{"id":3581,"date":"2025-03-11T18:40:27","date_gmt":"2025-03-11T17:40:27","guid":{"rendered":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=3581"},"modified":"2025-03-11T18:40:28","modified_gmt":"2025-03-11T17:40:28","slug":"la-ecuacion-lineal-de-primer-grado-con-tres-incognitas-el-plano-en-el-espacio-afin-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=3581","title":{"rendered":"La ecuaci\u00f3n lineal de primer grado con tres inc\u00f3gnitas. El plano en el espacio af\u00edn"},"content":{"rendered":"\n

Mejor que de nuestro juicio, debemos fiarnos del c\u00e1lculo algebraico<\/em><\/p>\n\n\n\n

Leonhard Euler<\/a><\/em><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

En un art\u00edculo anterior hab\u00edamos hablado sobre la ecuaci\u00f3n lineal de primer grado con dos inc\u00f3gnitas y sobre la recta en el plano af\u00edn<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Esas ideas se pueden extender al espacio en tres dimensiones. As\u00ed que vamos all\u00e1.<\/p>\n\n\n\n

Ya sabemos que una ecuaci\u00f3n lineal es una ecuaci\u00f3n polin\u00f3mica de grado uno con una o varias inc\u00f3gnitas.<\/p>\n\n\n\n

Si la ecuaci\u00f3n tiene tres inc\u00f3gnitas la ecuaci\u00f3n adopta la forma<\/p>\n\n\n\n

$$ax+by+cz+d=0$$<\/p>\n\n\n\n

donde \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\) y \\(d\\) son n\u00fameros reales, y las inc\u00f3gnitas son \\(x\\), \\(y\\), \\(z\\). Llamando, por ejemplo, \\(x=\\lambda\\), \\(y=\\mu\\), podemos despejar la inc\u00f3gnita \\(z\\):<\/p>\n\n\n\n

$$ax + by + cz + d = 0 \\Rightarrow cz =-a\\lambda-b\\mu-d\\Rightarrow z =-\\frac{a}{c}\\lambda-\\frac{b}{c}\\mu-\\frac{d}{c}$$<\/p>\n\n\n\n

El hecho de llamar \\(\\lambda\\) a la inc\u00f3gnita \\(x\\) y \\(\\mu\\) a la inc\u00f3gnita \\(y\\), viene a decir que las inc\u00f3gnitas \\(x\\) e \\(y\\) pueden tomar cualquier valor real, a los que llamaremos par\u00e1metros. Por tanto, la inc\u00f3gnita \\(z\\) depende del valor que le demos a los par\u00e1metros \\(\\lambda\\) y \\(\\mu\\).<\/p>\n\n\n\n

Podemos escribir las soluciones en forma de terna ordenada, de la siguiente manera:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left( {x,y,z} \\right) = \\left( {\\lambda\\, ,\\mu\\, ,-\\frac{a}{c}\\lambda-\\frac{b}{c}\\mu-\\frac{d}{c}} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

Por ejemplo, sea la ecuaci\u00f3n lineal de primer grado con tres inc\u00f3gnitas \\(x-2y+3z-5=0\\). En este caso \\(a=1\\), \\(b=-2\\), \\(c=3\\) y \\(d=-5\\). Por tanto, las soluciones son de la forma<\/p>\n\n\n\n

$$\\left( {x,y,z} \\right) = \\left( {\\lambda\\, ,\\mu\\, ,-\\frac{1}{3}\\lambda-\\frac{{-2}}{3}\\mu-\\frac{{-5}}{3}} \\right) = \\left( {\\lambda\\, ,\\mu\\, ,-\\frac{1}{3}\\lambda + \\frac{2}{3}\\mu + \\frac{5}{3}} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

Ahora, si damos valores a \\(\\lambda\\) y a \\(\\mu\\) podemos ir obteniendo los valores de \\(z\\). Por ejemplo, si \\(\\lambda=5\\) y \\(\\mu=0\\), entonces<\/p>\n\n\n\n

$$z = -\\frac{1}{3}\\lambda + \\frac{2}{3}\\mu + \\frac{5}{3} = -\\frac{1}{3} \\cdot 5 + \\frac{2}{3} \\cdot 0 + \\frac{5}{3} = -\\frac{5}{3} + \\frac{5}{3} = 0$$<\/p>\n\n\n\n

Procediendo de manera similar podemos obtener las ternas de soluciones siguientes:<\/p>\n\n\n\n

$$\\lambda=0\\ ,\\ \\mu=0\\Rightarrow \\left( {x,y,z} \\right) = \\left( {0,0,\\frac{5}{3}} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

$$\\lambda=0\\ ,\\ \\mu=-\\frac{5}{2}\\Rightarrow \\left( {x,y,z} \\right) = \\left( {0,-\\frac{5}{2},0} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

$$\\lambda=2\\ ,\\ \\mu=2\\Rightarrow \\left( {x,y,z} \\right) = \\left( {2,2,\\frac{7}{3}} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

$$\\lambda=-3\\ ,\\ \\mu=-1\\Rightarrow \\left( {x,y,z} \\right) = \\left( {-3,-1,-2} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

Podemos representar incluso los valores anteriores usando unos ejes de coordenadas, es decir, fijando un sistema de referencia af\u00edn tridimensional (el espacio af\u00edn). Este sistema es el habitual, es decir, \\(R = \\left\\{ {O,\\,\\,\\left\\{ {{\\rm{i}},{\\rm{j}},{\\rm{k}}} \\right\\}} \\right\\}\\), donde \\({\\rm{i}} = \\left( {1,0,0} \\right)\\), \\({\\rm{j}} = \\left( {0,1,0} \\right)\\), \\({\\rm{k}} = \\left( {0,0,1} \\right)\\) (ya se habl\u00f3 sobre este sistema de referencia en un art\u00edculo anterior, dedicado a los sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos inc\u00f3gnitas). Pues bien, todas las ternas que son soluciones de la ecuaci\u00f3n \\(x-2y+3z-5=0\\) est\u00e1n situadas en un mismo plano \\(\\pi\\), con lo que llamaremos<\/p>\n\n\n\n

$$\\pi\\equiv x-2y+3z-5=0$$<\/p>\n\n\n\n

Lo podemos apreciar en la figura siguiente, en la que incluso se observa el punto del plano \\(\\left( { – 3, – 1,2} \\right)\\), que tambi\u00e9n representa al vector de las mismas coordenadas.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Las soluciones de una ecuaci\u00f3n lineal de primer grado con tres inc\u00f3gnitas, \\(ax + by + cz + d = 0\\), tambi\u00e9n las podemos escribir as\u00ed:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left( {x,y,z} \\right) = \\left( {\\lambda\\, ,\\mu\\, , -\\frac{a}{c}\\lambda-\\frac{b}{c}\\mu-\\frac{d}{c}} \\right) = \\left( {\\lambda ,0,-\\frac{a}{c}\\lambda } \\right) + \\left( {0,\\mu ,-\\frac{b}{c}\\mu } \\right) + \\left( {0,0,-\\frac{d}{c}} \\right) \\Rightarrow$$<\/p>\n\n\n\n

$$\\Rightarrow \\left( {x,y,z} \\right) = \\lambda \\left( {1,0,-\\frac{a}{c}} \\right) + \\mu \\left( {0,1,-\\frac{b}{c}} \\right) + \\left( {0,0,-\\frac{d}{c}} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

Siguiendo con el ejemplo anterior podemos escribir las soluciones de la ecuaci\u00f3n $x-2y+3z-5=0$ del siguiente modo:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left( {x,y,z} \\right) = \\lambda \\left( {1,0,-\\frac{1}{3}} \\right) + \\mu \\left( {0,1,\\frac{2}{3}} \\right) + \\left( {0,0,\\frac{5}{3}} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

Geom\u00e9tricamente, la expresi\u00f3n anterior indica que el plano \\(\\pi\\equiv x-2y+3z-5=0\\) es el plano paralelo al plano que contiene a los vectores \\(\\left( {1,0,-\\dfrac{1}{3}} \\right)\\), \\(\\left( {0,1,\\dfrac{2}{3}} \\right)\\) y que pasa por el punto \\(\\left( {0,0,\\dfrac{5}{3}} \\right)\\). Dicho de otro modo: todos los puntos de este plano son los extremos de los vectores que se obtienen al sumar cualquier vector proporcional al vector \\(\\left( {1,0,-\\dfrac{1}{3}} \\right)\\) con cualquier vector proporcional al vector \\(\\left( {0,1,\\dfrac{2}{3}} \\right)\\), y con el vector \\(\\left( {0,0,\\dfrac{5}{3}} \\right)\\).<\/p>\n\n\n\n

De hecho, si tomamos \\(\\lambda=1\\) y \\(\\mu=1\\), tenemos que un punto del plano es<\/p>\n\n\n\n

$$\\left( {x,y,z} \\right) = 1\\left( {1,0,-\\frac{1}{3}} \\right) + 1\\left( {0,1,\\frac{2}{3}} \\right) + \\left( {0,0,\\frac{5}{3}} \\right) = \\left( {1,1,2} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

No es f\u00e1cil imaginar esta situaci\u00f3n en el espacio, pero con ayuda de alguna aplicaci\u00f3n que represente figuras en tres dimensiones podemos hacernos una idea. En este caso, como en la imagen anterior, hemos utilizado Geogebra<\/a>. <\/p>\n\n\n\n

En la siguiente figura se observa como nuestro plano \\(\\pi \\equiv x – 2y + 3z – 5 = 0\\), es paralelo al plano que contiene a \\(\\left( {1,0, – \\dfrac{1}{3}} \\right)\\) y a \\(\\left( {0,1,\\dfrac{2}{3}} \\right)\\) y adem\u00e1s pasa por el punto \\(\\left( {0,0,\\dfrac{5}{3}} \\right)\\). <\/p>\n\n\n\n

Se puede apreciar con claridad que el punto \\(\\left( {1,1,2} \\right)\\), generado por las soluciones correspondientes a \\(\\lambda=1\\) y \\(\\mu=1\\), pertenece al plano \\(\\pi\\).<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Analizando lo anterior llegamos a una conclusi\u00f3n: un plano viene completamente determinado por dos vectores con distinta direcci\u00f3n (linealmente independientes) y un punto. O lo que es lo mismo, existe un \u00fanico plano que pasa por un punto dado y en dos direcciones determinadas. A los vectores que determinan el plano se le llaman vectores de direcci\u00f3n o vectores directores del plano.<\/p>\n\n\n\n

Generalicemos esta situaci\u00f3n desde el punto de vista vectorial. Para ello llamaremos \\(O\\) al origen de coordenadas, \\(A\\) a un punto cualquiera del espacio, \\(\\overrightarrow {OA} \\) al vector de posici\u00f3n con origen en \\(O\\) y extremo en \\(A\\), y \\(\\vec u\\) y \\(\\vec v\\) a dos vectores con distinta direcci\u00f3n. La ecuaci\u00f3n del plano que pasa por el punto \\(A\\) con la direcci\u00f3n de los vectores \\(\\vec u\\) y \\(\\vec v\\) viene dada por<\/p>\n\n\n\n

$$\\overrightarrow {OX} = \\overrightarrow {OA} \\, + \\lambda \\vec u + \\mu \\vec v\\,,\\,\\,\\lambda ,\\mu \\in \\mathbb{R}$$<\/p>\n\n\n\n

donde \\(\\overrightarrow {OX} \\) es el vector de posici\u00f3n con origen en \\(O\\) generado al dar valores a los par\u00e1metros \\(\\lambda\\) y \\(\\mu\\).<\/p>\n\n\n\n

Hemos de insistir en que las coordenadas de los vectores est\u00e1n escritas en base al sistema de referencia \\(R = \\left\\{ {O,\\,\\,\\left\\{ {{\\rm{i}},{\\rm{j}},{\\rm{k}}} \\right\\}} \\right\\}\\) del que hemos hablado anteriormente. Es decir, hemos instalado en el espacio unos ejes de coordenadas: el eje \\(X\\) para la anchura, el eje \\(Y\\) para la profundidad, y el eje \\(Z\\) para la altura. As\u00ed, cuando hablamos de tomar el vector \\(\\vec e = \\left( {1,1,2} \\right)\\) , y lo visualizamos en el espacio como un segmento orientado desde el origen de coordenadas \\(O = \\left( {0,0,0} \\right)\\) hasta el extremo en el punto de coordenadas \\(\\left( {1,1,2} \\right)\\), lo que estamos haciendo realmente es la siguiente operaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left( {1,1,2} \\right) = 1\\left( {1,0,0} \\right) + 1\\left( {0,1,0} \\right) + 2\\left( {0,0,1} \\right) = 1 \\cdot {\\rm{i}} + 1 \\cdot {\\rm{j}} + 2 \\cdot {\\rm{k}}$$<\/p>\n\n\n\n

O lo que es lo mismo, el vector \\(\\vec e = \\left( {1,1,2} \\right)\\) es aquel que tiene una unidad de anchura, otra de profundad y dos unidades de altura.<\/p>\n\n\n\n

Los vectores \\({\\rm{i}} = \\left( {1,0,0} \\right)\\), \\({\\rm{j}} = \\left( {0,1,0} \\right)\\), \\({\\rm{k}} = \\left( {0,0,1} \\right)\\) situados sobre el eje \\(X\\), sobre el eje \\(Y\\) y sobre el eje \\(Z\\), tienen m\u00f3dulo \\(1\\) y son perpendiculares. Se dice que los tres vectores son ortonormales o que forman una base ortonormal del espacio. Adem\u00e1s cualquier vector \\(\\left( {a,b,c} \\right)\\) lo podemos escribir as\u00ed:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left( {a,b,c} \\right) = a\\left( {1,0,0} \\right) + b\\left( {0,1,0} \\right) + c\\left( {0,0,1} \\right) = a \\cdot {\\rm{i}} + b \\cdot {\\rm{j}} + c \\cdot {\\rm{k}}$$<\/p>\n\n\n\n

La igualdad anterior expresa que todo vector del espacio, o lo que es lo mismo, todo el espacio, se puede generar a partir de los vectores \\({\\rm{i}} = \\left( {1,0,0} \\right)\\), \\({\\rm{j}} = \\left( {0,1,0} \\right)\\), \\({\\rm{k}} = \\left( {0,0,1} \\right)\\). Se dice que todo vector del espacio es una combinaci\u00f3n lineal de \\({\\rm{i}} = \\left( {1,0,0} \\right)\\), \\({\\rm{j}} = \\left( {0,1,0} \\right)\\), \\({\\rm{k}} = \\left( {0,0,1} \\right)\\). Estos vectores, junto con el origen de coordenadas \\(O\\) forman el sistema de referencia ortonormal \\(R = \\left\\{ {O,\\,\\,\\left\\{ {{\\rm{i}},{\\rm{j}},{\\rm{k}}} \\right\\}} \\right\\}\\).<\/p>\n\n\n\n

La geometr\u00eda en el espacio af\u00edn empieza de este modo. Se considera un sistema de referencia af\u00edn ortonormal \\(R = \\left\\{ {O,\\,\\,\\left\\{ {{\\rm{i}},{\\rm{j}},{\\rm{k}}} \\right\\}} \\right\\}\\). Se sabe que todo vector que se apoye en \\(O\\) se puede poner como combinaci\u00f3n lineal de \\({\\rm{i}}\\), de \\({\\rm{j}}\\) y de \\({\\rm{k}}\\):<\/p>\n\n\n\n

$$X = \\overrightarrow {OX} = {x_1}{\\rm{i}} + {x_2}{\\rm{j}} + {x_3}{\\rm{k}} = \\left( {{x_1},{x_2},{x_3}} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

Por tanto, un vector cualquiera del espacio lo podemos \u00abatrapar\u00bb en nuestro sistema de referencia. Todo vector \\(\\vec e\\) del espacio tiene un origen \\(A\\left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \\right)\\) y un extremo \\(B\\left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \\right)\\), y por tanto \\(\\vec e = \\overrightarrow {AB}\\). Adem\u00e1s:<\/p>\n\n\n\n

$$\\overrightarrow {OB} = \\overrightarrow {OA} + \\overrightarrow {AB} \\Rightarrow \\overrightarrow {AB} = \\overrightarrow {OB}-\\overrightarrow {OA} \\Rightarrow$$<\/p>\n\n\n\n

$$\\Rightarrow \\overrightarrow {AB} = \\left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \\right)-\\left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \\right) \\Rightarrow \\overrightarrow {AB} = \\left( {{b_1}-{a_1},{b_2}-{a_2},{b_3}-{a_3}} \\right)$$<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Por ejemplo, el vector \\(\\vec e\\) que une el punto \\(P\\left( {3,-1,2} \\right)\\) con el punto \\(Q\\left( {2,-\\,3,-1} \\right)\\) es<\/p>\n\n\n\n

$$\\vec e = \\overrightarrow {PQ} = \\left( {2-3,-3-\\left( {-1} \\right),-1-2} \\right) = \\left( {-1,-2,-3} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

Nuestro vector \\(\\vec e\\) acaba de ser escrito en base a nuestro sistema de referencia. Hay infinitos vectores en el espacio con el mismo m\u00f3dulo, direcci\u00f3n y sentido, pero s\u00f3lo uno que se apoya en el origen \\(O\\) de nuestro sistema de referencia. Al conjunto de todos los vectores con el mismo m\u00f3dulo, direcci\u00f3n y sentido se le llama vector libre del espacio.<\/p>\n\n\n\n

Con las consideraciones anteriores la ecuaci\u00f3n vectorial del plano que pasa por el punto \\(A\\) con la direcci\u00f3n de los vectores \\(\\vec u\\) y \\(\\vec v\\), \\(\\overrightarrow {OX} = \\overrightarrow {OA} \\, + \\lambda \\vec u + \\mu \\vec v\\,,\\,\\,\\lambda ,\\,\\,\\mu \\in \\mathbb{R}\\), adquiere todo su sentido.<\/p>\n\n\n\n

Si la ecuaci\u00f3n vectorial la expresamos en coordenadas tenemos:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left( {x,y,z} \\right) = \\left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \\right) + \\lambda \\left( {{u_1},{u_2},{u_3}} \\right) + \\mu \\left( {{v_1},{v_2},{v_3}} \\right) \\Rightarrow$$<\/p>\n\n\n\n

$$\\Rightarrow \\left( {x,y,z} \\right) = \\left( {{a_1} + \\lambda {u_1} + \\mu {v_1},{a_2} + \\lambda {u_2} + \\mu {v_2},{a_3} + \\lambda {u_3} + \\mu {v_3}} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

Igualando coordenadas:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left\\{ \\begin{array}{l} x = {a_1} + \\lambda {u_1} + \\mu {v_1}\\\\ y = {a_2} + \\lambda {u_2} + \\mu {v_2}\\\\ z = {a_3} + \\lambda {u_3} + \\mu {v_3} \\end{array} \\right.$$<\/p>\n\n\n\n

Las ecuaciones anteriores reciben el nombre de ecuaciones param\u00e9tricas del plano. Estas ecuaciones las podemos ver como un sistema de tres ecuaciones con dos inc\u00f3gnitas: \\(\\lambda\\) y \\(\\mu\\).<\/p>\n\n\n\n

$$\\left\\{ \\begin{array}{l} \\lambda {u_1} + \\mu {v_1} = x-{a_1}\\\\ \\lambda {u_2} + \\mu {v_2} = y-{a_2}\\\\ \\lambda {u_3} + \\mu {v_3} = z-{a_3} \\end{array} \\right.$$<\/p>\n\n\n\n

Si de este sistema eliminamos los par\u00e1metros \\(\\lambda\\) y \\(\\mu\\) obtenemos la ecuaci\u00f3n general o impl\u00edcita del plano, que ser\u00e1 una ecuaci\u00f3n lineal de primer grado con tres inc\u00f3gnitas:<\/p>\n\n\n\n

$$Ax+By+Cz+D=0$$<\/p>\n\n\n\n

Veamos con un ejemplo c\u00f3mo eliminar los par\u00e1metros. Supongamos que queremos hallar la ecuaci\u00f3n general del plano que pasa por el punto \\(A\\left( {2,3,5} \\right)\\) y es paralelo a los vectores \\(\\vec u = \\left( { – 1, – 2, – 3} \\right)\\), \\(\\vec v = \\left( {1,3,5} \\right)\\). Sus ecuaciones param\u00e9tricas ser\u00e1n:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left\\{ \\begin{array}{l} x = 2-\\lambda+\\mu \\\\ y = 3-2\\lambda+3\\mu \\\\ z = 5-3\\lambda + 5\\mu \\end{array} \\right.$$<\/p>\n\n\n\n

Y de aqu\u00ed:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left\\{ \\begin{array}{l}-\\lambda+\\mu = x-2\\\\ -2\\lambda+3\\mu = y-3\\\\ -3\\lambda + 5\\mu = z-5 \\end{array} \\right.$$<\/p>\n\n\n\n

Consideremos que las inc\u00f3gnitas son \\(\\lambda\\) y \\(\\mu\\) y apliquemos el m\u00e9todo de Gauss para resolver el sistema:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left( {\\begin{array}{*{20}{c}} {-1}&1&{x-2}\\\\{-2}&3&{y-3}\\\\{-3}&5&{z-5}\\end{array}} \\right)\\longrightarrow\\left( {\\begin{array}{*{20}{c}}{-1}&1&{x-2}\\\\ 0&1&{y-2x+1}\\\\0&2&{z-3x + 1}\\end{array}} \\right)\\longrightarrow\\left( {\\begin{array}{*{20}{c}}{-1}&1&{x-2}\\\\0&1&{y-2x + 1}\\\\0&0&{x-2y + z-1}\\end{array}} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

De lo anterior se deduce, para que el sistema tenga soluciones (precisamente las soluciones son todos los puntos del plano), que \\(x-2y + z-1 = 0\\), justamente la ecuaci\u00f3n general o impl\u00edcita del plano.<\/p>\n\n\n\n

Sin hacer el \u00faltimo paso en el m\u00e9todo de Gauss tambi\u00e9n se obtiene lo mismo. Las dos \u00faltimas ecuaciones asociadas son<\/p>\n\n\n\n

$$\\left\\{ \\begin{array}{l}\\mu = y-2x + 1\\\\2\\mu = z-3x + 1\\end{array} \\right.$$<\/p>\n\n\n\n

y de aqu\u00ed se obtiene, por igualaci\u00f3n, que<\/p>\n\n\n\n

$$y-2x + 1 = \\frac{{z-3x + 1}}{2} \\Rightarrow 2y-4x+2=z-3x+1 \\Rightarrow x-2y+z-1=0$$<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Puedes ver y descargar el art\u00edculo en formato pdf\u00a0aqu\u00ed<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Mejor que de nuestro juicio, debemos fiarnos del c\u00e1lculo algebraico Leonhard Euler En un art\u00edculo anterior hab\u00edamos hablado sobre la ecuaci\u00f3n lineal de primer grado con dos inc\u00f3gnitas y sobre la recta en el plano af\u00edn. Esas ideas se pueden extender al espacio en tres dimensiones. As\u00ed que vamos all\u00e1. Ya sabemos que una ecuaci\u00f3n […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":3623,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-3581","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-uncategorized","post-with-thumbnail","post-with-thumbnail-large"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3581","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=3581"}],"version-history":[{"count":43,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3581\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3704,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3581\/revisions\/3704"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/media\/3623"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=3581"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=3581"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=3581"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}