El siguiente ejercicio se ha propuesto en el examen de EvAU de Matemáticas II (convocatoria de junio de 2023).

Enunciado

Sean las matrices $X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& 0\end{array}\right)$, con $a,b\in \mathbb{R}$, $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 2\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 0\end{array}\right)$.

a) Determina las condiciones que tienen que cumplir los valores $a$, $b$, $c$ para que $A\cdot X=B$.

b) Si además queremos que $X$ sea simétrica, ¿qué se debe cumplir? ¿Cómo es la matriz $X$ resultante?

Solución

a) $A\cdot X=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2a+c& 2b\\ 4a+2c& 4b\end{array}\right)$. Entonces, para que $A\cdot X=B$, se ha de cumplir que

$$\left(\begin{array}{cc}2a+c& 2b\\ 4a+2c& 4b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 0\end{array}\right)$$

De aquí se deduce, por un lado, que $2a+c=1$ y $4a+2c=2$, que son ecuaciones equivalentes, ya que la segunda es el doble de la primera. Despejando $c$ de la primera ecuación, tenemos que $c=1-2a$. Por otro lado, se tiene que $2b=0$ y que $4b=0$. O sea, que $b=0$. Por tanto, las condiciones que tienen que cumplir los valores $a$, $b$, $c$ para que $A\cdot X=B$ son $c=1-2a,b=0$. De este modo, para que $A\cdot X=B$, debe ser

$$X=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 1-2a& 0\end{array}\right)$$

b) $X=X^t\iff \left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 1-2a& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& 1-2a\\ 0& 0\end{array}\right)\iff 1-2a=0\iff a={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Por tanto, la matriz resultante será de la forma

$$X=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$