El siguiente ejercicio se ha propuesto en el examen de EvAU de Matemáticas II (convocatoria de junio de 2023).

Enunciado

Sean las matrices $X = \left({\begin{array}{c}a&b\\ c&0 \end{array}} \right)$, con $a,\,b\in\mathbb{R}$, $A = \left( {\begin{array}{c} 2&1\\ 4&2 \end{array}} \right)$, $B = \left( {\begin{array}{c} 1&0\\ 2&0 \end{array}} \right)$.

a) Determina las condiciones que tienen que cumplir los valores $a$, $b$, $c$ para que $A\cdot X=B$.

b) Si además queremos que $X$ sea simétrica, ¿qué se debe cumplir? ¿Cómo es la matriz $X$ resultante?

Solución

a) $A\cdot X=\left( {\begin{array}{c} 2&1\\ 4&2 \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{c} a&b\\ c&0 \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{c} 2a+c&2b\\ 4a+2c&4b \end{array}} \right)$. Entonces, para que $A\cdot X=B$, se ha de cumplir que

$$\left( {\begin{array}{c} 2a+c&2b\\ 4a+2c&4b \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{c} 1&0\\ 2&0 \end{array}} \right)$$

De aquí se deduce, por un lado, que $2a+c=1$ y $4a+2c=2$, que son ecuaciones equivalentes, ya que la segunda es el doble de la primera. Despejando $c$ de la primera ecuación, tenemos que $c=1-2a$. Por otro lado, se tiene que $2b=0$ y que $4b=0$. O sea, que $b=0$. Por tanto, las condiciones que tienen que cumplir los valores $a$, $b$, $c$ para que $A\cdot X=B$ son $c=1-2a,\ b=0$. De este modo, para que $A\cdot X=B$, debe ser

$$X=\left( {\begin{array}{c} a&0\\ 1-2a&0 \end{array}} \right)$$

b) $X=X^t \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{c} a&0\\ 1-2a&0 \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{c} a&1-2a\\ 0&0 \end{array}} \right) \Leftrightarrow 1-2a=0 \Leftrightarrow a=\dfrac{1}{2}$.

Por tanto, la matriz resultante será de la forma

$$X=\left( {\begin{array}{c} \dfrac{1}{2}&0\\ 0&0 \end{array}} \right)$$