{"id":3739,"date":"2025-03-11T21:52:20","date_gmt":"2025-03-11T20:52:20","guid":{"rendered":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=3739"},"modified":"2025-03-20T12:10:56","modified_gmt":"2025-03-20T11:10:56","slug":"la-regla-de-cramer","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=3739","title":{"rendered":"La regla de Cramer"},"content":{"rendered":"\n

El \u00e1lgebra es generosa; siempre da m\u00e1s de lo que pide<\/em><\/p>\n\n\n\n

Jean le Rond d’Alembert<\/a><\/em><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Consideremos un sistema de \\(n\\) ecuaciones lineales con \\(n\\) inc\u00f3gnitas como el siguiente:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left\\{\\begin{array}{c}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\\ldots+a_{1n}x_n=b_1 \\\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\\ldots+a_{2n}x_n=b_2 \\\\………………………… \\\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\\ldots+a_{nn}x_n=b_n \\end{array}\\right.$$<\/p>\n\n\n\n

La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada del sistema son las siguientes:<\/p>\n\n\n\n

$$A=\\left(\\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \\ldots & a_{1n} \\\\a_{21} & a_{22} & \\ldots & a_{2n} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\a_{n1} & a_{n2} & \\ldots & a_{nn} \\\\ \\end{array}\\right)\\quad;\\quad A|b=\\left(\\begin{array}{cccc|c}a_{11} & a_{12} & \\ldots &a_{1n} & b_1\\\\a_{21} & a_{22} & \\ldots & a_{2n} & b_2\\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots & \\vdots\\\\a_{n1} & a_{n2} & \\ldots & a_{nn} & b_n\\\\ \\end{array}\\right)$$<\/p>\n\n\n\n

Seg\u00fan el teorema de Rouch\u00e9, si el rango de la matriz de los coeficientes es igual que el rango de la matriz ampliada el sistema es compatible. Si adem\u00e1s, dicho rango coincide con el n\u00famero de inc\u00f3gnitas, es decir, si \\(r(A)=r(A|b)=n\\), entonces el sistema es compatible determinado, o sea, que tiene soluci\u00f3n \u00fanica. La condici\u00f3n necesaria y suficiente para que se cumpla lo anterior es que el determinante de la matriz de los coeficientes sea distinto de cero, es decir:<\/p>\n\n\n\n

$$|A|\\neq0\\Leftrightarrow r(A)=r(A|B)=n$$<\/p>\n\n\n\n

En este caso, la soluci\u00f3n del sistema viene dada por seg\u00fan una serie de identidades que se conocen con el nombre de regla de Cramer:<\/p>\n\n\n\n

$$x_1=\\frac{\\left|\\begin{array}{cccc}b_1 & a_{12} & \\ldots & a_{1n} \\\\b_2 & a_{22} & \\ldots & a_{2n} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\b_n & a_{n2} & \\ldots & a_{nn} \\end{array}\\right|}{|A|} , x_2=\\frac{\\left|\\begin{array}{cccc}a_{11} & b_1 & \\ldots & a_{1n} \\\\ a_{21} & b_2 & \\ldots & a_{2n} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\a_{n1} & b_n & \\ldots & a_{nn}\\end{array}\\right|}{|A|},\\ldots,x_n=\\frac{\\left|\\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \\ldots & b_1 \\\\a_{21} & a_{22} & \\ldots & b_2 \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\a_{n1} & a_{n2} & \\ldots & b_n\\end{array}\\right|}{|A|}$$<\/p>\n\n\n\n

Obs\u00e9rvese que, en la pr\u00e1ctica, para obtener la inc\u00f3gnita \\(x_i\\) se dividen los valores de dos determinantes. El del numerador es el mismo que el de la matriz de los coeficientes, con la salvedad de que la columna \\(i\\) se sustituye por la columna de los t\u00e9rminos independientes. El denominador es el determinante de la matriz de los coeficientes en todos los casos.<\/p>\n\n\n\n

Veamos algunos ejemplos de aplicaci\u00f3n de la regla de Cramer.<\/p>\n\n\n\n

Ejemplo 1<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:<\/p>\n\n\n\n

$$\\begin{cases}8x-6y+2z=-1\\\\3x+y-z=10\\\\-x+3y-2z=5\\end{cases}$$<\/p>\n\n\n\n

El determinante de la matriz de los coeficientes es:<\/p>\n\n\n\n

$$|A|=\\left|\\begin{array}{ccc}8 & -6 & 2 \\\\3 & 1 & -1\\\\-1 & 3 & -2\\end{array}\\right|=(-16-6+18)-(-2+36-24)=-4-10=-14$$<\/p>\n\n\n\n

Como el determinante anterior es distinto de cero el sistema es compatible determinando (rango de la matriz de los coeficientes, igual al rango de la matriz ampliada, igual a tres, que es el n\u00famero de inc\u00f3gnitas). Aplicando la regla de Cramer obtenemos las soluciones:<\/p>\n\n\n\n

$$x=\\frac{\\left|\\begin{array}{ccc}-1 & -6 & 2 \\\\10 & 1 & -1\\\\5 & 3 & -2\\end{array}\\right|}{-14}=\\frac{(2+30+60)-(10+120+3)}{-14}=\\frac{92-133}{-14}=\\frac{-41}{-14}=\\frac{41}{14}$$<\/p>\n\n\n\n

$$y=\\frac{\\left|\\begin{array}{ccc}8 & -1 & 2 \\\\3 & 10 & -1\\\\-1 & 5 & -2\\end{array}\\right|}{-14}=\\frac{(-160-1+30)-(-20+6-40)}{-14}=\\frac{-131+54}{-14}=\\frac{-77}{-14}=\\frac{11}{2}$$<\/p>\n\n\n\n

$$z=\\frac{\\left|\\begin{array}{ccc}8 & -6 & -1 \\\\3 & 1 & 10\\\\-1 & 3 & 5\\end{array}\\right|}{-14}=\\frac{(40+60-9)-(1-90+240)}{-14}=\\frac{91-151}{-14}=\\frac{-60}{-14}=\\frac{30}{7}$$<\/p>\n\n\n\n

Ejemplo 2<\/strong><\/p>\n\n\n\n

La regla de Cramer tambi\u00e9n es \u00fatil cuando el sistema es compatible indeterminado. Consideremos el sistema siguiente:<\/p>\n\n\n\n

$$\\begin{cases}x+y+z+t=4\\\\x-y+z=1\\\\y-z+t=1\\end{cases}$$<\/p>\n\n\n\n

La matriz de los coeficientes es<\/p>\n\n\n\n

$$A=\\left(\\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\\\1 & -1 & 1 & 0 \\\\0 & 1 & -1 & 1 \\end{array}\\right)$$<\/p>\n\n\n\n

cuyo rango es 3 porque contienen un menor de orden tres distinto de cero:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left|\\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\\\1 & -1 & 1 \\\\0 & 1 & -1\\end{array}\\right|=(1+1)-(-1+1)=2-0=2$$<\/p>\n\n\n\n

Por tanto, el rango de la matriz ampliada tambi\u00e9n es 3 (el menor anterior nos servir\u00eda para demostrarlo) y, como el n\u00famero de inc\u00f3gnitas es 4, el sistema es compatible determinado. El grado de libertad del sistema es igual al n\u00famero de inc\u00f3gnitas menos el rango, en este caso, es igual a 1. Si llamamos \\(t=\\lambda\\) el sistema lo podemos reescribir as\u00ed:<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}x+y+z=4-\\lambda\\\\x-y+z=1\\\\y-z=1-\\lambda\\end{cases}<\/p>\n\n\n\n

El determinante hallado anteriormente es el determinante de la matriz de los coeficientes de este sistema, es decir, \\(|A|=2\\). Aplicando la regla de Cramer tenemos:<\/p>\n\n\n\n

$$x=\\frac{\\left|\\begin{array}{ccc}4-\\lambda & 1 & 1 \\\\1 & -1 & 1\\\\1-\\lambda & 1 & -1 \\end{array}\\right|}{2}=\\frac{(4-\\lambda+1-\\lambda+1)-(-1+\\lambda-1+4-\\lambda)}{2}=\\frac{4-2\\lambda}{2}=2-\\lambda$$<\/p>\n\n\n\n

$$y=\\frac{\\left|\\begin{array}{ccc}1 & 4-\\lambda & 1 \\\\1 & 1 & 1\\\\0 & 1-\\lambda & -1\\end{array}\\right|}{2}=\\frac{(-1+1+\\lambda)-(-4+\\lambda+1-\\lambda)}{2}=\\frac{3-\\lambda}{2}$$<\/p>\n\n\n\n

$$z=\\frac{\\left|\\begin{array}{ccc}1 & 1 & 4-\\lambda \\\\1 & -1 & 1\\\\0 & 1 & 1-\\lambda \\end{array}\\right|}{2}=\\frac{(-1+\\lambda+4-\\lambda)-(1-\\lambda+1)}{2}=\\frac{1+\\lambda}{2}$$<\/p>\n\n\n\n

Por tanto, las soluciones son:<\/p>\n\n\n\n

$$(x,y,z,t)=\\left(2-\\lambda,\\frac{3-\\lambda}{2},\\frac{1+\\lambda}{2},\\lambda\\right)$$<\/p>\n\n\n\n

Soluciones que tambi\u00e9n podemos escribir del siguiente modo:<\/p>\n\n\n\n

$$(x,y,z,t)=\\left(2,\\frac{3}{2},\\frac{1}{2},0\\right)+\\lambda\\left(-1,-\\frac{1}{2},\\frac{1}{2},1\\right)$$<\/p>\n\n\n\n

Desde el punto de vista geom\u00e9trico, la igualdad anterior viene ser la ecuaci\u00f3n vectorial de una recta en un espacio de dimensi\u00f3n cuatro. O sea, que el sistema de ecuaciones del cual hemos extra\u00eddo las soluciones no es otra cosa que una recta en el hiperespacio.<\/p>\n\n\n\n

Ejemplo 3<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Usando la regla de Cramer tambi\u00e9n podemos hallar el punto de corte de dos rectas. Por ejemplo, sean las rectas<\/p>\n\n\n\n

$$r\\equiv\\begin{cases}x+2y-z=1\\\\-x+y-3z=2\\end{cases}\\quad;\\quad s\\equiv\\begin{cases}x+y=0\\\\3x+2y+z=a\\end{cases}$$<\/p>\n\n\n\n

Vamos a hallar el valor del par\u00e1metro \\(a\\) para el que ambas rectas son secantes y, para ese valor de \\(a\\), hallaremos el punto de corte. El sistema de ecuaciones formado por ambas rectas es<\/p>\n\n\n\n

$$\\begin{cases}x+2y-z=1\\\\-x+y-3z=2\\\\x+y=0\\\\3x+2y+z=a\\end{cases}$$<\/p>\n\n\n\n

La matriz de los coeficientes es<\/p>\n\n\n\n

$$A=\\left(\\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\\\-1 & 1 & -3 \\\\1 & 1 & 0 \\\\3 & 2 & 1 \\end{array}\\right)$$<\/p>\n\n\n\n

cuyo rango es 3 ya que contiene un menor de orden tres distinto de cero, por ejemplo<\/p>\n\n\n\n

$$\\left|\\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\\\ -1 & 1 & -3 \\\\1 & 1 & 0\\end{array}\\right|=(-6+1)-(-1-3)=-5+4=-1\\neq0$$<\/p>\n\n\n\n

La matriz ampliada \\(A|b\\) es una matriz cuadrada de orden 4. Hallemos su determinante:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left|\\begin{array}{cccc}1 & 2 & -1 & 1 \\\\-1 & 1 & -3 & 2 \\\\1 & 1 & 0 & 0 \\\\3 & 2 & 1 & a\\end{array}\\right|=\\left|\\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 1 \\\\-1 & 2 & -3 & 2 \\\\1 & 0 & 0 & 0 \\\\3 & -1 & 1 & a\\end{array}\\right|=\\left|\\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\\\2 & -3 & 2 \\\\ -1 & 1 & a\\end{array}\\right|=\\left|\\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\\\0 & -1 & 0 \\\\0 & 0 & a+1 \\end{array}\\right|=-a-1$$<\/p>\n\n\n\n

En el primer paso se ha restado a la segunda columna la primera. Luego se ha desarrollado por la tercera fila.<\/p>\n\n\n\n

De lo anterior se deduce que si \\(a\\neq-1\\), el determinante anterior es distinto de cero, o lo que es lo mismo, el rango de la matriz ampliada es \\(4\\). Y como el rango de la matriz de los coeficientes es \\(3\\), el sistema ser\u00e1 incompatible. En este caso las rectas no ser\u00e1n secantes (ser\u00e1n paralelas o se cruzar\u00e1n).<\/p>\n\n\n\n

Sin embargo, si \\(a=-1\\), el determinante anterior es igual a cero, con lo que el rango de la matriz ampliada y el de la matriz de los coeficientes es tres, igual que el n\u00famero de inc\u00f3gnitas. Se trata pues de un sistema compatible determinado (soluci\u00f3n \u00fanica). Es decir, ambas rectas se cortan en un punto. Para hallar el punto de corte resolvemos el sistema. Como el rango es tres, podemos eliminar una de las ecuaciones y usar la regla de Cramer. Es decir, resolveremos el sistema siguiente:<\/p>\n\n\n\n

$$\\begin{cases}x+2y-z=1\\\\-x+y-3z=2\\\\x+y=0\\\\ \\end{cases}$$<\/p>\n\n\n\n

Ya hemos visto que el determinante de la matriz de los coeficientes es igual a \\(-1\\). Por tanto, por la regla de Cramer:<\/p>\n\n\n\n

$$x=\\frac{\\left|\\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\\\2 & 1 & -3 \\\\0 & 1 & 0\\end{array}\\right|}{-1}=\\frac{(-2)-(-3)}{-1}=\\frac{1}{-1}=-1$$<\/p>\n\n\n\n

$$y=\\frac{\\left|\\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\\\-1 & 2 & -3 \\\\1 & 0 & 0\\end{array}\\right|}{-1}=\\frac{(-3)-(-2)}{-1}=\\frac{-1}{-1}=1$$<\/p>\n\n\n\n

$$z=\\frac{\\left|\\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\\\-1 & 1 & 2 \\\\1 & 1 & 0\\end{array}\\right|}{-1}=\\frac{(4-1)-(1+2)}{-1}=\\frac{0}{-1}=0$$<\/p>\n\n\n\n

Resumiendo, si \\(a=1\\), las rectas son secantes y el punto de corte de las rectas \\(r\\) y \\(s\\) es el punto \\((-1,1,0)\\).<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

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El \u00e1lgebra es generosa; siempre da m\u00e1s de lo que pide Jean le Rond d’Alembert Consideremos un sistema de \\(n\\) ecuaciones lineales con \\(n\\) inc\u00f3gnitas como el siguiente: $$\\left\\{\\begin{array}{c}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\\ldots+a_{1n}x_n=b_1 \\\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\\ldots+a_{2n}x_n=b_2 \\\\………………………… \\\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\\ldots+a_{nn}x_n=b_n \\end{array}\\right.$$ La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada del sistema son las siguientes: $$A=\\left(\\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \\ldots & […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":3772,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":{"0":"post-3739","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","5":"has-post-thumbnail","6":"hentry","7":"category-uncategorized","9":"post-with-thumbnail","10":"post-with-thumbnail-large"},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3739","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=3739"}],"version-history":[{"count":28,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3739\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3773,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3739\/revisions\/3773"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/media\/3772"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=3739"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=3739"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=3739"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}