{"id":3709,"date":"2025-03-11T19:51:30","date_gmt":"2025-03-11T18:51:30","guid":{"rendered":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=3709"},"modified":"2025-03-11T19:51:30","modified_gmt":"2025-03-11T18:51:30","slug":"sistemas-de-dos-ecuaciones-lineales-de-primer-grado-con-tres-incognitas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=3709","title":{"rendered":"Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con tres inc\u00f3gnitas"},"content":{"rendered":"\n

La\u00a0belleza, como el\u00a0dolor, hace\u00a0sufrir<\/em><\/p>\n\n\n\n

Thomas Mann<\/a><\/em><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con tres inc\u00f3gnitas tiene la siguiente forma<\/p>\n\n\n\n

$$\\left\\{ \\begin{array}{l}Ax + By + Cz + D = 0\\\\A’x + B’y + C’z + D = 0\\end{array} \\right.\\qquad(1)$$<\/p>\n\n\n\n

Ya sabemos que una ecuaci\u00f3n lineal de primer grado con tres inc\u00f3gnitas es, desde el punto de vista geom\u00e9trico, un plano en el espacio. En este caso tenemos dos en su forma general:<\/p>\n\n\n\n

$$\\pi \\equiv Ax + By + Cz + D = 0\\quad \\text{;}\\quad \\pi’ \\equiv A’x + B’y + C’z + D’ = 0$$<\/p>\n\n\n\n

Las posibles posiciones relativas de dos planos en el espacio son tres: coincidentes<\/em>, paralelos<\/em> y secantes<\/em>. Utilizaremos el teorema de Rouch\u00e9 para interpretar las soluciones del sistema e identificarlas con la posici\u00f3n relativa correspondiente.<\/p>\n\n\n\n

Sean pues, respectivamente,<\/p>\n\n\n\n

$$\\left( {\\begin{array}{*{20}{c}}A&B&C\\\\{A’}&{B’}&{C’}\\end{array}} \\right)\\quad\\text{;}\\quad\\left( {\\begin{array}{*{20}{c}}A&B&C&-D\\\\{A’}&{B’}&{C’}&{-D’}\\end{array}} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada del sistema $(1)$. Como hay tres inc\u00f3gnitas escribiremos \\(n=3\\). Veamos ahora los casos que se pueden presentar.<\/p>\n\n\n\n

Caso 1<\/strong><\/p>\n\n\n\n

$${\\rm{rango}}\\left( {\\begin{array}{*{20}{c}}A&B&C\\\\{A’}&{B’}&{C’}\\end{array}} \\right) = {\\rm{rango}}\\left( {\\begin{array}{*{20}{c}}A&B&C&{-D}\\\\{A’}&{B’}&{C’}&{-D’}\\end{array}} \\right) = 1 < 3 = n$$<\/p>\n\n\n\n

El sistema es compatible indeterminado. Es decir, existen infinitas soluciones. En este caso las filas son proporcionales, con lo que los dos planos ser\u00e1n coincidentes. La condici\u00f3n pues para que esto ocurra es<\/p>\n\n\n\n

$$\\pi \\equiv \\pi’ \\Leftrightarrow \\frac{A}{{A’}} = \\frac{B}{{B’}} = \\frac{C}{{C’}} = \\frac{D}{{D’}}$$<\/p>\n\n\n\n

Caso 2<\/strong><\/p>\n\n\n\n

$${\\rm{rango}}\\left( {\\begin{array}{*{20}{c}}A&B&C\\\\{A’}&{B’}&{C’}\\end{array}} \\right) = 1 \\ne {\\rm{rango}}\\left( {\\begin{array}{*{20}{c}}A&B&C&{-D}\\\\{A’}&{B’}&{C’}&{-D’}\\end{array}} \\right) = 2$$<\/p>\n\n\n\n

El sistema no tiene soluci\u00f3n, con lo que los planos ser\u00e1n paralelos. En este caso las filas de la matriz de los coeficientes son proporcionales, pero no lo son las de la matriz ampliada. Por tanto es f\u00e1cil deducir que la condici\u00f3n para que los dos planos sean paralelos es la siguiente:<\/p>\n\n\n\n

$$\\pi\\, |\\,|\\,\\pi’ \\Leftrightarrow \\frac{A}{{A’}} = \\frac{B}{{B’}} = \\frac{C}{{C’}} \\ne \\frac{D}{{D’}}$$<\/p>\n\n\n\n

Caso 3<\/strong><\/p>\n\n\n\n

$${\\rm{rango}}\\left( {\\begin{array}{*{20}{c}}A&B&C\\\\{A’}&{B’}&{C’}\\end{array}} \\right) = {\\rm{rango}}\\left( {\\begin{array}{*{20}{c}}A&B&C&{-D}\\\\{A’}&{B’}&{C’}&{-D’}\\end{array}} \\right) = 2 < 3 = n$$<\/p>\n\n\n\n

El sistema vuelve a ser compatible indeterminado. Es decir, hay infinitas soluciones. La \u00fanica posibilidad es que estas soluciones, al ser el rango dos y no ser las filas proporcionales, est\u00e9n sobre la recta donde se cortan ambos planos. En este caso los planos son secantes seg\u00fan una recta: \\(\\pi \\cap \\pi’ = r\\). Las soluciones, o lo que es lo mismo, la recta de corte de ambos planos, se puede obtener hallando las soluciones del sistema (que depender\u00e1n de un par\u00e1metro). De este modo obtendr\u00edamos las ecuaciones param\u00e9tricas de la recta. De hecho, si los planos son secantes seg\u00fan una recta \\(r\\), al conjunto de las dos ecuaciones del sistema se les llama ecuaciones impl\u00edcitas de la recta:<\/p>\n\n\n\n

$$r \\equiv \\left\\{ \\begin{array}{l}Ax + By + Cz + D = 0\\\\A’x + B’y + C’z + D = 0\\end{array} \\right.$$<\/p>\n\n\n\n

Veamos un ejemplo de este \u00faltimo caso.<\/p>\n\n\n\n

Sean los planos \\(\\pi \\equiv 2x – 3y + z – 1 = 0\\) y \\(\\pi’ \\equiv – x + y – 4z + 1 = 0\\). El sistema formado por ambos es:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left\\{ \\begin{array}{l}2x-3y + z-1 = 0\\\\-x + y-4z + 1 = 0\\end{array} \\right. \\Rightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}2x-3y + z = 1\\\\-x + y-4z =-1\\end{array} \\right.$$<\/p>\n\n\n\n

Es muy f\u00e1cil darse cuenta de que<\/p>\n\n\n\n

$${\\rm{rango}}\\left( {\\begin{array}{*{20}{c}}2&{-3}&1\\\\{-1}&1&{-4}\\end{array}} \\right) = {\\rm{rango}}\\left( {\\begin{array}{*{20}{c}}2&{-3}&1&1\\\\{-1}&1&{-4}&{-1}\\end{array}} \\right) = 2$$<\/p>\n\n\n\n

pues hay un menor de orden dos distinto de cero:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}2&{-3}\\\\{-1}&1\\end{array}} \\right| = 2-3 =-1 \\ne 0$$<\/p>\n\n\n\n

Si llamamos \\(z=\\lambda\\), el sistema lo podemos escribir as\u00ed:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left\\{ \\begin{array}{l}2x-3y = 1-\\lambda \\\\-x + y =-1 + 4\\lambda\\end{array} \\right.$$<\/p>\n\n\n\n

cuyas soluciones son, aplicando la regla de Cramer:<\/p>\n\n\n\n

$$x = \\frac{{\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{1-\\lambda }&{ – 3}\\\\{-1 + 4\\lambda }&1\\end{array}} \\right|}}{{-1}} = \\frac{{1-\\lambda-\\left( {3-12\\lambda } \\right)}}{{-1}} = \\frac{{-2 + 11\\lambda }}{{-1}} = 2-11\\lambda$$<\/p>\n\n\n\n

$$y = \\frac{{\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}2&{1-\\lambda }\\\\{-1}&{-1 + 4\\lambda }\\end{array}} \\right|}}{{-1}} = \\frac{{-2 + 8\\lambda-\\left( {-1 + \\lambda } \\right)}}{{-1}} = \\frac{{-1 + 7\\lambda }}{{-1}} = 1-7\\lambda$$<\/p>\n\n\n\n

Estas soluciones las podemos escribir as\u00ed:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left( {x,y,z} \\right) = \\left( {2-11\\lambda ,1-7\\lambda ,\\lambda } \\right) = \\left( {2,1,0} \\right) + \\lambda \\left( {-11,7,1} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

que no es otra cosa que la ecuaci\u00f3n vectorial de la recta que pasa por el punto \\(P\\left( {2,1,0} \\right)\\) y tiene vector director \\(\\vec u = \\left( {-11,-7,1} \\right)\\).<\/p>\n\n\n\n

En la siguiente figura se pueden apreciar los dos planos y la recta donde se cortan ambos.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
\n\n\n\n

Puedes ver y descargar el art\u00edculo en formato pdf\u00a0aqu\u00ed<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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