0. Tabla de contenidos por unidades
1. Límites de funciones. Continuidad
Repaso: límite de una función en un punto y en el infinito. Reglas básicas para el cálculo de límites. Resolución de indeterminaciones. Comparación de infinitos. La regla de L’Hôpital. Continuidad de una función en un punto. Tipos de discontinuidades. Continuidad de una función en un intervalo. El teorema de Bolzano. Consecuencias del teorema de Bolzano: teorema de los valores intermedios y teorema de Weierstrass.
Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica de la derivada. Función derivada. Derivadas sucesivas y reglas de derivación. Derivada de las funciones elementales. Derivación logarítmica. Derivación de funciones en forma implícita. Monotonía y extremos relativos de una función. Curvatura. Puntos de inflexión. Optimización de funciones. El teorema de Rolle. El teorema del valor medio.
3. Representación de funciones
Elementos fundamentales para la construcción de curvas. Dominio de una función. Continuidad y derivabilidad. Simetrías. Periodicidad. Ramas infinitas. Asíntotas. Puntos de interés en la representación de funciones: puntos de tangente horizontal (puntos singulares o críticos), puntos de corte con los ejes, puntos de inflexión. El valor absoluto en la representación de funciones. Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas. Estudio y representación gráfica de funciones racionales. Representación de otro tipo de funciones.
4. La integral indefinida. Cálculo de primitivas
Primitivas. Integral indefinida. Integrales inmediatas. Método de integración por cambio de variable o sustitución. Método de integración por partes. Integración de funciones racionales.
5. La integral definida. Cálculo de áreas
Integral definida. Regla de Barrow. Propiedades de la integral definida: teorema del valor medio y teorema fundamental del cálculo. Cálculo de áreas. Área comprendida entre dos curvas.
Definición de matriz. Tipos de matrices. Operaciones con matrices. Propiedades de las operaciones con matrices. Matrices cuadradas. Matriz identidad o unidad. Matriz inversa de una matriz cuadrada. Reflexiones sobre el significado de la inversa de una matriz. Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversa de una matriz.
Definición de determinante de una matriz cuadrada: determinantes de orden dos y tres. Propiedades de los determinantes. Submatrices y menores. Menor complementario y adjunto. Desarrollo de un determinante por los elementos de una fila o de una columna. Rango de una matriz. Propiedades del rango de una matriz. Método para hallar el rango de una matriz a partir de sus menores. Cálculo de la inversa de una matriz. Ecuaciones matriciales.
8. Sistemas de ecuaciones lineales
Ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas equivalentes. Transformaciones válidas en un sistema de ecuaciones para obtener otro equivalente. Clasificaciones de los sistemas de ecuaciones según su número de soluciones. Sistemas escalonados. Matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales: expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales. Método de Gauss para la resolución de un sistema de ecuaciones lineales. La regla de Cramer. El teorema de Rouché. Sistemas lineales homogéneos. Discusión de sistemas de ecuaciones dependientes de un parámetro. Eliminación de parámetros.
Operaciones con vectores. Expresión analítica de un vector. Dependencia e independencia lineal de vectores. Base y coordenadas. Operaciones con coordenadas. Producto escalar de vectores. Propiedades del producto escalar. El producto escalar y la proyección de vectores. Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales. Módulo de un vector. Ángulo de dos vectores. Producto vectorial. Propiedades del producto vectorial. Producto mixto de tres vectores.
10. Puntos, rectas y planos en el espacio
Sistema de referencia en el espacio. Aplicaciones de los vectores a problemas geométricos: coordenadas de un vector que une dos puntos, puntos alineados, punto medio de un segmento, simétrico de un punto respecto de otro. La recta en el espacio. Ecuaciones de la recta: ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y ecuación continua de la recta. El plano en el espacio. Ecuaciones del plano: ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y ecuación implícita, general o cartesiana de un plano. Ecuación de un plano conociendo tres puntos. Posiciones relativas de dos rectas. Posiciones relativas de una recta y un plano. Posiciones relativas de dos planos. Ecuaciones implícitas de una recta. Haz de planos. Vector perpendicular a un plano.
11. Problemas métricos en el espacio
Ángulos: entre dos rectas, entre dos planos, y entre recta y plano. Distancias: entre dos puntos, de un punto a un plano, entre dos planos paralelos, de un punto a una recta, entre una recta y un plano paralelos, entre dos rectas paralelas y entre dos rectas que se cruzan. Área de un triángulo. Área de un paralelogramo. Volumen de un tetraedro. Volumen de un paralelepípedo. La esfera.
Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Los sucesos. Operaciones con sucesos. Definición de probabilidad: regla de Laplace. Definición axiomática de probabilidad: consecuencias. Experimentos compuestos. Diagramas de árbol. Probabilidad condicionada. Probabilidad de la intersección de sucesos. Independencia de sucesos. Probabilidad total. Teorema de Bayes.
13. Distribuciones binomial y normal
Variables aleatorias: tipos. Distribución de probabilidad para variables aleatorias discretas. Parámetros de una variable aleatoria discreta. El experimento binomial. La distribución binomial. Distribución de probabilidad para variables aleatorias continuas. Parámetros de una variable aleatoria continua. La distribución normal. Distribución normal estándar. Tipificación de la variable. Aplicaciones de la distribución normal. Teorema central del límite. Aproximación de la binomial por la normal. Corrección por continuidad.
