Adoramos el caos porque amamos producir orden
M. C. Escher
Un ecuación matricial es una ecuación donde la incógnita es una matriz. La ecuación matricial más sencilla es de la forma $AX=B$, donde $A$ es una matriz cuadrada, $B$ es otra matriz y $X$ es la matriz incógnita. La ecuación de primer grado más sencilla también es $ax=b$, donde $a$ y $b$ son números reales y $x$ es la incógnita. Si $a\neq0$, la solución es $x=\frac{b}{a}$. Si $a=0$, tenemos que $0x=0$, con lo que $b=0$ y cualquier número $x$ es solución. Por eso, si $a=0$, la ecuación no tiene interés alguno. Centrémonos pues en el caso $a\neq0$. ¿Por qué $x=\frac{b}{a}$ es solución de la ecuación? No es difícil de demostrar. Sabemos que si $a\neq0$, el número $a$ tiene inverso, $a^{-1}=\frac{1}{a}$. El inverso de un número $a\neq0$, tiene la característica de que al multiplicarlo por $a$ se obtiene el número $1$ (el uno es el elemento neutro de la multiplicación de números reales). De este modo:
$$ax = b \Leftrightarrow {a^{ – 1}}ax = {a^{ – 1}}b \Leftrightarrow 1x = \frac{1}{a}b \Leftrightarrow x = \frac{b}{a}$$
Así, por ejemplo, la solución de la ecuación $-3x=4$ es $x=\frac{4}{-3}=-\frac{4}{3}$. Nos han enseñado que “lo que está multiplicando pasa al otro miembro dividiendo”. Esta regla tan extendida debería de usarse menos. En realidad, lo que se hace es dividir los dos miembros de la igualdad entre $-3$ o, mejor, multiplicar los dos miembros de la igualdad por el inverso de $-3$, que es ${\left( { – 3} \right)^{ – 1}} = \frac{1}{{ – 3}} = – \frac{1}{3}$. Esta es la propiedad que realmente deberíamos de retener: “si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una igualdad por un mismo número (distinto de cero en el caso de que dividamos), la igualdad se mantiene o no varía”.
Como no sabemos dividir matrices, sí que podemos proceder como anteriormente, multiplicando a la izquierda de ambos miembros por $A^{-1}$, para resolver la ecuación $AX=B$:
$$AX = B \Leftrightarrow {A^{ – 1}}AX = {A^{ – 1}}B \Leftrightarrow IX = {A^{ – 1}}B \Leftrightarrow X = {A^{ – 1}}B$$
Recuerda que $I$ es la matriz identidad. En el caso de orden 3 es $I=\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}$. Además, $A{A^{ – 1}} = {A^{ – 1}}A = I$.
La ecuación matricial $AX=B$ es muy útil para resolver sistemas de ecuaciones, en particular sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Veamos un ejemplo.
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
$$\begin{cases}
2x+y=0 \\
y+3z=10 \\ 2x+y+z=8
\end{cases}$$
Este sistema lo podemos reescribir matricialmente así:
$$\left( {\begin{array}{{20}{c}} 2&1&0\\ 0&1&3\\ 2&1&1 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{{20}{c}}
x\\
y\\
z
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
4\\
{10}\\
8
\end{array}} \right)$$
Si llamamos $A=\left( {\begin{array}{{20}{c}} 2&1&0\\ 0&1&3\\ 2&1&1 \end{array}} \right)$, $X=\left( {\begin{array}{{20}{c}}
x\\
y\\
z
\end{array}} \right)$ y $B=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
4\\
{10}\\
8
\end{array}} \right)$, el sistema adopta la forma de una ecuación matricial del tipo $AX=B$, cuya solución sabemos que es $X=AB^{-1}$.
La inversa de la matriz $A=\left( {\begin{array}{{20}{c}} 2&1&0\\ 0&1&3\\ 2&1&1 \end{array}} \right)$ es $A^{-1}=\left( {\begin{array}{{20}{c}} -1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\ 3&1&-3\\ -1&0&1 \end{array}} \right)$. Entonces:
$$X = A^{-1}B=\left( {\begin{array}{{20}{c}} -1&-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\ 3&1&-3\\ -1&0&1 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}4\\{10}\\8\end{array}} \right)\Rightarrow X=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}3\\{-2}\\4\end{array}} \right)$$
Por tanto, las soluciones del sistema son $x=3$., $y=-2$, $z=4$.
Los matemáticos dedicaron muchos esfuerzos a la resolución de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones. De hecho, las soluciones del sistema anterior se pueden obtener aplicando una curiosa regla, llamada regla de Cramer. Pensemos en un sistema cualquiera de tres ecuaciones con tres incógnitas que tenga solución única (hay sistemas que no tienen solución y sistemas que tienen infinitas soluciones):
$$\begin{cases}
a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1 \\
a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2 \\ a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3
\end{cases}$$
La matriz $A$ se llama matriz de los coeficientes. Esta matriz debe de ser regular o invertible, es decir, debe de tener determinante distinto de cero: $\left|A\right|\neq0$. La matriz $B$ es la matriz de los términos independientes y la matriz $X$ es la matriz incógnita.
Pues bien, la regla de Cramer dice que las incógnitas pueden calcularse del siguiente modo:
$$x=\frac{\begin{vmatrix} b_1&a_{12}&a_{13}\\ b_2&a_{22}&a_{23}\\ b_3&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}}{\left|A\right|}\ \text{;}\ y=\frac{\begin{vmatrix} a_{11}&b_1&a_{13}\\ a_{21}&b_2&a_{23}\\ a_{31}&b_3&a_{33} \end{vmatrix}}{\left|A\right|}\ \text{;}\ z=\frac{\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&b_2\\ a_{31}&a_{32}&b_3 \end{vmatrix}}{\left|A\right|}$$
En nuestro ejemplo, $\left|A\right|=2$. Por tanto:
$$x=\frac{\begin{vmatrix} 4&1&0\\ 10&1&3\\ 8&1&1 \end{vmatrix}}{2}=\frac{(4+24+0)-(0+10+12)}{2}=\frac{28-22}{2}=\frac{6}{2}\Rightarrow x=3$$
$$y=\frac{\begin{vmatrix} 2&4&0\\ 0&10&3\\ 2&8&1 \end{vmatrix}}{2}=\frac{(20+24+0)-(0+0+48)}{2}=\frac{44-48}{2}=\frac{-4}{2}\Rightarrow y=-2$$
$$z=\frac{\begin{vmatrix} 2&1&4\\ 0&1&10\\ 2&1&8 \end{vmatrix}}{2}=\frac{(16+20+0)-(8+0+20)}{2}=\frac{36-28}{2}=\frac{8}{2}\Rightarrow z=4$$
¿Por qué funciona esta regla? Bueno, no lo vamos a hacer aquí, pero un buen ejercicio sería intentar demostrarla.
En general, la inversa de una matriz sirve para calcular ecuaciones matriciales de muchos tipos. Hagamos otro ejemplo.
El siguiente problema se propuso en el año 2019 en Castilla-La Mancha.
Enunciado
Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix} -1&-1&-1\\ -1&1&0\\ 2&-1&0 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1&2&2\\ 0&1&1\\ 1&-1&2 \end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix} 0&1&1\\ 1&1&0\\ 0&1&2 \end{pmatrix}$, calcular razonadamente la matriz $X$ que verifica $AX-2B=C$.
Solución
En primer lugar, calcularemos la inversa de la matriz $A$.
$\left|A\right|=(0+0+1)-(-2+0+0)=-1+2=1$. Como $\left|A\right|\neq0$, existe la inversa de $A$.
La matriz adjunta de $A$ es $A^d=\begin{pmatrix} 0&0&-1\\ 1&2&3\\ 1&1&-2 \end{pmatrix}$. Entonces:
$$A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}\left(A^d\right)^t=\frac{1}{1}\begin{pmatrix} 0&1&1\\ 0&2&1\\ -1&-3&-2 \end{pmatrix}\Rightarrow A^{-1}=\begin{pmatrix} 0&1&1\\ 0&2&1\\ -1&-3&-2 \end{pmatrix}$$
Resolvamos ahora la ecuación matricial. Lo primero es despejar la matriz incógnita $X$:
$$AX – 2B = C \Rightarrow AX = C + 2B \Rightarrow {A^{ – 1}}AX = {A^{ – 1}}\left( {C + 2B} \right) \Rightarrow X = {A^{ – 1}}\left( {C + 2B} \right)$$
Obsérvese que hemos multiplicado por la inversa de $A$ por la izquierda en ambos miembros de la igualdad. No se puede hacer por la derecha porque las matrices no cumplen la propiedad conmutativa y, en principio, $AX{A^{ – 1}} \ne {A^{ – 1}}AX$. Ahora, operando:
$$X=\begin{pmatrix} 0&1&1\\ 0&2&1\\ -1&-3&-2 \end{pmatrix}\cdot\left[\begin{pmatrix} 0&1&1\\ 1&1&0\\ 0&1&2 \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 1&2&2\\ 0&1&1\\ 1&-1&2 \end{pmatrix}\right]=$$
$$=\begin{pmatrix} 0&1&1\\ 0&2&1\\ -1&-3&-2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 2&5&5\\ 1&3&2\\ 2&-1&-6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3&2&8\\ 4&5&10\\ -9&-12&-23 \end{pmatrix}$$
Supongamos ahora que, con las mismas matrices que en el ejercicio anterior, la ecuación matricial que se pide resolver es la siguiente:
$$XB-2X+AB=C$$
Esta ecuación matricial es un poco más complicada que la anterior. En primer lugar, vamos a pasar al segundo miembro los términos que no contienen la incógnita:
$$XB-2X=C-AB$$
Ahora, para despejar la incógnita $X$, debemos de sacarla factor común en el primer miembro. Pero no debemos de extraerla así: $X(B-2)$. Esto es porque no tiene sentido realizar la resta $B-2$, es decir, no se puede restar una matriz $B$ de orden tres con el número $2$. Lo que tenemos que hacer es pensar que $2X = 2IX = 2XI = X2I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden tres. Recuerda que esta matriz es el elemento neutro de la multiplicación en el conjunto de las matrices cuadradas de orden tres. Entonces:
$$XB – 2X = C – AB \Rightarrow XB – X2I = C – AB \Rightarrow X\left( {B – 2I} \right) = C – AB \Rightarrow $$
$$ \Rightarrow X\left( {B – 2I} \right){\left( {B – 2I} \right)^{ – 1}} = \left( {C – AB} \right){\left( {B – 2I} \right)^{ – 1}} \Rightarrow X = \left( {C – AB} \right){\left( {B – 2I} \right)^{ – 1}}$$
Se tiene que
$$B-2I=\begin{pmatrix} 1&2&2\\ 0&1&1\\ 1&-1&2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1&2&2\\ 0&-1&1\\ 1&-1&0 \end{pmatrix}$$
Esta matriz tiene inversa ya que su determinante es distinto de cero:
$$\begin{vmatrix} -1&2&2\\ 0&-1&1\\ 1&-1&0 \end{vmatrix}=(0+2+0)-(-2+0+1)=2-(-1)=3$$
La matriz adjunta y la matriz traspuesta de la adjunta de $B-2I$ son, respectivamente, las siguientes:
$$(B-2I)^d=\begin{pmatrix} 1&1&1\\ -2&-2&1\\ 4&1&1 \end{pmatrix}\ \text{;}\ \left((B-2I)^d\right)^t=\begin{pmatrix} 1&-2&4\\ 1&-2&1\\ 1&1l3&1 \end{pmatrix}$$
Por tanto, la matriz inversa de $B-2I$ es:
$$(B-2I)^{-1}=\frac{1}{\left|B-2I\right|}\left((B-2I)^t\right)^t=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1&-2&4\\ 1&-2&1\\ 1&1l3&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{3}&-\frac{2}{3}&\frac{4}{3}\\ \frac{1}{3}&-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3} \end{pmatrix}$$
Por otro lado,
$$C-AB=\begin{pmatrix} 0&1&1\\ 1&1&0\\ 0&1&2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0&1&1\\ 0&2&1\\ -1&-3&-2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&2&2\\ 0&1&1\\ 1&-1&2 \end{pmatrix}=$$
$$=\begin{pmatrix} 0&1&1\\ 1&1&0\\ 0&1&2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -2&-2&-5\\ -1&-1&-1\\ 2&3&3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&3&6\\ 2&2&1\\ -2&-2&-1 \end{pmatrix}$$
Finalmente:
$$X=(C-AB)(B-2I)^{-1}=\begin{pmatrix} 2&3&6\\ 2&2&1\\ -2&-2&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{3}&-\frac{2}{3}&\frac{4}{3}\\ \frac{1}{3}&-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{11}{3}&-\frac{4}{3}&\frac{17}{3}\\ \frac{5}{3}&-\frac{7}{3}&\frac{11}{3}\\ -\frac{5}{3}&\frac{7}{3}&-\frac{11}{3} \end{pmatrix}$$
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