{"id":3625,"date":"2025-03-11T13:48:43","date_gmt":"2025-03-11T12:48:43","guid":{"rendered":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=3625"},"modified":"2025-03-11T18:17:25","modified_gmt":"2025-03-11T17:17:25","slug":"sistemas-de-dos-ecuaciones-lineales-de-primer-grado-con-dos-incognitas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=3625","title":{"rendered":"Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos inc\u00f3gnitas"},"content":{"rendered":"\n

El que tiene fe en s\u00ed mismo no necesita que los dem\u00e1s crean en \u00e9l<\/em><\/p>\n\n\n\n

Miguel de Unamuno<\/a><\/em><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos inc\u00f3gnitas<\/strong> lo podemos escribir de la siguiente manera:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left\\{ \\begin{array}{l}Ax + By + C = 0\\\\A’x + B\\,’y + C’ = 0\\end{array} \\right.\\quad\\textbf{(1)}$$<\/p>\n\n\n\n

Ya sabemos que una ecuaci\u00f3n lineal de primer grado con dos inc\u00f3gnitas<\/a> es, desde el punto de vista geom\u00e9trico, una recta en el plano. En este caso tenemos dos en su forma general:<\/p>\n\n\n\n

$$r \\equiv Ax + By + C = 0\\quad\\text{;}\\quad s\\equiv A’x + B\\,’y + C’ = 0$$<\/p>\n\n\n\n

Las posibles posiciones relativas de dos rectas en el plano son tres: coincidentes<\/strong>, paralelas<\/strong> y secantes<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Si son coincidentes es porque una recta es la misma que la otra salvo un factor num\u00e9rico, es decir,<\/p>\n\n\n\n

$$Ax + By + C = k\\left( {A’x + B\\,’y + C’} \\right) = 0 \\Rightarrow$$<\/p>\n\n\n\n

$$\\Rightarrow Ax + By + C = kA’x + kB\\,’y + kC’ = 0\\,\\,,\\,\\,k \\in \\mathbb{R}$$<\/p>\n\n\n\n

De aqu\u00ed se deduce que \\(A = kA’\\,,\\,B = kB\\,’\\,,\\,C = kC’\\) y despejando \\(k\\) obtenemos una condici\u00f3n para que las dos rectas coincidan:<\/p>\n\n\n\n

$$r \\equiv s \\Leftrightarrow \\frac{A}{{A’}} = \\frac{B}{{B\\,’}} = \\frac{C}{{C’}}$$<\/p>\n\n\n\n

En este caso el sistema \\(\\textbf{(1)}\\) tiene infinitas soluciones pues las dos rectas, al ser coincidentes, tienen en com\u00fan todos sus puntos.<\/p>\n\n\n\n

Si las dos rectas son paralelas tienen la misma direcci\u00f3n, los vectores directores de \\(r\\) y \\(s\\) son iguales o proporcionales. Es decir, llamando \\(\\vec u\\) al vector director de \\(r\\), y \\(\\vec v\\) al vector director de \\(s\\), tenemos que \\(\\vec u = k\\vec v\\), donde \\(k\\) es un n\u00famero real. Pero recordemos que los vectores directores se pod\u00edan obtener f\u00e1cilmente de la ecuaci\u00f3n general de la recta: \\(\\vec u = \\left( {-B,A} \\right)\\) y \\(\\vec v = \\left( {-B\\,’,A’} \\right)\\), con lo que:<\/p>\n\n\n\n

$$\\vec u = k\\vec v \\Leftrightarrow \\left( {-B,A} \\right) = k\\left( {-B\\,’,A’} \\right) \\Leftrightarrow \\left( { – B,A} \\right) = \\left( { – kB\\,’,kA’} \\right) \\Leftrightarrow$$<\/p>\n\n\n\n

$$\\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}-B=-kB\\,’\\\\A = kA’\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}k = \\frac{B}{{B\\,’}}\\\\k = \\frac{A}{{A’}}\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\frac{A}{{A’}} = \\frac{B}{{B\\,’}}$$<\/p>\n\n\n\n

As\u00ed pues para que dos rectas sean paralelas tenemos la siguiente condici\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n

$$r\\,|\\,|\\,s \\Leftrightarrow \\frac{A}{{A’}} = \\frac{B}{{B\\,’}} \\ne \\frac{C}{{C’}}$$<\/p>\n\n\n\n

En este caso el sistema \\(\\textbf{(1)}\\) no tienen ninguna soluci\u00f3n (esto es obvio: dos rectas paralelas no tienen ning\u00fan punto en com\u00fan, no se cortan en ning\u00fan punto).<\/p>\n\n\n\n

Por \u00faltimo, si las dos rectas son secantes, han de tener distinta direcci\u00f3n, con lo que sus vectores directores no ser\u00e1n proporcionales. Esto nos lleva a la siguiente condici\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n

$$r \\cap s = \\left\\{ P \\right\\} \\Leftrightarrow \\frac{A}{{A’}} \\ne \\frac{B}{{B\\,’}}$$<\/p>\n\n\n\n

En este caso el sistema \\(\\textbf{(1)}\\) tienen una \u00fanica soluci\u00f3n. Esta soluci\u00f3n es el punto de corte de las rectas \\(r\\) y \\(s\\): \\(P\\left( {a,b} \\right)\\).<\/p>\n\n\n\n

Lo veremos un ejemplo. Consideremos el sistema de ecuaciones<\/p>\n\n\n\n

$$\\displaystyle\\left\\{ \\begin{array}{l}2x-3y-8 = 0\\\\-5x-y + 3 = 0\\end{array} \\right.$$<\/p>\n\n\n\n

Este sistema est\u00e1; formado por las rectas \\(r \\equiv 2x-3y-7 = 0\\) y \\(s \\equiv -5x-y + 3 = 0\\).<\/p>\n\n\n\n

Como tenemos que \\(\\dfrac{2}{{-5}} \\ne \\dfrac{{-3}}{{-1}}\\), entonces las rectas son secantes. Si queremos saber el punto de corte basta resolver el sistema. Por reducci\u00f3n es muy sencillo. Multiplicando la segunda ecuaci\u00f3n por \\(-3\\) tenemos: <\/p>\n\n\n\n

$$\\displaystyle\\left\\{ \\begin{array}{l}2x-3y-8 = 0\\\\15x + 3y-9 = 0\\end{array} \\right.$$<\/p>\n\n\n\n

Ahora, si a la segunda ecuaci\u00f3n se le suma la primera el sistema queda reducido al este otro:<\/p>\n\n\n\n

$$\\displaystyle\\left\\{ \\begin{array}{l}2x-3y-8 = 0\\\\17x-17 = 0\\end{array} \\right.$$<\/p>\n\n\n\n

Despejando $x$ de la segunda ecuaci\u00f3n: \\(17x-17 = 0 \\Rightarrow x = 1\\). Y sustituyendo este valor en la primera ecuaci\u00f3n despejaremos el valor de \\(y\\): \\(2-3y-8 = 0 \\Rightarrow -3y-6 = 0 \\Rightarrow y =-2\\). <\/p>\n\n\n\n

Este m\u00e9todo de reducci\u00f3n es un caso particular de otro m\u00e1s general, conocido como m\u00e9todo de Gauss para la resoluci\u00f3n de sistemas de ecuaciones lineales.<\/p>\n\n\n\n

La interpretaci\u00f3n geom\u00e9trica es muy sencilla: el punto de corte de las rectas $r\\equiv2x-3y-8=0$ y $s\\equiv-5x-y+3=0$ es \\(P\\left( {1, – 2} \\right)\\). Esto se escribe simb\u00f3licamente as\u00ed:<\/p>\n\n\n\n

$$r\\cap s=P(-1,2)$$<\/p>\n\n\n\n

Se puede apreciar en la siguiente figura.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Puede que ahora sea un buen momento de hablar de independencia lineal<\/strong>. Es un concepto muy sencillo. Para ello vamos a pensar en dimensi\u00f3n tres, en un espacio tridimensional como en el que vivimos. Es decir, vamos a fijar un sistema de referencia af\u00edn donde cada punto y cada vector tiene tres coordenadas. Este sistema de referencia af\u00edn lo podemos escribir as&iacute;: \\(R = \\left\\{ {O\\,,\\,\\left\\{ {{\\rm{i}},{\\rm{j}},{\\rm{k}}} \\right\\}} \\right\\}\\) donde \\({\\rm{i}} = \\left( {1,0,0} \\right)\\), \\({\\rm{j}} = \\left( {0,1,0} \\right)\\) y \\({\\rm{k}} = \\left( {0,0,1} \\right)\\). Algo as\u00ed como decir que \\(\\text{i}\\) mide la anchura, \\(\\text{j}\\) la profundidad y \\(\\text{k}\\) la altura. De modo que, por ejemplo, el vector \\(\\vec u\\left( {3,4,2} \\right)\\) tiene tres unidades de anchura, cuatro de profundidad y dos de altura.<\/p>\n\n\n\n

Pues bien, un vector es siempre linealmente independiente y genera una recta (la recta que lo contiene, que es un espacio de dimensi\u00f3n uno). Dos vectores son linealmente independientes si tienen distinta direcci\u00f3n, en cuyo caso generan todo un plano (el plano que los contiene, que es de dimensi\u00f3n dos). Si dos vectores no tienen distinta direcci\u00f3n ser\u00e1n proporcionales (uno se puede poner como el otro multiplicado por un n\u00famero) y no son linealmente independientes. Tres vectores son linealmente independientes si no est\u00e1n situados en un mismo plano (no coplanarios) y generan todo el espacio, que es de dimens\u00f3n tres.<\/p>\n\n\n\n

\u00bfQu\u00e9 queremos decir cuando hablamos de que dos vectores linealmente independientes generan el plano que los contiene? Pues que, combinando adecuadamente los dos vectores, podemos llegar a cualquier otro vector del plano.<\/p>\n\n\n\n

Veamos un ejemplo. Para ello volvamos a la dimensi\u00f3n dos. Consideremos los vectores \\(\\left( {1,3} \\right)\\) y \\(\\left( {-2,1} \\right)\\), que tienen distinta direcci\u00f3n. Por tanto, seg\u00fan hemos definido anteriormente, son linealmente independientes, y generan todo el plano de dimensi\u00f3n dos. Esto quiere decir que cualquier otro vector se puede poner como combinaci\u00f3n de ellos. Pensemos, por ejemplo en el vector \\(\\left( {3,-5} \\right)\\). \u00bfPodremos llegar a \u00e9l usando los vectores \\(\\left( {1,3} \\right)\\) y \\(\\left( {-2,1} \\right)\\)? Es decir, \u00bfexistir\u00e1n n\u00fameros reales \\(x\\), \\(y\\) tales que \\(x\\left( {1,3} \\right) + y\\left( {-2,1} \\right) = \\left( {3,-5} \\right)\\)? Seguro que s\u00ed. Veamos:<\/p>\n\n\n\n

$$x\\left( {1,3} \\right) + y\\left( {-2,1} \\right) = \\left( {3,-5} \\right) \\Leftrightarrow \\left( {x,3x} \\right) + \\left( {-2y,y} \\right) = \\left( {3,-5} \\right) \\Leftrightarrow$$<\/p>\n\n\n\n

$$\\Leftrightarrow\\left( {x-2y,3x + y} \\right) = \\left( {3,-5} \\right) \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}x-2y = 3\\\\3x + y =-5\\end{array} \\right.$$<\/p>\n\n\n\n

Resolviendo el sistema anterior se obtiene \\(x=-1\\), \\(y=-2\\). Esto quiere decir que si el vector \\(\\left( {1,3} \\right)\\) lo multiplicamos por \\(-1\\) (o sea, le cambiamos el sentido), el vector \\(\\left( {-2,1} \\right)\\) lo multiplicamos por \\(-2\\) (o sea, lo duplicamos en longitud y le cambiamos el sentido) y, finalmente, sumamos ambos resultados, obtenemos como resultado el vector \\(\\left( {3,-5} \\right)\\). Esto, en matem\u00e1ticas, se resume diciendo que el vector \\(\\left( {3,-5} \\right)\\) se puede poner como combinaci\u00f3n lineal<\/strong> de los vectores \\(\\left( {1,3} \\right)\\) y \\(\\left( {-2,1} \\right)\\):<\/p>\n\n\n\n

$$\\left( {3,-5} \\right) =-1\\left( {1,3} \\right) + \\left( {-2} \\right)\\left( {-2,1} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

Podemos ver el resultado en la figura siguiente:<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Si en el sistema<\/p>\n\n\n\n

$$\\left\\{ \\begin{array}{l}Ax + By + C = 0\\\\A’x + B\\,’y + C’ = 0\\end{array} \\right.$$<\/p>\n\n\n\n

escribimos los t\u00e9rminos independientes en el segundo miembro, lo podemos reescribir as\u00ed:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left\\{ \\begin{array}{l}{a_{11}}x + {a_{12}}y = {b_1}\\\\{a_{21}}x + {a_{22}}y = {b_2}\\end{array} \\right.$$<\/p>\n\n\n\n

Una vez escrito as\u00ed vamos incluso a disponer de una forma m\u00e1s c\u00f3moda el sistema.<\/p>\n\n\n\n

Llamaremos, respectivamente<\/p>\n\n\n\n

$$A = \\left( {\\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}\\end{array}} \\right)\\quad;\\quad A|b = \\left( {\\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{b_1}}\\\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{b_2}}\\end{array}} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

matriz de los coeficientes<\/strong> y matriz ampliada<\/strong> del sistema. No descubrimos nada nuevo si pensamos en una matriz como una disposici\u00f3n de elementos en filas y en columnas. Obs\u00e9rvese que al escribir la matriz ampliada \\(A|b\\) tenemos completamente definido el sistema sin necesidad de escribir las inc\u00f3gnitas. Ahora, la posici\u00f3n relativa de las dos rectas depende del car\u00e1cter de la matriz de los coeficientes \\(A\\) y del de la matriz ampliada \\(A|b\\), en el siguiente sentido:<\/p>\n\n\n\n