]

Veamos que ambas soluciones satisfacen la ecuación original.

\[\frac{-1+1}{(-1)^2-2\cdot(-1)}+\frac{-1-1}{-1}=\frac{0}{3}+\frac{-2}{-1}=0+2=2\]

\[\frac{3+1}{3^2-2\cdot3}+\frac{3-1}{3}=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}=\frac{6}{3}=2\]

Te propongo, finalmente, que resuelvas las siguientes ecuaciones con la incógnita en el denominador.

a) \(\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{2x}{x+1}=3\)

b) \(\dfrac{5}{x+2}+\dfrac{x}{x+3}=\dfrac{3}{2}\)

c) \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{3}{4}\)

d) \(\dfrac{x+1}{x+5}+\dfrac{1-x}{x-4}=\dfrac{5}{2}\)

e) \(\dfrac{x+7}{x+3}+\dfrac{x^2-3x+6}{x^2+2x-3}=1\)

Resolviendo un problema con ecuaciones de primer grado

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El que puede cambiar sus pensamientos, puede cambiar su destino

Stephen Crane

En la Educación Secundaria Obligatoria, es muy habitual proponer la resolución de problemas mediante el planteamiento de ecuaciones de primer grado. Se propone a continuación un problema de este tipo.

Enunciado

Un niño es 26 años menor que su padre. Dentro de tres años, la edad del padre será el triple que la del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno en la actualidad?

Solución

Llamemos $x$ a la edad del padre en la actualidad. Entonces la edad del hijo es $x-26$ años, ya que es 26 años menor que su padre. Una vez fijadas estas dos edades, la edad de cada uno dentro de tres años será: $x+3$ años la del padre, y $x-26+3=x-23$ años la del hijo. A veces es bueno escribir la información en una tabla:

$$\begin{array}{|c|c|c|} & \hline \text{En la actualidad}&\text{Dentro de tres años}\\ \hline \text{Edad del padre}& x &x+3\\ \hline \text{Edad del hijo}& x-26 & x-26+3=x-23\\ \hline \end{array}$$

Pero, según se dice en el enunciado, dentro de tres años la edad del padre será el triple que la edad del hijo. Y esto, en lenguaje matemático, lo podemos escribir así:

$$x+3=3(x-23)$$

Acabamos de plantear una ecuación de primer grado con los datos del problema. Ahora basta con resolverla e interpretar la solución.

$x + 3 = 3\left( {x – 23} \right) \Rightarrow x + 3 = 3x – 69 \Rightarrow$

$ \Rightarrow x – 3x = – 69 – 3 \Rightarrow – 2x = – 72 \Rightarrow x = \dfrac{{ – 72}}{{ – 2}} \Rightarrow x = 36$

Por tanto, el padre tiene, en la actualidad, 36 años (recuérdese que habíamos llamado $x$ a la edad actual del padre). Como la edad del hijo en la actualidad es $x-26$ años, sustituyendo el valor de $x$, se tiene que $x-26=36-26=10$. Es decir, la edad del hijo actualmente será de 10 años.

Ahora podemos comprobar que los resultados obtenidos se ajustan al enunciado.

  • Como el padre tiene 36 años y el hijo 10 años, está claro que el hijo es 26 años menor que su padre.
  • También es claro que, dentro de tres años, el padre tendrá 39 años y el hijo tendrá 13 años. Pero resulta que $39=3\cdot13$. Por tanto, se cumple que dentro de tres años la edad del padre será el triple que la edad de su hijo.