Apuntes de Matemáticas I

1. Números reales

Operaciones con fracciones. El conjunto de los números reales. Propiedades de las potencias. Igualdades notables. Radicales. Valor absoluto. Notación científica. Aproximaciones y errores. Logaritmos.

2. Álgebra

Conceptos básicos. Suma, resta y producto de polinomios. División de polinomios. Regla de Ruffini. Teorema del resto. Factorización de polinomios. Fracciones algebraicas. Ecuaciones de primer y de segundo grado. Ecuaciones bicuadradas y de grado superior a dos. Ecuaciones irracionales y con la incógnita en el denominador. Sistemas de dos ecuaciones lineales y no lineales con dos incógnitas. Inecuaciones de primer grado y de segundo grado. Inecuaciones de grado superior a dos. Inecuaciones racionales. Sistemas de inecuaciones con una incógnita. Ecuaciones exponenciales. Ecuaciones logarítmicas. Sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

3. Trigonometría

Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Relaciones fundamentales. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera (entre 0º y 360º). Ampliación del concepto de ángulo y uso de la calculadora. Razones trigonométricas de ángulos utilizados con frecuencia. Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos. Resolución de triángulos rectángulos. Resolución de triángulos cualesquiera: teorema de los senos y teorema del coseno. Una nueva unidad para medir ángulos: el radián. Fórmulas trigonométricas.

4. Números complejos

Definición, operaciones y forma binómica de un número complejo. Suma y producto o multiplicación de números complejos. Forma binómica de un número complejo. El cuerpo de los números complejos. Diferencia de números complejos. División de números complejos. Potencias de números complejos. Raíz de números complejos. Resolución de ecuaciones. Forma polar y trigonométrica de un número complejo. Relación entre las formas binómica y polar de un número complejo. Producto de números complejos en forma polar. Cociente de números complejos en forma polar. Inverso de un número complejo en forma polar. Potenciación de números complejos en forma polar. Fórmula de Moivre. Radicación de números complejos.

5. Vectores

Los vectores y sus operaciones. Producto de un número por un vector. Suma, resta y combinación lineal de vectores. Coordenadas de un vector. Base y coordenadas. Operaciones con coordenadas. Puntos y vectores del plano. Sistema de referencia en el plano. Vector director. Coordenadas del vector que une dos puntos. Condición para que tres puntos estén alineados. Punto medio de un segmento. Simétrico de un punto respecto a otro. Producto escalar de vectores. Propiedades del producto escalar. El producto escalar y la proyección de vectores. Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales. Módulo de un vector. Ángulo de dos vectores.

6. La recta. Geometría analítica

Ecuaciones de una recta: vectorial, paramétricas, continua, explícita e implícita o genera. Pendiente de una recta. Ecuación punto-pendiente. Haz de rectas. Paralelismo y perpendicularidad. Posiciones relativas de dos rectas. Ángulo de dos rectas. Distancias: distancia entre dos puntos y distancia de un punto a una recta.

7. Cónicas

En construcción

8. Funciones

Concepto de función y funciones elementales: lineales, cuadráticas, polinómicas, de proporcionalidad inversa, racionales, radicales. Funciones definidas «por trozos». Valor absoluto de una función. Transformaciones elementales de funciones. Simetrías. Composición de funciones. Función inversa de una función. La función exponencial. La función logarítmica. Funciones trigonométricas.

9. Límites, continuidad y ramas infinitas

Límite de una función en un punto. Continuidad de una función en un punto. Tipos de discontinuidades. Cálculo de límite de una función en un punto. Límite de una función racional. Comportamiento de una función en «más infinito». Cálculo de límites en «más infinito». Ramas infinitas. Asíntotas. Comportamiento de una función en «menos infinito».

10. Derivadas

Tasa de variación media. Concepto de derivada. Función derivada. Tabla de derivada y reglas de derivación. Recta tangente a una función en un punto. Monotonía y extremos relativos de una función.