\\[\\frac{\\text{diferencia de distancias en el intervalo de tiempo}}{\\text{intervalo de tiempo}}=\\frac{f(t+h)-f(t)}{h}\\]\n<\/p>\n\n\n\n
Este cociente, llamado cociente incremental<\/em>, es un n\u00famero que se puede calcular siempre que \\(t\\) y \\(t+h\\) pertenezcan ambos al intervalo \\([0,9]\\). El n\u00famero \\(h\\) puede ser positivo o negativo, pero no cero. Se dejar\u00e1 fijo \\(t\\) y se estudiar\u00e1 lo que le ocurre al cociente incremental, cuando se dan a \\(h\\) valores cada vez menores en valor absoluto.<\/p>\n\n\n\n Por ejemplo, consid\u00e9rese el instante \\(t=2\\). La distancia recorrida despu\u00e9s de \\(2\\) segundos es:<\/p>\n\n\n\n $$f(2)=90-20=70$$<\/p>\n\n\n\n En el tiempo \\(t=2+h\\) la distancia recorrida es:<\/p>\n\n\n\n $$f(2+h)=45(2+h)-5(2+h)^2=70+25h-5h^2$$<\/p>\n\n\n\n Por tanto, la velocidad media en el intervalo entre \\(t=2\\) y \\(t=2+h\\) es<\/p>\n\n\n\n $$\\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\\frac{25h-5h^2}{h}=25-5h$$<\/p>\n\n\n\n Tomando valores de \\(h\\) cada vez m\u00e1s peque\u00f1os en valor absoluto, esta velocidad media se acerca m\u00e1s y m\u00e1s a \\(25\\). Por ejemplo, si \\(h=0,1\\) la velocidad media es \\(24,5\\); si \\(h=0,001\\), es \\(24,995\\); si \\(h=0,00001\\), se obtiene el valor \\(24,99995\\), y cuando \\(h=-0,00001\\) se obtiene \\(25,00005\\). Lo importante es que se puede obtener la velocidad media tan pr\u00f3xima a \\(25\\) como se desee, si m\u00e1s que tomar \\(|h|\\) suficientemente peque\u00f1o. Se describe este hecho diciendo que la velocidad media tiende al l\u00edmite<\/em> \\(25\\) cuando<\/em> \\(h\\) tiende a cero<\/em>. Parece natural llamar al valor de este l\u00edmite la velocidad instant\u00e1nea<\/em> en el instante \\(t=2\\).<\/p>\n\n\n\n Los mismos c\u00e1lculos se pueden efectuar para cualquier otro instante. La velocidad media en un intervalo arbitrario entre \\(t\\) y \\(t+h\\) est\u00e1 dado por el cociente:<\/p>\n\n\n\n $$\\frac{f(t+h)-f(t)}{h}=\\frac{(45(t+h)-5(t+h)^2)-(45t-5t^2)}{h}=45-10t-5h$$<\/p>\n\n\n\n Cuando \\(h\\) tiende a cero, la expresi\u00f3n de la derecha tiende al l\u00edmite \\(45-10t\\) que define la velocidad instant\u00e1nea<\/em> en el instante \\(t\\). Designando la velocidad instant\u00e1nea por \\(v(t)\\) se tiene<\/p>\n\n\n\n \\[v(t)=45-10t\\qquad(2)\\]<\/p>\n\n\n\n La f\u00f3rmula \\((1)\\) del espacio \\(f(t)\\), define una funci\u00f3n \\(f\\) que indica la altura a que se encuentra el proyectil en cada instante de su movimiento; \\(f\\) se denomina funci\u00f3n posici\u00f3n<\/em> o ley de espacios<\/em>. Su dominio es el intervalo cerrado \\([0,9]\\) y su gr\u00e1fica es la siguiente:<\/p>\n\n\n\n La f\u00f3rmula \\((2)\\) de la velocidad \\(v(t)\\) define una nueva funci\u00f3n \\(v\\) que indica la rapidez con que se mueve el proyectil en cada instante de su movimiento, se denomina funci\u00f3n velocidad y su gr\u00e1fica la tienes a continuaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n Obs\u00e9rvese que, al crecer \\(t\\) de \\(0\\) a \\(9\\), \\(v(t)\\) decrece constantemente de \\(v(0)=45\\) a \\(v(9)=-45\\). Para hallar el instante \\(t\\) en el cual \\(v(t)=0\\) se resuelve la ecuaci\u00f3n \\(45-10t=0\\) obteni\u00e9ndose \\(t=\\frac{9}{2}\\). Por tanto, en el punto central del movimiento la influencia de la gravedad reduce la velocidad a cero y el proyectil queda instant\u00e1neamente fijo. La altura en este instante es \\(f(\\frac{9}{2})=101,25\\). Si \\(t>\\frac{9}{2}\\), la velocidad es negativa y la altura decrece.<\/p>\n\n\n\nEl proceso por el cual se obtiene \\(v(t)\\) a partir del cociente incremental se denomina \u00abhallar el límite cuando \\(h\\) tiende a cero\u00bb, y se expresa simbólicamente como sigue:\n\n\n\n \\[v(t)=\\lim_{h\\rightarrow0}\\frac{f(t+h)-f(t)}{h}\\qquad(3)\\]<\/p>\n\n\n\nEsta expresión usada para definir la velocidad, en el ejemplo anterior, tiene un sentido más amplio y permite definir la velocidad en movimientos a lo largo de una línea recta, cuando se conozca la función de posición \\(f\\), y siempre que el cociente incremental tienda a un límite cuando \\(h\\) tiende a cero.\n\n\n\n $$\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$<\/p>\n\n\n\ndonde el número \\(h\\) puede ser positivo o negativo (pero no cero), y tal que \\(x+h\\) pertenezca también a \\((a,b)\\). El numerador de este cociente mide la variación de la función cuando \\(x\\) varía de \\(x\\) a \\(x+h\\). El cociente representa la variación media<\/em> de \\(f\\) en el intervalo que une \\(x\\) a \\(x+h\\).\n\n\n\nSeguidamente se hace tender \\(h\\) a cero y se estudia lo que le ocurre a ese cociente. Si tiende hacia un cierto valor como límite (y será el mismo, tanto si \\(h\\) tiende a cero con valores positivos como negativos), entonces ese límite se denomina derivada de \\(f\\) en \\(x\\) y se indica por el símbolo \\(f'(x)\\). Por tanto, la definición formal de \\(f'(x)\\) puede establecerse del siguiente modo.\n\n\n\n Definici\u00f3n de derivada.<\/strong><\/em><\/p>\n\n\n\nLa derivada \\(f'(x)\\) está definida por la igualdad\n\n\n\n $$f'(x)=\\lim_{h\\to0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\qquad(4)$$<\/p>\n\n\n\ncon tal que el límite exista. El número \\(f'(x)\\) también se denomina coeficiente de variación de<\/em> \\(f\\) en<\/em> \\(x\\).\n\n\n\nComparando la igualdad \\((4)\\) con la igualdad \\((3)\\) se ve que el concepto de velocidad instantánea es simplemente un ejemplo del concepto de derivada. La velocidad \\(v(t)\\) es igual a la derivada \\(f'(t)\\) cuando \\(f\\) es la ley de espacios; lo que frecuentemente se expresa diciendo que la velocidad es la relación entre la variación del espacio y la del tiempo. Ya hemos visto en el apartado anterior que la ley de espacios está dada por la ecuación \\(f(t)=45t-t^2\\), y su derivada \\(f’\\) es una nueva función (velocidad) dada por \\(f'(t)=45-10t\\).\n\n\n\n En general, el proceso de paso al límite por el que se obtiene \\(f'(x)\\) a partir de \\(f(x)\\), abre un camino para obtener una nueva función \\(f’\\) a partir de una función dada \\(f\\). Este proceso se denomina derivación<\/em>, y \\(f’\\) es la primera derivada<\/em> de \\(f\\). Si \\(f’\\) a su vez está definida en un intervalo abierto, se puede también calcular su primera derivada, indicada por \\(f’\\,’\\) y que es la segunda derivada<\/em> de \\(f\\). Análogamente, la derivada \\(n\\)-sima de \\(f\\), que se indica por \\(f^{(n)}\\), se define como la derivada primera de \\(f^{(n-1)}\\). Convendremos en que \\(f^{(0)}=f\\), esto es, la derivada de orden cero es la misma función.<\/p>\n\n\n\nEn el caso del movimiento rectilíneo, la primera derivada de la velocidad (segunda derivada del espacio) se denomina aceleración<\/em>. Por ejemplo, para calcular la aceleración en el ejemplo del apartado anterior, se puede utilizar la ecuación \\((2)\\) para formar el cociente de diferencias<\/p>\n\n\n\n $$\\frac{v(t+h)-v(t)}{h}=\\frac{(45-10(t+h))-(45-10t)}{h}=\\frac{-10h}{h}=-10$$<\/p>\n\n\n\nComo este cociente no varía al tender \\(h\\) a \\(0\\), se puede considerar que tiende<\/em> a \\(-10\\) (puesto que es \\(-10\\) cuando \\(h\\) está próximo a \\(0\\)). Se concluye pues que la aceleración en este problema es constante e igual a \\(-10\\), lo que indica que la velocidad decrece a una razón de \\(10\\) metros por segundo cada segundo. En \\(9\\) segundos el decrecimiento total de la velocidad es \\(9\\cdot10=90\\) metros por segundo, que está de acuerdo con el hecho de que durante los \\(9\\) segundos de movimiento la velocidad cambie de \\(v(0)=45\\) a \\(v(9)=-45\\).\n\n\n\n $$\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\\frac{c-c}{h}=0$$<\/p>\n\n\n\nPuesto que el cociente es \\(0\\) para todo \\(x\\), su límite cuando \\(h\\) tiende a cero, \\(f'(x)\\), es también \\(0\\) para todo \\(x\\). Dicho de otro modo, una función constante tiene derivada nula para todo \\(x\\).\n\n\n\n EJEMPLO 2<\/strong>. Derivada de la función lineal<\/em>. Sea \\(f\\) una función lineal, por ejemplo \\(f(x)=mx+n\\) para todo real \\(x\\). Si \\(h\\neq0\\), tenemos<\/p>\n\n\n\n $$\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\\frac{m(x+h)+b-(mx+b)}{h}=\\frac{mh}{h}=m$$<\/p>\n\n\n\nComo que el cociente de diferencias no cambia cuando \\(h\\) tiende a \\(0\\), resulta que \\(f'(x)=m\\), para cada \\(x\\). Así que, la derivada de una función lineal es una función constante.\n\n\n\n EJEMPLO 3<\/strong>. Derivada de una función potencial de exponente entero positivo<\/em>. Consideremos el caso \\(f(x)=x^n\\), siendo \\(n\\) un entero positivo. El cociente de diferencias es ahora<\/p>\n\n\n\n $$\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\\frac{(x+h)^n-x^n}{h}$$<\/p>\n\n\n\nEn álgebra elemental se tiene la igualdad (¡compruébese!)\n\n\n\n $$a^n-b^n=(a-b)\\left(b^{n-1}+ab^{n-2}+a^2b^{n-3}+\\ldots+a^{n-2}b+a^{n-1}\\right)$$<\/p>\n\n\n\n Es conveniente observar que el segundo paréntesis del segundo miembro tiene \\(n\\) sumandos. Si en la igualdad anterior se toma \\(a=x+h\\) y \\(b=x\\), la identidad se transforma en:<\/p>\n\n\n\n $$(x+h)^n-x^n=h\\left(x^{n-1}+(x+h)x^{n-2}+(x+h)^2x^{n-3}+\\ldots+(x+h)^{n-2}x+(x+h)^{n-1}\\right)$$<\/p>\n\n\n\n Si dividimos entre \\(h\\) los dos miembros de la igualdad tenemos:<\/p>\n\n\n\n $$\\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=x^{n-1}+(x+h)x^{n-2}+(x+h)^2x^{n-3}+\\ldots+(x+h)^{n-2}x+(x+h)^{n-1}$$<\/p>\n\n\n\n Insistimos en que en la suma del segundo miembro hay \\(n\\) términos. Cuando \\(h\\) tiende a \\(0\\) tenemos:<\/p>\n\n\n\n $$\\lim_{h\\rightarrow0}\\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=\\lim_{h\\rightarrow0}\\left(x^{n-1}+(x+h)x^{n-2}+(x+h)^2x^{n-3}+\\ldots+(x+h)^{n-2}x+(x+h)^{n-1}\\right)=$$<\/p>\n\n\n\n $$=x^{n-1}+x\\cdot x^{n-2}+x^2\\cdot x^{n-3}+\\ldots+x^{n-2}\\cdot x+x^{n-1}=x^{n-1}+x^{n-1}+x^{n-1}+\\ldots n\\text{ veces}\\ldots+x^{n-1}$$<\/p>\n\n\n\n Por tanto, la suma de los últimos \\(n\\) términos es \\(nx^{n-1}\\). En definitiva: \\(f'(x)=nx^{n-1}\\), para todo \\(x\\).<\/p>\n\n\n\n EJEMPLO 4<\/strong>. Derivada de la función seno<\/em>. Sea \\(f(x)=\\text{sen}\\,x\\). El cociente de diferencias es<\/p>\n\n\n\n $$\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\\frac{\\text{sen}(x+h)-\\text{sen}\\,x}{h}$$<\/p>\n\n\n\n Para transformarlo de modo que haga posible calcular el límite cuando \\(h\\rightarrow0\\), utilizamos la identidad trigonométrica<\/p>\n\n\n\n $$\\text{sen}\\,A-\\text{sen}\\,B=2\\,\\text{sen}\\frac{A-B}{2}\\cos\\frac{A+B}{2}$$<\/p>\n\n\n\n Poniendo \\(A=x+h\\) y \\(B=x\\) tenemos<\/p>\n\n\n\n $$\\frac{\\text{sen}(x+h)-\\text{sen}\\,x}{h}=\\frac{2\\,\\text{sen}\\frac{h}{2}\\cos\\frac{2x+h}{2}}{h}=\\frac{\\text{sen}\\frac{h}{2}}{\\frac{h}{2}}\\cos\\left(x+\\frac{h}{2}\\right)$$<\/p>\n\n\n\n Cuando \\(h\\rightarrow0\\), el factor \\(\\cos\\left(x+\\frac{h}{2}\\right)\\rightarrow\\cos x\\) por la continuidad del coseno. Asimismo, el siguiente límite<\/p>\n\n\n\n $$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\text{sen}\\,x}{x}=1$$<\/p>\n\n\n\n (ver gráfica de la función \\(\\frac{\\text{sen}\\,x}{x}\\), la cual tienes a continuación), demuestra que<\/p>\n\n\n\n $$\\lim_{h\\rightarrow0}\\frac{\\text{sen}\\frac{h}{2}}{\\frac{h}{2}}=1$$<\/p>\n\n\n Por lo tanto el cociente de diferencias tiene como límite \\(\\cos x\\) cuando \\(h\\rightarrow0\\). Dicho de otro modo, \\(f'(x)=\\cos x\\) para todo \\(x\\), es decir, la derivada de la función seno es el coseno.<\/p>\n\n\n\n EJEMPLO 5<\/strong>. Derivada de la función coseno<\/em>. Sea \\(f(x)=\\cos x\\). Demostraremos que \\(f'(x)=-\\text{sen}\\,x\\), esto es, que la derivada de la función coseno es menos la función seno. Hemos de partir ahora de la identidad trigonométrica siguiente:<\/p>\n\n\n\n $$\\cos A-\\cos B=-2\\,\\text{sen}\\frac{A-B}{2}\\text{sen}\\frac{A+B}{2}$$<\/p>\n\n\n\n Pongamos \\(A=x+h\\) y \\(B=x\\). De manera similar a como se ha procedido en el ejemplo anterior, esto nos conduce a la fórmula<\/p>\n\n\n\n $$\\frac{\\cos(x+h)-\\cos x}{h}=-\\frac{2\\,\\text{sen}\\frac{h}{2}\\text{sen}\\frac{2x+h}{2}}{h}=-\\frac{\\text{sen}\\frac{h}{2}}{\\frac{h}{2}}\\text{sen}\\left(x+\\frac{h}{2}\\right)$$<\/p>\n\n\n\n La continuidad de la función seno demuestra que \\(\\text{sen}(x+\\frac{h}{2})\\rightarrow\\text{sen}\\,x\\) cuando \\(h\\rightarrow0\\). Además, recordemos que \\(\\displaystyle\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\text{sen}\\,x}{x}=1\\). Por tanto \\(f'(x)=-\\text{sen}\\,x\\).<\/p>\n\n\n\n EJEMPLO 6<\/strong>. Derivada de la función raíz<\/em> n-sima<\/em>. Si \\(n\\) es un entero positivo, sea \\(f(x)=x^{1\/n}\\) para \\(x>0\\). El cociente de diferencias para \\(f\\) es<\/p>\n\n\n\n $$\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\\frac{(x+h)^{1\/n}-x^{1\/n}}{h}$$<\/p>\n\n\n\n Pongamos \\(u=(x+h)^{1\/n}\\) y \\(v=x^{1\/n}\\). Tenemos entonces \\(u^n=x+h\\) y \\(v^n=x\\), con lo que \\(h=u^n-v^n\\), y el cociente de diferencias toma la forma (ver ejemplo 3)<\/p>\n\n\n\n $$\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\\frac{u-v}{u^n-v^n}=\\frac{1}{u^{n-1}+u^{n-2}v+\\ldots+uv^{n-2}+v^{n-1}}$$<\/p>\n\n\n\n La continuidad de la función raíz \\(n\\)-sima prueba que \\(u\\rightarrow v\\) cuando \\(h\\rightarrow0\\). Por consiguiente, cada término del denominador del miembro de la derecha tiene límite \\(v^{n-1}\\) cuando \\(h\\rightarrow0\\). En total hay \\(n\\) términos, con lo que el cociente de diferencias tiene como límite \\(\\frac{1}{nv^{n-1}}=\\frac{v^{1-n}}{n}\\). Puesto que \\(v=x^{1\/n}\\), esto demuestra que<\/p>\n\n\n\n $$f'(x)=\\frac{x^{(1\/n)(1-n)}}{n}=\\frac{1}{n}x^{\\frac{1}{n}-1}$$<\/p>\n\n\n\n EJEMPLO 7<\/strong>. Continuidad de las funciones que admiten derivadas<\/em>. Si una función \\(f\\) tiene derivada en un punto \\(x\\), es también continua en \\(x\\). Para demostrarlo, empleamos la identidad<\/p>\n\n\n\n $$f(x+h)=f(x)+h\\left(\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\right)$$<\/p>\n\n\n\n que es válida para \\(h\\neq0\\). Si hacemos que \\(h\\rightarrow0\\), el cociente de diferencias del segundo miembro tiende a \\(f'(x)\\) y, puesto que este cociente está multiplicado por un factor que tiende hacia \\(0\\), el segundo término del segundo miembro tiende a \\(0\\). Esto demuestra que \\(f(x+h)\\rightarrow f(x)\\) cuando \\(h\\rightarrow0\\), y por tanto que \\(f\\) es continua en \\(x\\) (obsérvese que esto es lo mismo que decir, haciendo un adecuado cambio de variable, que \\(f(x)\\rightarrow f(a)\\) cuando \\(x\\rightarrow a\\)).<\/p>\n\n\n\n Este último ejemplo proporciona un nuevo procedimiento para probar la continuidad de las funciones. Cada vez que establecemos la existencia de una derivada \\(f'(x)\\), establecemos también, al mismo tiempo, la continuidad de \\(f\\) en \\(x\\). Debería observarse, no obstante, que el recíproco no es cierto. La continuidad en \\(x\\) no implica necesariamente la existencia de la derivada \\(f'(x)\\). Por ejemplo, cuando \\(f(x)=|x|\\), el punto \\(x=0\\) es de continuidad de \\(f\\) (ya que \\(f(x)\\rightarrow f(0)=0\\) cuando \\(x\\rightarrow0\\)), pero no existe derivada en \\(0\\). El cociente de diferencias \\(\\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\\) es igual a \\(\\frac{|h|}{h}\\). Éste vale \\(1\\) si \\(h>0\\) y \\(-1\\) si \\(h<0\\), y por consiguiente no tiene límite cuando \\(h\\rightarrow0\\).<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/matematicastro.es\/wp-content\/uploads\/2023\/05\/velocidad_01-1024x613.png\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/matematicastro.es\/wp-content\/uploads\/2023\/05\/velocidad_02-1024x663.png\")
<\/figure>\n\n\n\nDerivada de una funci\u00f3n<\/h3>\n\n\n\nEl ejemplo expuesto en el apartado anterior señala el camino para introducir el concepto de derivada. Sea \\(f\\) una función definida por lo menos en un intervalo abierto \\((a,b)\\) del eje \\(X\\). Se elige un punto \\(x\\) en este intervalo y se forma el cociente de diferencias\n\n\n\n
Ejemplos de derivadas<\/h3>\n\n\n\nEJEMPLO 1<\/strong>. Derivada de la función constante<\/em>. Supongamos que \\(f\\) es una función constante: sea por ejemplo \\(f(x)=k\\), para todo \\(x\\). El cociente de diferencias es\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/matematicastro.es\/wp-content\/uploads\/2023\/05\/velocidad_03-1024x457.png\")
<\/figure>\n<\/div>\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/matematicastro.es\/wp-content\/uploads\/2023\/05\/velocidad_04-1024x466.png\")
<\/figure>\n\n\n\n