{"id":3514,"date":"2025-03-10T21:22:24","date_gmt":"2025-03-10T20:22:24","guid":{"rendered":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=3514"},"modified":"2025-03-10T21:26:08","modified_gmt":"2025-03-10T20:26:08","slug":"la-ecuacion-lineal-de-primer-grado-con-tres-incognitas-el-plano-en-el-espacio-afin","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=3514","title":{"rendered":"La ecuaci\u00f3n lineal de primer grado con dos inc\u00f3gnitas. La recta en el plano af\u00edn"},"content":{"rendered":"\n

Nada hay tan pr\u00e1ctico como una buena teor\u00eda<\/em><\/p>\n\n\n\n

Kurt Lewin<\/a><\/em><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Una ecuaci\u00f3n lineal<\/strong> es una ecuaci\u00f3n polin\u00f3mica de grado uno con una o varias inc\u00f3gnitas. Si la ecuaci\u00f3n solamente tiene una inc\u00f3gnita la ecuaci\u00f3n es de la forma<\/p>\n\n\n\n

$$ax+b=0$$<\/p>\n\n\n\n

donde \\(a\\) y \\(b\\) son n\u00fameros reales con \\(a\\neq0\\), y \\(x\\) es la inc\u00f3gnita.<\/p>\n\n\n\n

Como \\(a\\neq0\\), \\(a\\) tiene inverso, con lo que podemos despejar la inc\u00f3gnita con facilidad:<\/p>\n\n\n\n

$$ax + b = 0\\, \\Rightarrow {a^{ – 1}} \\cdot \\left( {ax + b} \\right) = {a^{ – 1}} \\cdot 0 \\Rightarrow {a^{ – 1}}ax + {a^{ – 1}}b = 0 \\Rightarrow$$<\/p>\n\n\n\n

$$\\Rightarrow x + {a^{ – 1}}b = 0 \\Rightarrow x = – {a^{ – 1}}b$$<\/p>\n\n\n\n

As\u00ed por ejemplo, la soluci\u00f3n de \\(3x+4=0\\) es \\(x = – {3^{ – 1}} \\cdot 4 = – \\dfrac{1}{3} \\cdot 4 = – \\dfrac{4}{3}\\).<\/p>\n\n\n\n

Si la ecuaci\u00f3n tiene dos inc\u00f3gnitas la ecuaci\u00f3n adopta la forma<\/p>\n\n\n\n

$$ax+by+c=0$$<\/p>\n\n\n\n

donde \\(a\\), \\(b\\) y \\(c\\) son n\u00fameros reales con \\(a\\neq0\\) y \\(b\\neq0\\), y las inc\u00f3gnitas son \\(x\\) e \\(y\\). Llamando por ejemplo \\(x=\\lambda\\), podemos despejar la inc\u00f3gnita \\(y\\).<\/p>\n\n\n\n

$$ax + by + c = 0 \\Rightarrow by = -a\\lambda-c \\Rightarrow y=-\\frac{a}{b}\\lambda-\\frac{c}{b}$$<\/p>\n\n\n\n

El hecho de llamar \\(\\lambda\\) a la inc\u00f3gnita \\(x\\) viene a decir que la inc\u00f3gnita \\(x\\) puede tomar cualquier valor real, al que llamaremos par\u00e1metro<\/strong>. Por tanto, la inc\u00f3gnita \\(y\\) depende del valor que le demos al par\u00e1metro \\(\\lambda\\).<\/p>\n\n\n\n

Podemos escribir las soluciones para \\(x\\) y para \\(y\\) en forma de par ordenado, de la siguiente manera:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left( {x,y} \\right) = \\left( {\\lambda,\\, -\\frac{a}{b}\\lambda-\\frac{c}{b}} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

Veamos un ejemplo. Sea la ecuaci\u00f3n lineal de primer grado con dos inc\u00f3gnitas dada por \\(2x-y+3=0\\). En este caso \\(a=2\\), \\(b=-1\\) y \\(c=3\\). Por tanto las soluciones son de la forma:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left( {x,y} \\right) = \\left( {\\lambda,\\,-\\frac{2}{{ – 1}}\\lambda-\\frac{3}{{ – 1}}} \\right) = \\left( {\\lambda,\\,2\\lambda + 3} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

Ahora, si damos valores a \\(\\lambda\\) podemos hacer una tabla de valores:<\/p>\n\n\n\n

$$\\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\\hline x & \\lambda & -5 & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\\\ \\hline y & 2\\lambda+3 & -7 & -5 & -3 & -1 & 1 & 3 & 5 & 7\\\\ \\hline\\end{array}$$<\/p>\n\n\n\n

Incluso podemos representar los valores anteriores usando unos ejes de coordenadas.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

No es dif\u00edcil darse cuenta de que podemos colocar infinitos puntos y que todos ellos formar\u00e1n una recta. Por eso, a la expresi\u00f3n de una ecuaci\u00f3n lineal de primer grado con dos inc\u00f3gnitas, tambi\u00e9n se la conoce como ecuaci\u00f3n general de una recta<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Adem\u00e1s, ya sab\u00edamos que, si de la ecuaci\u00f3n \\(ax+by+c=0\\), despejamos la inc\u00f3gnita \\(y\\) tenemos otra ecuaci\u00f3n con la forma \\(y=mx+n\\), llamada ecuaci\u00f3n af\u00edn de la recta<\/strong>. En nuestro ejemplo la ecuaci\u00f3n af\u00edn de la recta es \\(y=2x+3\\). Y en esta ecuaci\u00f3n es donde podemos con facilidad realizar tambi\u00e9n la tabla de valores anterior con el objetivo de representar gr\u00e1ficamente la recta dada.<\/p>\n\n\n\n

Con algo de conocimiento de geometr\u00eda en el plano af\u00edn podemos hacer m\u00e1s cosas con la ecuaci\u00f3n lineal de primer grado con dos inc\u00f3gnitas. Ya hemos visto que las soluciones las podemos escribir en forma de par ordenado:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left( {x,y} \\right) = \\left( {\\lambda,\\, -\\frac{a}{b}\\lambda-\\frac{c}{b}} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

Recordemos que, dados dos pares ordenados \\(\\left( {a,b} \\right)\\), \\(\\left( {c,d} \\right)\\), y un n\u00famero real \\(\\lambda\\), la suma de pares ordenados y el producto de un n\u00famero real por un par ordenado, est\u00e1n definidos del siguiente modo:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left( {a,b} \\right) + \\left( {c,d} \\right) = \\left( {a + c,b + d} \\right)\\quad\\text{;}\\quad\\lambda \\left( {a,b} \\right) = \\left( {\\lambda a,\\lambda b} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

Si se establecen unos ejes cartesianos sobre un plano, un par ordenado \\(\\left( {a,b} \\right)\\) tiene una visualizaci\u00f3n gr\u00e1fica: un punto en el plano. O tambi\u00e9n: el par ordenado lo podemos ver como un vector con origen en el punto \\(\\left( {0,0} \\right)\\) (origen de coordenadas) y extremo el punto \\(\\left( {a,b} \\right)\\).<\/p>\n\n\n\n

Con las ideas anteriores, las soluciones de una ecuaci\u00f3n lineal de primer grado con dos inc\u00f3gnitas, \\(ax+by+c=0\\), las podemos escribir as\u00ed:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left( {x,y} \\right) = \\left( {\\lambda , -\\frac{a}{b}\\lambda-\\frac{c}{b}} \\right) = \\left( {\\lambda , -\\frac{a}{b}\\lambda } \\right) + \\left( {0, -\\frac{c}{b}} \\right) = \\lambda \\left( {1, -\\frac{a}{b}} \\right) + \\left( {0, -\\frac{c}{b}} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

Siguiendo con el ejemplo visto anteriormente podemos escribir las soluciones de la ecuaci\u00f3n \\(2x-y+3=0\\) del siguiente modo ($a=2$, $b=-1$, $c=-3$):<\/p>\n\n\n\n

$$\\left( {x,y} \\right) = \\lambda \\left( {1,2} \\right) + \\left( {0,3} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

La interpretaci\u00f3n geom\u00e9trica de la expresi\u00f3n anterior es la siguiente: la recta \\(2x-y+3=0\\) es la recta paralela al vector \\(\\left( {1,2} \\right)\\) que pasa por el punto \\(\\left( {0,3} \\right)\\). Dicho de otro modo: todos los puntos de esta recta son los extremos de los vectores que se obtienen al sumar cualquier vector proporcional al vector \\(\\left( {1,2} \\right)\\) con el vector \\(\\left( {0,3} \\right)\\).<\/p>\n\n\n\n

Por ejemplo, si \\(\\lambda=1\\), entonces \\(\\left( {x,y} \\right) = – 1\\left( {1,2} \\right) + \\left( {0,3} \\right) = \\left( { – 1, – 2} \\right) + \\left( {0,3} \\right) = \\left( { – 1,1} \\right)\\). V\u00e9ase la figura siguiente:<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Analizando todo lo anterior llegamos a una conclusi\u00f3n: una recta viene completamente determinada por un vector y un punto. O lo que es lo mismo, existe una \u00fanica recta que pasa por un punto dado y en una direcci\u00f3n determinada<\/em>. Al vector que determina la recta se le llama vector de direcci\u00f3n o vector director<\/strong> de la recta.<\/p>\n\n\n\n

Generalicemos esta situaci\u00f3n desde el punto de vista vectorial. Para ello llamaremos \\(O\\), al origen de coordenadas, \\(A\\) a un punto cualquiera del plano, \\(\\overrightarrow {OA}\\) al vector de posici\u00f3n<\/strong> con origen en \\(O\\) y extremo en \\(A\\) y \\(\\vec e\\) a un vector. La ecuaci\u00f3n de la recta que pasa por el punto \\(A\\) con la direcci\u00f3n del vector \\(\\vec e\\) viene dada por<\/p>\n\n\n\n

$$\\overrightarrow {OX} = \\overrightarrow {OA} \\, + \\lambda \\vec e\\,,\\,\\,\\lambda \\in \\mathbb{R}$$<\/p>\n\n\n\n

donde \\(\\overrightarrow {OX}\\) es el vector de posici\u00f3n con origen en \\(O\\) generado al dar un determinado valor al par\u00e1metro \\(\\lambda\\).<\/p>\n\n\n\n

Naturalmente, las coordenadas de los vectores est\u00e1n escritas en base a un sistema de referencia pues, en caso contrario, no podr\u00edamos trabajar con \u00e9stas. Habitualmente, y tal y como hemos hecho en el ejemplo anterior, esto es algo a lo que estamos acostumbrados cuando instalamos en el plano unos ejes cartesianos (el eje de abscisas y el eje de ordenadas). Pero es conveniente poner \u00e9nfasis en esto. Cuando hablamos de tomar, por ejemplo, el vector \\(\\vec e = \\left( { – 2,3} \\right)\\), y lo visualizamos en el plano como un segmento orientado desde el origen de coordenadas \\(O = \\left( {0,0} \\right)\\) hasta el extremo en el punto de coordenadas \\(\\left( { – 2,3} \\right)\\), lo que estamos haciendo realmente es la siguiente operaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left( { – 2,3} \\right) = – 2\\left( {1,0} \\right) + 3\\left( {0,1} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

Si ahora visualizamos los vectores \\(\\left( {1,0} \\right)\\) y \\(\\left( {0,1} \\right)\\) nos daremos cuenta r\u00e1pidamente de que el primero est\u00e1 sobre el eje \\(X\\), el segundo sobre el eje \\(Y\\) y ambos tienen longitud o m\u00f3dulo<\/strong> \\(1\\). Adem\u00e1s son claramente perpendiculares. En este caso se dice que la pareja de vectores son ortonormales<\/strong> o que forman una base ortonormal<\/strong> del plano.<\/p>\n\n\n\n

Pero es que cualquier vector \\(\\left( {a,b} \\right)\\) lo podemos escribir as\u00ed:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left( {a,b} \\right) = a\\left( {1,0} \\right) + b\\left( {0,1} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

La igualdad anterior expresa que todo vector del plano, o lo que es lo mismo, todo el plano, se puede generar a partir de los vectores \\(\\left( {1,0} \\right)\\) y \\(\\left( {0,1} \\right)\\). A veces se dice que todo vector del plano es una combinaci\u00f3n lineal<\/strong> de \\(\\left( {1,0} \\right)\\) y \\(\\left( {0,1} \\right)\\). Estos dos vectores, junto con el origen de coordenadas \\(O\\), forman lo que se conoce como sistema de referencia af\u00edn<\/strong>. Adem\u00e1s, si los dos vectores del sistema son ortonormales hablaremos de un sistema de referencia ortonormal<\/strong>. Suele nombrarse a los dos vectores del sistema as\u00ed: $\\textbf{i} = \\left( {1\\,\\,0} \\right)$, $\\textbf{j} = \\left( {0\\,\\,1} \\right)$.<\/p>\n\n\n\n

En realidad, la geometr\u00eda en el plano af\u00edn empieza por aqu\u00ed. Se considera un sistema de referencia af\u00edn ortonormal $R = \\left\\{ O,\\,\\left\\{ \\textbf{i},\\,\\textbf{j} \\right\\} \\right\\}$. Se sabe que todo vector que se apoye en \\(O\\) se puede poner como combinaci\u00f3n lineal de \\(\\textbf{i}\\) y de \\(\\textbf{j}\\): \\(X = \\overrightarrow {OX} = {x_1}\\textbf{i} + {x_2}\\textbf{j} = \\left( x_1,x_2 \\right)\\). Por tanto, un vector cualquiera del plano lo podemos \u00abatrapar\u00bb en nuestro sistema de referencia. \u00bfC\u00f3mo? Es sencillo. Todo vector \\(\\vec e\\) del plano tiene un origen \\(A\\left( {{a_1},{a_2}} \\right)\\) y un extremo \\(B\\left( {{b_1},{b_2}} \\right)\\) y, por tanto, \\(\\vec e = \\overrightarrow {AB} \\). Pero adem\u00e1s es que (ver figura de m\u00e1s abajo):<\/p>\n\n\n\n

$$\\overrightarrow {OB} = \\overrightarrow {OA} + \\overrightarrow {AB} \\Rightarrow \\overrightarrow {AB} = \\overrightarrow {OB}-\\overrightarrow {OA} \\Rightarrow$$<\/p>\n\n\n\n

$$\\Rightarrow \\overrightarrow {AB} = \\left( {{b_1},{b_2}} \\right)-\\left( {{a_1},{a_2}} \\right) \\Rightarrow \\overrightarrow {AB} = \\left( {{b_1}-{a_1},{b_2}-{a_2}} \\right)$$<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Por ejemplo, el vector \\(\\vec e\\) que une el punto \\(P\\left( { – 2\\,,\\,1} \\right)\\) con el punto \\(Q\\left( { 1\\,,\\,3} \\right)\\) es<\/p>\n\n\n\n

$$\\vec e = \\overrightarrow {PQ} = \\left( {1-\\left( {-2} \\right),3-1} \\right) = \\left( {3,2} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

Nuestro vector \\(\\vec e\\) acaba de ser escrito en base a nuestro sistema de referencia. Hay infinitos vectores en el plano con el mismo m\u00f3dulo, direcci\u00f3n y sentido, pero s\u00f3lo uno que se apoya en el origen \\(O\\) de nuestro sistema de referencia. Al conjunto de todos los vectores con el mismo m\u00f3dulo, direcci\u00f3n y sentido se le llama vector libre<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Con las consideraciones anteriores la ecuaci\u00f3n vectorial<\/strong> de la recta que pasa por el punto \\(A\\) con la direcci\u00f3n de un vector \\(\\vec e\\), \\(\\overrightarrow {OX} = \\overrightarrow {OA} \\, + \\lambda \\vec e\\,,\\,\\,\\lambda \\in\\mathbb{R} \\), adquiere todo su sentido.<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Si la ecuaci\u00f3n vectorial la expresamos en coordenadas tenemos:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left( {x,y} \\right) = \\left( {a,b} \\right) + \\lambda \\left( {{e_1},{e_2}} \\right) \\Rightarrow \\left( {x,y} \\right) = \\left( {a,b} \\right) + \\left( {\\lambda {e_1},\\lambda {e_2}} \\right) \\Rightarrow \\left( {x,y} \\right) = \\left( {a + \\lambda {e_1},b + \\lambda {e_2}} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

Igualando coordenadas:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left\\{ \\begin{array}{l} x = a + \\lambda {e_1}\\\\ y = b + \\lambda {e_2} \\end{array} \\right.$$<\/p>\n\n\n\n

Las ecuaciones anteriores reciben el nombre de ecuaciones param\u00e9tricas de la recta<\/strong>. De \u00e9stas, si despejamos el par\u00e1metro \\(\\lambda\\) en ambas e igualamos, obtenemos la ecuaci\u00f3n continua de la recta<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n

$$\\begin{cases} \\lambda = \\dfrac{x-a}{e_1} \\\\[0.2cm] \\lambda = \\dfrac{y-b}{e_2} \\end{cases} \\Rightarrow \\frac{x-a}{e_1} = \\frac{y-b}{e_2}$$<\/p>\n\n\n\n

Si ahora eliminamos denominadores y pasamos todo al primer miembro tenemos:<\/p>\n\n\n\n

$${e_2}x-{e_2}a = {e_1}y-{e_1}b \\Rightarrow {e_2}x-{e_1}y + {e_1}b-{e_2}a = 0$$<\/p>\n\n\n\n

Si llamamos \\(A = {e_2}\\), \\(B = -{e_1}\\) y \\(C = {e_1}b-{e_2}a\\) tenemos la ecuaci\u00f3n general o impl\u00edcita de la recta<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n

$$Ax+By+C=0$$<\/p>\n\n\n\n

Obs\u00e9rvese que un vector director de la recta es \\(\\left( {{e_1},{e_2}} \\right) = \\left( {-B,A} \\right)\\) y que haciendo \\(x=0\\) se obtiene \\(y=-\\dfrac{C}{B}\\) (conocida como ordenada en el origen<\/em>), con lo que un punto de la recta (el que corta al eje \\(Y\\)) es \\(\\left( {0,-\\dfrac{C}{B}} \\right)\\).<\/p>\n\n\n\n

Volviendo a nuestro primer ejemplo, en el que consider\u00e1bamos la recta \\(2x-y+3=0\\), tenemos que un vector director suyo es \\(\\left( {-B,A} \\right) = \\left( {1,2} \\right)\\) y que un punto suyo es \\(\\left( {0,-\\dfrac{C}{B}} \\right) = \\left( {0,3} \\right)\\). As\u00ed obtenemos la ecuaci\u00f3n vectorial \\(\\left( {x,y} \\right) = \\lambda \\left( {1,2} \\right) + \\left( {0,3} \\right)\\), ecuaci\u00f3n que ya hab\u00edamos deducido en su momento.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Puedes ver y descargar el art\u00edculo en formato pdf aqu\u00ed<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Nada hay tan pr\u00e1ctico como una buena teor\u00eda Kurt Lewin Una ecuaci\u00f3n lineal es una ecuaci\u00f3n polin\u00f3mica de grado uno con una o varias inc\u00f3gnitas. Si la ecuaci\u00f3n solamente tiene una inc\u00f3gnita la ecuaci\u00f3n es de la forma $$ax+b=0$$ donde \\(a\\) y \\(b\\) son n\u00fameros reales con \\(a\\neq0\\), y \\(x\\) es la inc\u00f3gnita. Como \\(a\\neq0\\), […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":3573,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":{"0":"post-3514","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","5":"has-post-thumbnail","6":"hentry","7":"category-uncategorized","9":"post-with-thumbnail","10":"post-with-thumbnail-large"},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3514","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=3514"}],"version-history":[{"count":57,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3514\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3577,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3514\/revisions\/3577"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/media\/3573"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=3514"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=3514"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=3514"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}