Ecuaciones y problemas que se resuelven planteando ecuaciones (1)

El mínimo común múltiplo de los denominadores es $\text{mcm}\,(2,3,4)=12$. Para eliminar denominadores se multiplica por (12) todos los términos de la ecuación. De este modo es fácil resolver la ecuación. 

$$\frac{x}{2}+\frac{x-1}{3}-\frac{x+1}{4}=1\Leftrightarrow12\cdot\frac{x}{2}+12\cdot\frac{x-1}{3}-12\cdot\frac{x+1}{4}=12\cdot1\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow6x+4(x-1)-3(x+1)=12\Leftrightarrow6x+4x-4-3x-3=12\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow7x-7=12\Leftrightarrow7x=19\Leftrightarrow x=\frac{19}{7}$$

Para resolver la ecuación multiplicaremos todos los términos de la misma por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es $12$.

$$12\cdot\frac{x-2}{3}+12\cdot\frac{x+1}{6}=12\cdot\frac{x-1}{4}+12\cdot1\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow4(x-2)+2(x+1)=3(x-1)+12\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow4x-8+2x+2=3x-3+12\Leftrightarrow4x+2x-3x=-3+12+8-2\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow3x=15\Leftrightarrow x=\frac{15}{3}\Leftrightarrow x=5$$

En este caso tendremos que multiplicar todos los términos por (312), que es el mínimo común múltiplo de los denominadores. El procedimiento es el mismo que en los dos apartados anteriores:

$$312\cdot\frac{3x-17}{8}-312\cdot\frac{1-x}{4}=312\cdot\frac{1-4x}{13}-312\cdot\frac{9+x}{6}\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow39(3x-17)-78(1-x)=24(1-4x)-52(9+x)\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow 117x-663-78+78x=24-96x-468-52x\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow117x+78x+96x+52x=24-468+663+78\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow343x=297\Leftrightarrow x=\frac{297}{343}$$

En primer lugar simplificaremos el primer término utilizando las propiedades de las potencias. Luego ya todo es más fácil.

$$\left(5\sqrt[3]{5x-2}\right)^3=2\Leftrightarrow5^3\sqrt[3]{5x-2}^3=2\Leftrightarrow125(5x-2)=2\Leftrightarrow625x-250=2\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow625x=2+250\Leftrightarrow625x=252\Leftrightarrow x=\frac{252}{625}$$

Para eliminar la raíz cúbica hemos de elevar ambos miembros al cubo. Luego se procede como en el apartado anterior.

$$3\sqrt[3]{x+1}=4\Leftrightarrow\left(3\sqrt[3]{x+1}\right)^3=4^3\Leftrightarrow3^3\sqrt[3]{x+1}^3=4^3\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow27(x+1)=64\Leftrightarrow27x+27=64\Leftrightarrow27x=37\Leftrightarrow x=\frac{37}{27}$$

En este caso, en primer lugar, aislamos el radical. Luego se elevan ambos miembros al cuadrado y se procede como anteriormente.

$$\sqrt{x-2}-4=12\Leftrightarrow\sqrt{x-2}=16\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}\right)^2=16^2\Leftrightarrow x-2=256\Leftrightarrow x=258$$

Se trata de una ecuación de segundo grado. Pasamos todos los términos al primer miembro para escribirla de la forma $ax^2+bx+c=0$ y así poder aplicar la fórmula que proporciona las soluciones de una ecuación de segundo grado:

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Por tanto:

$$5x^2+2x-7=4x^2+3x-1\Leftrightarrow5x^2+2x-7-4x^2-3x+1=0\Leftrightarrow x^2-x-6=0$$

Los coeficientes $a$, $b$ y $c$ son, en este caso, $a=1$, $b=-1$ y $c=-6$. Así pues, aplicando la fórmula y operando:

$$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm\sqrt{1-(-24)}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{2}=$$

$$=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{1\pm5}{2}=\begin{cases}x_1=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3\\x_2=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2\end{cases}$$

Esta ecuación también es de segundo grado. Pero primero debemos hacer el cuadrado de la diferencia y reducir términos semejantes.

$$(3x-6)^2-9=0\Leftrightarrow9x^2-36x+36-9=0\Leftrightarrow9x^2-36x+27=0$$

Los coeficientes de la ecuación de segundo grado son: $a=9$,  $b=-36$, $c=27$. Entonces:

$$x=\frac{-(-36)\pm\sqrt{(-36)^2-4\cdot9\cdot27}}{2\cdot9}=\frac{36\pm\sqrt{1296-972}}{18}=$$

$$=\frac{36\pm\sqrt{324}}{18}=\frac{36\pm18}{18}=\begin{cases}x_1=\frac{36+18}{18}=\frac{54}{18}=3\\x_2=\frac{36-18}{18}=\frac{18}{18}=1\end{cases}$$

En primer lugar realizamos la operación del primer término:

$$(x+1)(x-1)(x+2)=(x^2-1)(x+2)=x^3+2x^2-x-2$$

La ecuación inicial es equivalente pues a esta otra: $x^3+2x^2-x-2=x^3-x^2+8$. Pasando todos los términos al primer miembro queda una ecuación de segundo grado:

$$x^3+2x^2-x-2=x^3-x^2+8\Leftrightarrow x^3+2x^2-x-2-x^3+x^2-8=0\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow3x^2-x-10=0$$

Los coefientes son, en este caso: $a=3$,  $b=-1$, $c=-10$. Por tanto:

$$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot3\cdot(-10)}}{2\cdot3}=\frac{1\pm\sqrt{1-(-120)}}{6}=\frac{1\pm\sqrt{121}}{6}=$$

$$=\frac{1\pm11}{6}=\begin{cases}x_1=\frac{1+11}{6}=\frac{12}{6}=2\\x_2=\frac{1-11}{6}=\frac{-10}{6}=-\frac{5}{3}\end{cases}$$

Esta es una ecuación bicuadrada. Podemos escribirla así: $\displaystyle\left(x^2\right)^2+12x^2-64=0$. Haciendo el cambio de variable $z=x^2$ se transforma en esta otra: $z^2+12z-64=0$, que es de segundo grado con coeficientes $a=1$, $b=12$, $c=-64$. Resolvamos pues esta última:

$$z=\frac{-12\pm\sqrt{12^2-4\cdot1\cdot(-64)}}{2\cdot1}=\frac{-12\pm\sqrt{144-(-256)}}{2}=\frac{-12\pm\sqrt{144+256}}{2}=$$

$$=\frac{-12\pm\sqrt{400}}{2}=\frac{-12\pm20}{2}=\begin{cases}z_1=\frac{-12+20}{2}=\frac{8}{2}=4\\z_2=\frac{-12-20}{2}=\frac{-32}{2}=-16\end{cases}$$

Ahora deshacemos el cambio:

Si $z=4$, entonces $\displaystyle x^2=4\Rightarrow x=\sqrt{4}=\begin{cases}x_1=2\\x_2=-2\end{cases}$

Si $z=-16$, entonces $x^2=-16\Rightarrow x=\sqrt{-16}$, que no tiene soluciones reales.

Por tanto las soluciones de la ecuación son $x_1=2$, $x_2=-2$.

Aislamos el primer radical, elevamos al cuadrado, volvemos a aislar el radical resultante y volvemos a elevar al cuadrado:

$$\sqrt{7+2x}=1-\sqrt{3+x}\Leftrightarrow\left(\sqrt{7+2x}\right)^2=\left(1-\sqrt{3+x}\right)^2\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow 7+2x=1-2\sqrt{3+x}+3+x\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow2\sqrt{3+x}=-3-x\Leftrightarrow\left(2\sqrt{3+x}\right)^2=(-3-x)^2\Leftrightarrow4(3+x)=9+6x+x^2\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow12+4x=9+6x+x^2\Leftrightarrow x^2+2x-3=0$$

Hemos transformado la ecuación con radicales iniciale en una ecuación de segundo grado cuyos coeficientes son $a=1$, $b=2$, $c=-3$. Resolvámosla:

$$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1}=\frac{-2\pm\sqrt{4-(-12)}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}=$$

$$=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{-2\pm4}{2}\begin{cases}x_1=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1\\x_2=\frac{-2-4}{2}=\frac{-6}{2}=-3\end{cases}$$

Ahora tenemos que comprobar si estas soluciones cumple la ecuación original.

Si $x=1$, entonces $\sqrt{7+2\cdot1}-\sqrt{3+1}=\sqrt{9}-\sqrt{4}=3-2=1$, con lo que $x=1$ es una solución válida.

Si $x=-3$, entonces $\sqrt{7+2\cdot(-3)}-\sqrt{3+(-3)}=\sqrt{1}-\sqrt{0}=1-0=1$, y $x=-3$ es también una solución válida.

En este tipo de ecuaciones con radicales esta comprobación final siempre hay que hacerla, pues es posible que algunas de las soluciones de la ecuación de segundo grado no satisfagan la ecuación original y entonces habrá que descartarlas.

Supongamos que la longitud de la pieza de tela es de $x$ metros.

Como vende la tercera parte le queda la siguiente fracción de tela:

$$x-\frac{x}{3}=\frac{3x}{3}-\frac{x}{3}=\frac{2x}{3}$$

Como posteriormente vende las $\displaystyle \frac{3}{4}$ partes del resto, ahora le sobra la siguiente porción de tela:

$$\frac{2x}{3}-\frac{3}{4}\cdot\frac{2x}{3}=\frac{2x}{3}-\frac{2x}{4}=\frac{8x}{12}-\frac{6x}{12}=\frac{2x}{12}=\frac{x}{6}$$

Como finalmente le sobran $6$ metros se tiene que:

$$\frac{x}{6}=6\Rightarrow x=36$$

Por tanto, la pieza de tela tiene una longitud de $36$ metros.

Llamemos $x$ a la edad del hijo. Hace doce años el hijo tendría pues $x-12$ años. En ese momento la edad del padre era cuatro veces la de su hijo, es decir, $4(x-12)=4x-48$ años. Si precisamente en este momento restamos los $x-12$ años del hijo estaremos en el año en que éste nació, que era cuando el padre tenía justamente $27$ años:

$$(4x-48)-(x-12)=27$$

Resolviendo esta ecuación:

$$(4x-48)-(x-12)=27\Leftrightarrow 3x-36=27\Leftrightarrow 3x=63\Leftrightarrow x=21$$

Por tanto la edad actual del hijo es de $21$ años.

Hemos visto que hace doce años el padre tenía $4(x-12)=4x-48$ años, es decir $4\cdot21-48=84-48=36$. Por tanto, la edad actual del padre es $36+12=48$ años.

Obsérvese que se llevan $27$ años, la edad que el padre tenía cuando nació el hijo.

Supongamos que la edad de Carlos es $x$ años. Entonces, como Ana tiene el triple de la edad de Carlos, tendrá $3x$ años. Cuando pasen $16$ años Carlos tendrá $x+16$ años y Ana tendrá $3x+16$ años. En ese momento Ana tendrá el doble de años que Carlos, es decir, $3x+16=2(x+16)$. Resolviendo esta ecuación:

$$3x+16=2(x+16)\Leftrightarrow 3x+16=2x+32\Leftrightarrow x=16$$

Esto quiere decir que Carlos tiene $16$ años y Ana tiene $3x=3\cdot16=48$ años.

Llamemos $x$ al número de monedas de $2$ céntimos. Entonces, como Juan tiene en total $28$ monedas, de $5$ céntimos tendrá $28-x$ monedas. Por tanto, el dinero que tiene en total es $2x+5(28-x)$ y esto ha de ser igual a los $86$ céntimos que tiene Juan, es decir, $2x+5(28-x)=86$. Resolviendo esta ecuación:

$$2x+5(28-x)=86\Leftrightarrow2x+140-5x=86\Leftrightarrow-3x=-54\Leftrightarrow x=18$$

Por tanto, Juan tiene $18$ monedas de $2$ céntimos y $28-x=28-18=10$ monedas de $5$ céntimos.

Llamemos $x$ a la capacidad del bidón. Como se han consumido $\displaystyle\frac{7}{8}$ partes, queda $\displaystyle\frac{1}{8}$ parte. Es decir, al bidón le quedan $\displaystyle\frac{x}{8}$ litros. Resulta que si se reponen $38$ litros queda lleno hasta sus $\displaystyle\frac{3}{5}$ partes. Es decir:

$$\frac{x}{8}+38=\frac{3x}{5}$$

Resolviendo la ecuación anterior:

$$\frac{x}{8}+38=\frac{3x}{5}\Leftrightarrow40\cdot\frac{x}{8}+40\cdot38=40\cdot\frac{3x}{5}\Leftrightarrow5x+1520=24x\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow1520=24x-5x\Leftrightarrow1520=19x\Leftrightarrow x=80$$

Por tanto la capacidad del bidón es de $80$ litros.