Una ecuación trigonométrica es aquella en la que la incógnita está afectada por alguna razón trigonométrica o, lo que es lo mismo, la incógnita se encuentra entre el argumento de alguna razón trigonométrica.
Así, la igualdad \(\cos x=\frac{1}{2}\) es una ecuación trigonométrica sencilla. La solución será el ángulo cuyo coseno es \(\frac{1}{2}\). Si consideramos que el ángulo es menor que \(360^{\circ}\) (primera vuelta), hay dos posibilidades, según que el ángulo se encuentre en el primer o en el cuarto cuadrante: \(x=60^{\circ}\), \(x=300^{\circ}\) (el coseno es positivo en el primer cuadrante y en el cuarto cuadrante).
En algunas ecuaciones trigonométricas habrá que hacer uso de las fórmulas trigonométricas para resolverlas. En general, para resolver una ecuación trigonométrica lo que hemos de conseguir es transformarla en otra ecuación equivalente en la que solamente aparezca una razón trigonométrica. A partir de ahí puede que todo sea más sencillo.
También es conveniente tener en cuenta estas dos relaciones (¡piénsalas!):
$$\text{sen}\,x=\cos x\Leftrightarrow \begin{cases} x=45^{\circ} \\x=225^{\circ} \end{cases}\quad;\quad-\text{sen}\,x=\cos x\Leftrightarrow \begin{cases} x=135^{\circ} \\x=315^{\circ} \end{cases}$$
Vamos a hacer algunas ecuaciones trigonométricas como ejemplo. En todas ellas daremos la solución o soluciones correspondientes a la primera vuelta, es decir, entre $0^{\circ}$ y $360^{\circ}$.
1) $\cos^2x-3\cos x+2=0$
Solución
En este ejemplo la ecuación trigonométrica equivale a una ecuación de segundo grado. Haciendo \(\cos x=z\), la ecuación anterior se transforma en \(z^2-3z+2=0\), cuyas soluciones son \(z=1\) y \(z=2\). Por tanto \(\cos x=1\) y \(\cos x=2\). La ecuación \(\cos x=2\) no proporciona soluciones pues el coseno de un ángulo se encuentra siempre entre \(-1\) y \(1\). Si \(\cos x=1\), entonces \(x=0^{\circ}\), que es la solución de la ecuación.
2) $\text{sen}\,x+\cos x=1$
Solución
De la fórmula fundamental de la trigonometría, \(\text{sen}^2\,x+\cos^2x=1\), se deduce que \(\text{sen}\, x=\sqrt{1-\cos^2x}\) y de aquí:
$\text{sen}\, x+\cos x=1\Rightarrow\text{sen}\, x=1-\cos x\Rightarrow\sqrt{1-\cos^2x}=1-\cos x$
Ahora, elevando los dos miembros al cuadrado:
$1-\cos^2x=1-2\cos x+\cos^2x\Rightarrow 2\cos^2x-2\cos x=0\Rightarrow$
$\Rightarrow2\cos x(\cos x-1)=0\Rightarrow\begin{cases}\cos x=0\\cos x =1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=90^{\circ}\\x=270^{\circ}\\x=0^{\circ}\end{cases}$
La solución \(x=270^{\circ}\) hay que descartarla porque no cumple la ecuación original, ya que \(\text{sen}\, 270^{\circ}=-1\) y entonces, sustituyendo, sería $-1+\cos 270^{\circ}=1$, con lo que $\cos 270^{\circ}=2$, que es una contradicción, porque el coseno siempre se encuentra entre $-1$ y $1$.
Otra forma de resolver esta ecuación es elevar directamente los dos miembros al cuadrado:
$(\text{sen}\, x+\cos x)^2=1^2\Rightarrow \text{sen}^2\,x+2\text{sen}\, x\cos x+\cos^2x=1\Rightarrow$
$\Rightarrow2\text{sen}\, x\cos x+1=1\Rightarrow2\text{sen}\, x\cos x=0$
Ahora usando la fórmula del seno del ángulo doble, $\text{sen}\, 2x=2\text{sen}\, x\cos x$, tenemos:
$\text{sen}\, 2x=0\Rightarrow\begin{cases} 2x=0^{\circ}\\2x=180^{\circ}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=0^{\circ}\\x=90^{\circ}\end{cases}$
3) $\displaystyle 1=\frac{\text{sen}\,2x}{2}+\cos^2x$
Solución
Haciendo uso de la fórmula del seno del ángulo doble, \(\text{sen}\,2x=2\text{sen}\,x\cos x\), tenemos:
$\displaystyle1=\frac{2\text{sen}\,x\cos x}{2}+\cos^2x\Rightarrow1=\text{sen}\,x\cos x+\cos^2x\Rightarrow1-\cos^2x-\text{sen}\,x\cos x=0$
De la fórmula fundamental de la trigonometría, $\text{sen}^2\,x+\cos^2x=1$, se deduce que $1-\cos^2x=\text{sen}\,^2x$. Entonces:
$\text{sen}^2\,x-\text{sen}\,x\cos x=0\Rightarrow\text{sen}\, x(\text{sen}\,x-\cos x)\Rightarrow\begin{cases}\text{sen}\,x=0\\ \text{sen}\, x=\cos x\end{cases}$
Si \(\text{sen}\, x=0\), entonces \(x=0^{\circ}\) y \(x=180^{\circ}\).
Si \(\text{sen}\,x=\cos x\), entonces \(x=45^{\circ}\) y \(x=225^{\circ}\) (recuerda que si el seno de un ángulo es igual que su coseno, el ángulo es $45^{\circ}$, o bien $225^{\circ}$).
4) $\displaystyle\text{sen}^2\,x=\frac{3(1-\cos x)}{2}$
Solución
Multiplicando por \(2\) y haciendo uso de la fórmula fundamental de la trigonometría tenemos:
$2(1-\cos^2x)=3(1-\cos x)\Rightarrow 2-2\cos^2x=3-3\cos x\Rightarrow 2\cos^2x-3\cos x+1=0$
Resolviendo la ecuación de segundo grado:
$\displaystyle\cos x=\frac{3\pm\sqrt{9-8}}{4}=\frac{3\pm1}{4}\Rightarrow\begin{cases} \cos x=1\\ \cos x=\frac{1}{2}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=0^{\circ}\\ x=60^{\circ}\\ x=300^{\circ}\end{cases}$
5) $\text{sen}\, 3x-\cos 3x=\text{sen}\, x-\cos x$
Solución
Para resolver esta ecuación vamos a recurrir a la transformación de sumas y restas en productos (nos referimos a las cuatro últimas fórmulas de la relación de fórmulas trigonométricas).
$\displaystyle\text{sen}\, 3x-\cos 3x=\text{sen}\, x-\cos x\Rightarrow \text{sen}\, 3x-\text{sen}\, x=\cos 3x-\cos x\Rightarrow$
$\Rightarrow 2\,\cos2x\,\text{sen}\, x=-2\,\text{sen}\,2x\,\text{sen}\, x\Rightarrow 2\,\cos2x\,\text{sen}\, x+2\,\text{sen}\,2x\,\text{sen}\, x=0\Rightarrow$
$\Rightarrow 2\text{sen}\, x(\cos2x+\text{sen}\,2x)=0\Rightarrow\begin{cases}\text{sen}\, x=0\\ \cos2x=-\text{sen}\,2x\end{cases}\Rightarrow$
$\Rightarrow\begin{cases}x=0^{\circ}\\x=180^{\circ}\\2x=135^{\circ}\\2x=315^{\circ}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=0^{\circ}\\x=180^{\circ}\\x=67,5^{\circ}\\x=157,5^{\circ}\end{cases}$
