{"id":3105,"date":"2025-02-23T20:02:49","date_gmt":"2025-02-23T19:02:49","guid":{"rendered":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=3105"},"modified":"2025-02-23T23:12:56","modified_gmt":"2025-02-23T22:12:56","slug":"rango-de-una-matriz-por-determinantes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=3105","title":{"rendered":"Rango de una matriz por determinantes"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"has-text-align-right has-text-color has-link-color wp-elements-a5e45f4f071776112e370856ffeb8410\" style=\"color:#5e1e1e;font-size:16px\"><em>En la vida hay algo peor que el fracaso: el no haber intentado nada<\/em><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-right has-text-color has-link-color wp-elements-579c89a3c6f282184672ba90f93187d3\" style=\"color:#5e1e1e;font-size:16px\"><em><a href=\"https:\/\/es.wikiquote.org\/wiki\/Franklin_D._Roosevelt\">Franklin Delano Roosevelt<\/a><\/em><\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-text-color has-alpha-channel-opacity has-background is-style-default\" style=\"background-color:#5e1e1e;color:#5e1e1e\"\/>\n\n\n\n<p>Por definici\u00f3n, el rango de una matriz es igual al n\u00famero de filas linealmente independientes. Como en estos apuntes no vamos a hablar de independencia lineal, vamos a usar los determinantes para calcular el rango de una matriz. Antes, es necesario que hagamos algunas definiciones.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-color has-link-color wp-elements-b41c02cfe7d57bf3303714a34eb3ddc4\" style=\"color:#2772a1;font-size:25px\"><strong>Submatrices y menores<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Supongamos que $A$ es una matriz de orden $m\\times n$, es decir, con $m$ filas y $n$ columnas: $A\\in\\mathfrak{M}_{m\\times n}$.<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Se llama <strong><em>submatriz<\/em><\/strong> de $A$ a cualquier matriz que se obtenga a partir de $A$ suprimiendo filas y columnas.<\/li>\n\n\n\n<li>Si una submatriz de $A$ es cuadrada de orden $k$, a su determinante se le denomina <strong><em>menor<\/em><\/strong> de orden $k$ de $A$.<\/li>\n\n\n\n<li>Al menor formado por las $k$ primeras filas y las $k$ primeras columnas de $A$ se le llama <strong><em>menor principal<\/em><\/strong> de orden $k$ y lo denotaremos por $\\delta_k$. N\u00f3tese que, si $m=n$, es decir, si $A$ es cuadrada de orden $n$, entonces $\\delta_n=|A|$.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Por ejemplo, dada la matriz $A=\\begin{pmatrix}<br>2&amp;1&amp;-3&amp;4\\\\<br>0&amp;4&amp;-4&amp;5<br>\\end{pmatrix}$, el menor principal de orden $2$ es $\\delta_2=\\begin{vmatrix}<br>2&amp;1\\\\<br>0&amp;4<br>\\end{vmatrix}=8-0=8$.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-color has-link-color wp-elements-eba2a3d7fa75943cfad711339d61f95e\" style=\"color:#2772a1;font-size:25px\"><strong>Rango de una matriz<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Sea $A\\in\\mathfrak{M}_{m\\times n}$. El <strong><em>rango<\/em><\/strong> de la matriz $A$ es el mayor orden de los menores no nulos de $A$. Denotaremos por $r(A)$ al rango de la matriz $A$.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-color has-link-color wp-elements-bae8a90d19713b8fa69cc4483d24c5b8\" style=\"color:#2772a1;font-size:25px\"><strong>Propiedades del rango de una matriz<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p><strong>a)<\/strong> El rango de una matriz no var\u00eda si se intercambian entre s\u00ed dos filas o dos columnas.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>b)<\/strong> Si una matriz $A$&nbsp;tiene una fila o columna de ceros, el rango de &nbsp;coincide con el rango de la matriz que se obtiene al suprimir esa fila o esa columna.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>c)<\/strong> El rango de una matriz no cambia si se suprime una fila o una columna que sea combinaci\u00f3n lineal de las restantes.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>d)<\/strong> El rango de una matriz es igual al de su traspuesta: $r(A)=r\\left(A^t\\right)$.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>e)<\/strong> Si $A$ es una matriz de orden $m\\times n$, se tiene que $r(A)\\leq\\text{min}\\{m\\ ,n\\}$. Es decir, el rango siempre es menor o a lo sumo igual que el n\u00famero m\u00e1s peque\u00f1o de entre estos dos: n\u00famero de filas y n\u00famero de columnas. As\u00ed, por ejemplo, si una matriz es de orden $3\\times 5$, su rango ser\u00e1 a lo sumo $3$.<\/p>\n\n\n\n<p>Merece la pena detenerse con un ejemplo, sobre todo para dejar constancia de la propiedad <strong>c)<\/strong> y explicar lo que significa que una fila sea combinaci\u00f3n lineal de las restantes. Consideremos la siguiente matriz:<\/p>\n\n\n\n<p>$$A=\\begin{pmatrix}<br>3&amp;1&amp;-1&amp;-2&amp;1\\\\ 5&amp;-3&amp;5&amp;0&amp;9\\\\ 0&amp;0&amp;0&amp;0&amp;0 \\\\ 1&amp;-2&amp;3&amp;1&amp;4\\\\<br>\\end{pmatrix}$$<\/p>\n\n\n\n<p>Como $A$ tiene una fila de ceros (la tercera), seg\u00fan la propiedad <strong>b)<\/strong>, el rango de la matriz anterior es igual al rango de esta otra, la cual se obtiene de la anterior suprimiendo la fila de ceros:<\/p>\n\n\n\n<p>$$B=\\begin{pmatrix}<br>3&amp;1&amp;-1&amp;-2&amp;1\\\\ 5&amp;-3&amp;5&amp;0&amp;9\\\\ 1&amp;-2&amp;3&amp;1&amp;4\\\\<br>\\end{pmatrix}$$<\/p>\n\n\n\n<p>Llamemos $f_1$, $f_2$ y $f_3$ a la fila 1, fila 2 y fila 3, respectivamente, de la matriz anterior. Entonces $2f_3+f_1=f_2$:<\/p>\n\n\n\n<p>$$2\\begin{pmatrix}1&amp;-2&amp;3&amp;1&amp;4\\end{pmatrix}+\\begin{pmatrix}3&amp;1&amp;-1&amp;-2&amp;1\\end{pmatrix}=$$<\/p>\n\n\n\n<p>$$=\\begin{pmatrix}2&amp;-4&amp;6&amp;2&amp;8\\end{pmatrix}+\\begin{pmatrix}3&amp;1&amp;-1&amp;-2&amp;1\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}5&amp;-3&amp;5&amp;0&amp;9\\end{pmatrix}$$<\/p>\n\n\n\n<p>Esto quiere decir que la fila 2 es combinaci\u00f3n lineal (o simplemente combinaci\u00f3n) de la fila 3 y la fila 1. Por tanto, seg\u00fan la propiedad <strong>c)<\/strong>, podemos suprimir la fila 2 de la matriz anterior, con lo que su rango ser\u00e1 igual al de esta otra:<\/p>\n\n\n\n<p>$$C=\\begin{pmatrix}<br>3&amp;1&amp;-1&amp;-2&amp;1\\\\ 1&amp;-2&amp;3&amp;1&amp;4\\\\<br>\\end{pmatrix}$$<\/p>\n\n\n\n<p>Seg\u00fan la propiedad <strong>e)<\/strong>, como esta matriz es de orden $2\\times5$, su rango ser\u00e1, a los sumo $2$: $r(A)\\leq2$. De hecho, su rango es dos porque el menor principal de orden dos de esta matriz es distinto de cero: $\\delta_1=\\begin{vmatrix}<br>3&amp;1\\\\ 1&amp;-2 \\end{vmatrix}=7\\neq0$. Por tanto, finalmente tenemos que $r(A)=r(B)=r(C)=2$.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-color has-link-color wp-elements-397fcfb00aeb6379afc6e4d6190c2102\" style=\"color:#2772a1;font-size:25px\"><strong>Ejemplos de distintos casos<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Antes de ver un m\u00e9todo general para hallar el rango de una matriz a partir de sus menores, veamos algunos ejemplos del c\u00e1lculo del rango de una matriz seg\u00fan el orden de \u00e9sta:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-vivid-red-color has-text-color has-link-color has-medium-font-size wp-elements-b939b3e0a0905f3089eb9f5fc5222654\"><strong>Caso 1<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>$A$ es una matriz cuadrada de orden dos: $A=\\begin{pmatrix}a_{11}&amp;a_{12}\\\\ a_{21}&amp;a_{22}\\\\ \\end{pmatrix}$. <\/p>\n\n\n\n<p>En este caso el \u00fanico menor de orden dos es el menor principal, es decir, el determinante de la propia matriz $A$: $\\delta_1=|A|$.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>a)<\/strong> Si $\\delta_1=|A|\\neq0$, entonces $r(A)=2$. Por ejemplo, si $A=\\begin{pmatrix}1&amp;-2\\\\ 8&amp;6\\\\ \\end{pmatrix}$, entonces $r(A)=2$, ya que $|A|=10\\neq0$.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>b)<\/strong> Si $\\delta_1=|A|=0$, el rango ya no puede ser igual a dos porque no habr\u00e1 ning\u00fan menor de orden dos distinto de cero. Entonces, o bien $r(A)=1$, si hay alg\u00fan t\u00e9rmino distinto de cero, $r(A)=0$, si todos los t\u00e9rminos de la matriz son cero, es decir, si $A$ se trata de la matriz nula. Por ejemplo, si $A=\\begin{pmatrix}2&amp;-5\\\\ -4&amp;10\\\\ \\end{pmatrix}$, entonces $r(A)=1$, porque $|A|=0$, y hay t\u00e9rminos distintos de cero en la matriz. Observa que el determinante ser\u00e1 nulo cuando las dos filas sean proporcionales. En este caso la fila 2 es igual a la fila 1 multiplicada por $2$.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-vivid-red-color has-text-color has-link-color has-medium-font-size wp-elements-4748d8f32d1e736fc1a70212d42d5791\"><strong>Caso 2<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>$A$ es una matriz de orden $2\\times3$: $A=\\begin{pmatrix}a_{11}&amp;a_{12}&amp;a_{13}\\\\ a_{21}&amp;a_{22}&amp;a_{23}\\\\ \\end{pmatrix}$. <\/p>\n\n\n\n<p>En este caso, la matriz $A$ tiene tres menores de orden dos:<\/p>\n\n\n\n<p>$$\\begin{vmatrix}a_{11}&amp;a_{12}\\\\ a_{21}&amp;a_{22}\\\\ \\end{vmatrix}\\quad ; \\quad\\begin{vmatrix}a_{11}&amp;a_{13}\\\\ a_{21}&amp;a_{23}\\\\ \\end{vmatrix}\\quad; \\quad\\begin{vmatrix}a_{12}&amp;a_{13}\\\\ a_{22}&amp;a_{23}\\\\ \\end{vmatrix}$$<\/p>\n\n\n\n<p>Si alguno de ellos es distinto de cero, $r(A)=2$. Si todos son cero, entonces el rango ser\u00e1 uno (cuando alg\u00fan t\u00e9rmino de la matriz sea distinto de cero) o ser\u00e1 cero (cuando $A$&nbsp;sea la matriz nula).<\/p>\n\n\n\n<p>Por ejemplo, el rango de la matriz $A=\\begin{pmatrix}-1&amp;2&amp;-5\\\\ 4&amp;-8&amp;6\\\\ \\end{pmatrix}$ es dos porque contiene un menor de orden dos distinto de cero: $\\begin{vmatrix}-1&amp;-5\\\\ 4&amp;6\\\\ \\end{vmatrix}=-6+20=14\\neq0$. Obs\u00e9rvese que el menor principal es igual a cero: $\\begin{vmatrix}-1&amp;2\\\\ 4&amp;-8\\\\ \\end{vmatrix}=8-8=0$. Seguramente, ser\u00eda con el primero que probar\u00edamos. Pero, al ser cero, seguimos probando con el resto. En cuanto demos con uno que sea distinto de cero (como ocurre en este caso), el rango de la matriz ya es dos.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-vivid-red-color has-text-color has-link-color has-medium-font-size wp-elements-be706d10a062a0d10e74d2c578143a7f\"><strong>Caso 3<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>$A$ es una matriz de orden $3\\times2$. Entonces, como su traspuesta es de orden $2\\times3$, por la propiedad <strong>d)<\/strong>, $r(A)=r\\left(A^t\\right)$, y se procede como en el caso anterior.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-vivid-red-color has-text-color has-link-color has-medium-font-size wp-elements-2585c9fe0f3c3f7064a6322c7d1fa589\"><strong>Caso 4<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>$A$ es una matriz de orden $2\\times m$, con $m&gt;3$ En este caso se procede como en el caso 2, lo que ocurre es que habr\u00e1 m\u00e1s menores de orden dos.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-vivid-red-color has-text-color has-link-color has-medium-font-size wp-elements-96d5a11bb3c05a01ff30e333cb42a05c\"><strong>Caso 5<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>$A$ es una matriz de orden $n\\times2$, con $n&gt;3$. En este caso se procede como en el caso 3.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-vivid-red-color has-text-color has-link-color has-medium-font-size wp-elements-81500e2785408ab585f9805376b05146\"><strong>Caso 6<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>$A$ es una matriz cuadrada de orden tres: $A=\\begin{pmatrix}a_{11}&amp;a_{12}&amp;a_{13}\\\\ a_{21}&amp;a_{22}&amp;a_{23}\\\\ a_{31}&amp;a_{32}&amp;a_{31}\\\\ \\end{pmatrix}$. <\/p>\n\n\n\n<p>En este caso el \u00fanico menor de orden tres es el menor principal, es decir, el determinante de la propia matriz $A$: $\\delta_1=|A|$.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>a)<\/strong> Si $\\delta_1=|A|\\neq0$, entonces $r(A)=3$. Por ejemplo, si $A=\\begin{pmatrix}1&amp;2&amp;-2\\\\ 0&amp;-4&amp;-1\\\\ -2&amp;1&amp;1\\\\ \\end{pmatrix}$, entonces tenemos que $r(A)=3$, ya que<\/p>\n\n\n\n<p>$$|A|=\\begin{vmatrix}1&amp;2&amp;-2\\\\ 0&amp;-4&amp;-1\\\\ -2&amp;1&amp;1\\\\ \\end{vmatrix}=(-4+4+0)-(-16+0-1)=0-(-17)=17\\neq0$$<\/p>\n\n\n\n<p><strong>b)<\/strong> Si $\\delta_1=|A|=0$, el rango ya no puede ser igual a tres porque no habr\u00e1 ning\u00fan menor de orden tres distinto de cero. Entonces $r(A)\\leq2$.<\/p>\n\n\n\n<p>Por ejemplo, consideremos la matriz $A=\\begin{pmatrix}1&amp;3&amp;-4\\\\ -1&amp;-1&amp;2\\\\ 0&amp;2&amp;-2\\\\ \\end{pmatrix}$. Se tiene que $|A|=0$ (\u00a1compru\u00e9balo!). De hecho, la tercera fila es la suma de las dos primeras. Entonces su rango ya no es tres. Pero como hay al menos un menor de orden dos distinto de cero, su rango es dos: <\/p>\n\n\n\n<p>$$|A|=\\begin{vmatrix}1&amp;3\\\\ -1&amp;-1\\\\ \\end{vmatrix}=-1-(-3)=-1+3=2\\neq0\\Rightarrow r(A)=2$$<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-vivid-red-color has-text-color has-link-color has-medium-font-size wp-elements-4d1b6b2109bbc877492e29a1fdf78caf\"><strong>Caso 7<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>$A$ es una matriz de orden $3\\times4$: $A=\\begin{pmatrix}a_{11}&amp;a_{12}&amp;a_{13}&amp;a_{14}\\\\ a_{21}&amp;a_{22}&amp;a_{23}&amp;a_{24}\\\\ a_{31}&amp;a_{32}&amp;a_{31}&amp;a_{34}\\\\ \\end{pmatrix}$.<\/p>\n\n\n\n<p>En este caso, la matriz $A$&nbsp;tiene cuatro menores de orden tres:<\/p>\n\n\n\n<p>$$\\begin{vmatrix}a_{11}&amp;a_{12}&amp;a_{13}\\\\ a_{21}&amp;a_{22}&amp;a_{23}\\\\ a_{31}&amp;a_{32}&amp;a_{31}\\\\ \\end{vmatrix}\\quad;\\quad \\begin{vmatrix}a_{11}&amp;a_{12}&amp;a_{14}\\\\ a_{21}&amp;a_{22}&amp;a_{24}\\\\ a_{31}&amp;a_{32}&amp;a_{34}\\\\ \\end{vmatrix}\\quad;\\quad \\begin{vmatrix}a_{11}&amp;a_{13}&amp;a_{14}\\\\ a_{21}&amp;a_{23}&amp;a_{24}\\\\ a_{31}&amp;a_{33}&amp;a_{34}\\\\ \\end{vmatrix}\\quad;\\quad \\begin{vmatrix}a_{12}&amp;a_{13}&amp;a_{14}\\\\ a_{22}&amp;a_{23}&amp;a_{24}\\\\ a_{32}&amp;a_{33}&amp;a_{34}\\\\ \\end{vmatrix}$$<\/p>\n\n\n\n<p>Si alguno de ellos es distinto de cero, $r(A)=3$. Si todos son cero, entonces $r(A)\\leq2$.<\/p>\n\n\n\n<p>Por ejemplo, consideremos la matriz $A=\\begin{pmatrix}1&amp;2&amp;-1&amp;-2\\\\ 3&amp;0&amp;1&amp;-4\\\\ 1&amp;-1&amp;1&amp;-1\\\\ \\end{pmatrix}$.<\/p>\n\n\n\n<p>Puede comprobarse que todos los menores de orden tres son nulos:<\/p>\n\n\n\n<p>$$\\begin{vmatrix}1&amp;2&amp;-1\\\\ 3&amp;0&amp;1\\\\ 1&amp;-1&amp;1\\\\ \\end{vmatrix} = \\begin{vmatrix}1&amp;2&amp;-2\\\\ 3&amp;0&amp;-4\\\\ 1&amp;-1&amp;-1\\\\ \\end{vmatrix} = \\begin{vmatrix}1&amp;-1&amp;-2\\\\ 3&amp;1&amp;-4\\\\ 1&amp;1&amp;-1\\\\ \\end{vmatrix} = \\begin{vmatrix}2&amp;-1&amp;-2\\\\ 0&amp;1&amp;-4\\\\ -1&amp;1&amp;-1\\\\ \\end{vmatrix} = 0$$<\/p>\n\n\n\n<p>Como $\\begin{vmatrix}1&amp;2\\\\ 3&amp;0\\\\ \\end{vmatrix}=0-6=-6\\neq0$, se tiene que $r(A)=2$.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-vivid-red-color has-text-color has-link-color has-medium-font-size wp-elements-72b25af642b5cd0d176784bfd9c93299\"><strong>Caso 8<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>$A$ es una matriz de orden $4\\times3$. Entonces, como su traspuesta es de orden $3\\times4$, por la propiedad <strong>d)<\/strong>, $r(A)=r\\left(A^t\\right)$, y se procede como en el caso anterior.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-vivid-red-color has-text-color has-link-color has-medium-font-size wp-elements-3cabfc1931418b02145328f1a6d8cd8c\"><strong>Caso 9<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>$A$ es una matriz de orden $3\\times m$, con $m&gt;4$. En este caso se procede como en el caso 7, lo que ocurre es que habr\u00e1 m\u00e1s menores de orden tres.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-vivid-red-color has-text-color has-link-color has-medium-font-size wp-elements-70b69ef3684f1712c944c542e57cbc89\"><strong>Caso 10<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>$A$ es una matriz de orden $n\\times3$, con $n&gt;4$. En este caso se procede como en el caso 8.<\/p>\n\n\n\n<p>Se han analizado especialmente estos casos porque se usar\u00e1n para la resoluci\u00f3n de muchos sistemas de ecuaciones lineales que aparecen con frecuencia en los ex\u00e1menes.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-color has-link-color wp-elements-b2fd0964f52aeb59c9ba0d36f4ffa271\" style=\"color:#2772a1;font-size:25px\"><strong>M\u00e9todo general para hallar el rango de una matriz a partir de sus menores<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Ya hemos visto anteriormente varios ejemplos de c\u00e1lculo del rango de una matriz. La mejor forma de explicar el m\u00e9todo general es hacerlo con otro ejemplo.<\/p>\n\n\n\n<p>Supongamos que queremos hallar el rango de $A=\\begin{pmatrix}-1&amp;3&amp;0&amp;1&amp;2\\\\ 0&amp;5&amp;1&amp;2&amp;3\\\\ -3&amp;-1&amp;-2&amp;-1&amp;0\\\\ 3&amp;11&amp;4&amp;5&amp;6\\\\ \\end{pmatrix}$. Observa que el orden de la matriz $A$ es $4\\times5$, con lo que $r(A)\\leq4$.<\/p>\n\n\n\n<p>En primer lugar, se busca un menor de orden dos no nulo. Por ejemplo, $\\begin{vmatrix}-1&amp;0\\\\ 0&amp;1 \\\\ \\end{vmatrix}=-1\\neq0$. Esto asegura que el rango de $A$ ya es, al menos, dos. Obs\u00e9rvese que el menor est\u00e1 formado por las filas 1 y 2, y las columnas 1 y 3. Ahora, con la tercera fila, calculamos todos los menores de orden tres que contengan al menor anterior. Son los siguientes:<\/p>\n\n\n\n<p>$$\\begin{vmatrix}-1&amp;3&amp;0\\\\ 0&amp;5&amp;1\\\\ -3&amp;-1&amp;-2\\\\ \\end{vmatrix}=0\\quad;\\quad \\begin{vmatrix}-1&amp;0&amp;1\\\\ 0&amp;1&amp;2\\\\ -3&amp;-2&amp;-1\\\\ \\end{vmatrix}=0\\quad;\\quad \\begin{vmatrix}-1&amp;0&amp;2\\\\ 0&amp;1&amp;3\\\\ -3&amp;-2&amp;0\\\\ \\end{vmatrix}=0$$<\/p>\n\n\n\n<p>Ahora hacemos los mismo que antes, pero con la cuarta fila. Los tres menores de orden 3 que as\u00ed se obtienen son tambi\u00e9n iguales a cero (\u00a1compru\u00e9bese!).<\/p>\n\n\n\n<p>Este m\u00e9todo se conoce con el nombre de <strong><em>orlar<\/em><\/strong> un menor con menores de orden una unidad superior. Pues bien, es posible demostrar que, si todos los menores obtenidos de este modo son cero, el resto tambi\u00e9n lo son.<\/p>\n\n\n\n<p>De aqu\u00ed deducimos que $r(A)=2$ (mayor orden de los menores no nulos de $A$).<\/p>\n\n\n\n<p>Si alg\u00fan menor de orden tres fuese distinto de cero, el rango de la matriz ser\u00eda al menos 3 y proceder\u00edamos a orlar con los de orden 4. Este m\u00e9todo se repite sucesivamente hasta obtener el rango de la matriz $A$ como el mayor orden de los menores no nulos de $A$.<\/p>\n\n\n\n<p>Normalmente, se comienza a orlar con el primer menor de orden dos disponible, caso de que este sea distinto de cero. En el ejemplo anterior, este menor es el formado por las dos primeras filas y las dos primeras columnas, es decir, el menor $\\begin{vmatrix}-1&amp;3\\\\ 0&amp;5 \\\\ \\end{vmatrix}=-5\\neq0$. Ahora se puede comprobar que los seis menores de orden tres que lo contienen son iguales a cero (al igual que lo que ocurr\u00eda anteriormente), con lo que el rango de la matriz es dos.<\/p>\n\n\n\n<p>No ser\u00e1 habitual que nos pidan calcular el rango de una matriz de orden superior a $4\\times4$, como en el caso del ejemplo anterior. Para matrices de orden $4\\times4$. deberemos de saber calcular determinantes de orden cuatro, pero eso lo dejaremos para otro momento.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-color has-link-color wp-elements-3b40c2cfed09b66611250a52e5b31e12\" style=\"color:#2772a1;font-size:25px\"><strong>Rango de matrices dependientes de un par\u00e1metro<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Por \u00faltimo, haremos un par de ejemplos de c\u00e1lculo del rango de matrices dependiendo de un par\u00e1metro.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-vivid-red-color has-text-color has-link-color has-medium-font-size wp-elements-36ceeea08099af15bea777536d39fa1a\"><strong>Ejemplo 1<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Calcular el rango de la matriz $B=\\begin{pmatrix}t&amp;t&amp;0\\\\ 2&amp;t+1&amp;t-1\\\\ 2t+1&amp;0&amp;-t-3\\\\ \\end{pmatrix}$, en funci\u00f3n del par\u00e1metro $t$.<\/p>\n\n\n\n<p>Como esta matriz es cuadrada de orden tres, tendr\u00e1 rango tres si su determinante es distinto de cero. En caso contrario su rango ser\u00e1 menor que tres. Pero todo ello depender\u00e1 de los valores que tome el par\u00e1metro $t$.<\/p>\n\n\n\n<p>El determinante de la matriz $B$ es:<\/p>\n\n\n\n<p>$$|B|=\\begin{vmatrix}t&amp;t&amp;0\\\\ 2&amp;t+1&amp;t-1\\\\ 2t+1&amp;0&amp;-t-3\\\\ \\end{vmatrix}=t\\left( {t + 1} \\right)\\left( { &#8211; t &#8211; 3} \\right) + t\\left( {t &#8211; 1} \\right)\\left( {2t + 1} \\right) &#8211; 2t\\left( { &#8211; t &#8211; 3} \\right)=$$<\/p>\n\n\n\n<p>$$=t\\left( {\\left( {t + 1} \\right)\\left( { &#8211; t &#8211; 3} \\right) + \\left( {t &#8211; 1} \\right)\\left( {2t + 1} \\right) &#8211; 2\\left( { &#8211; t &#8211; 3} \\right)} \\right)=$$<\/p>\n\n\n\n<p>$$=t\\left( { &#8211; {t^2} &#8211; 4t &#8211; 3 + 2{t^2} &#8211; t &#8211; 1 + 2t + 6} \\right) = t\\left( {{t^2} &#8211; 3t + 2} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n<p>Ahora podemos hallar los valores de $t$ para los cuales el determinante de $B$ es cero:<\/p>\n\n\n\n<p>$$|B| = 0 \\Leftrightarrow t(t^2 &#8211; 3t + 2) = 0 \\Leftrightarrow \\begin{cases} t = 0\\\\ t^2 &#8211; 3t + 2 = 0 \\end{cases}$$<\/p>\n\n\n\n<p>Pero<\/p>\n\n\n\n<p>$${t^2} &#8211; 3t + 2 = 0 \\Leftrightarrow t = \\frac{{ &#8211; \\left( { &#8211; 3} \\right) \\pm \\sqrt {{{\\left( { &#8211; 3} \\right)}^2} &#8211; 4 \\cdot 1 \\cdot 2} }}{{2 \\cdot 1}} = \\frac{{3 \\pm \\sqrt {9 &#8211; 8} }}{2} = \\frac{{3 \\pm 1}}{2} = \\begin{cases} t = 2\\\\ t = 1 \\end{cases}$$<\/p>\n\n\n\n<p>Resumiendo, $|B|=0$ si $t=0$, o $t=1$, o bien $t=2$.<\/p>\n\n\n\n<p>De aqu\u00ed ya podemos afirmar que si $t\\neq0$, $t\\neq1$ y $t\\neq2$, entonces $|B|\\neq0$, con lo que $r(B)=3$.<\/p>\n\n\n\n<p>Si $t=0$, $B=\\begin{pmatrix}0&amp;0&amp;0\\\\ 2&amp;1&amp;-1\\\\ 1&amp;0&amp;3\\\\ \\end{pmatrix}$. Si $t=1$, $B=\\begin{pmatrix}1&amp;1&amp;0\\\\ 2&amp;2&amp;0\\\\ 3&amp;0&amp;-4\\\\ \\end{pmatrix}$. Si $t=2$, $B=\\begin{pmatrix}2&amp;2&amp;0\\\\ 2&amp;3&amp;1\\\\ 5&amp;0&amp;-5\\\\ \\end{pmatrix}$<\/p>\n\n\n\n<p>En cualquiera de los casos se tiene que $r(B)=2$, porque en cada uno de los tres casos se pueden encontrar menores de orden dos distintos de cero.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-vivid-red-color has-text-color has-link-color has-medium-font-size wp-elements-03373a0bb67a68248ddde542dce7d981\"><strong>Ejemplo 2<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Se tratar\u00eda de estudiar el rango de la matriz $A=\\begin{pmatrix}a&amp;1&amp;3&amp;0\\\\ 1&amp;a&amp;2&amp;1\\\\ 2&amp;2a&amp;5&amp;a\\\\ \\end{pmatrix}$, seg\u00fan los valores del par\u00e1metro $a$.<\/p>\n\n\n\n<p>Un menor de orden dos distinto de cero es $\\begin{vmatrix}3&amp;0\\\\2&amp;1 \\end{vmatrix}=3\\neq0$. Esto quiere decir que el rango de $A$ al menos dos.<\/p>\n\n\n\n<p>El menor anterior contiene dos menores de orden tres:<\/p>\n\n\n\n<p>$$\\begin{vmatrix}a&amp;3&amp;0\\\\ 1&amp;2&amp;1\\\\ 2&amp;5&amp;a \\end{vmatrix}=2a^2-8a+6\\quad;\\quad \\begin{vmatrix}1&amp;3&amp;0\\\\ a&amp;2&amp;1\\\\ 2a&amp;5&amp;a \\end{vmatrix}=-3a^2+8a-5$$<\/p>\n\n\n\n<p>Si ambos fueran igual a cero, el rango de la matriz $A$ no ser\u00eda igual a tres, con lo que $r(A)=2$. Y si alguno de ellos fuera distinto de cero, entonces $r(A)=3$. Pero eso depender\u00e1 de los valores del par\u00e1metro $a$. Igualemos a cero ambos y veamos qu\u00e9 ocurre.<\/p>\n\n\n\n<p>$$\\begin{vmatrix}a&amp;3&amp;0\\\\ 1&amp;2&amp;1\\\\ 2&amp;5&amp;a \\end{vmatrix}=2a^2-8a+6=0\\Leftrightarrow a=\\frac{-(-8)\\pm\\sqrt{(-8)^2-4\\cdot2\\cdot6}}{2\\cdot2}=$$<\/p>\n\n\n\n<p>$$=\\frac{-(-8)\\pm\\sqrt{16}}{4}=\\frac{-(-8)\\pm4}{4}=\\begin{cases}a_1=3\\\\a_2=1\\end{cases}$$<\/p>\n\n\n\n<p>$$\\begin{vmatrix}1&amp;3&amp;0\\\\ a&amp;2&amp;1\\\\ 2a&amp;5&amp;a \\end{vmatrix}=-3a^2+8a-5=0\\Leftrightarrow a=\\frac{-8\\pm\\sqrt{8^2-4\\cdot(-3)\\cdot(-5)}}{2\\cdot(-3)}=$$<\/p>\n\n\n\n<p>$$=\\frac{-8\\pm\\sqrt{4}}{-6}=\\frac{-8\\pm2}{-6}=\\begin{cases}a_1=1\\\\a_2=\\frac{5}{3}\\end{cases}$$<\/p>\n\n\n\n<p>De lo anterior se desprende que \u00e9l \u00fanico valor com\u00fan para el que los dos menores de orden tres es igual a cero, es $a=1$. Si $a$ toma cualquier otro valor, alguno de ellos ser\u00e1 distinto de cero. Por tanto, podemos concluir lo siguiente. <\/p>\n\n\n\n<p>Si $a=1$, $r(A)=2$. Y si $a\\neq1$, $r(A)=3$.<\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\"\/>\n\n\n\n<p>Puedes ver y descargar este art\u00edculo en formato pdf <a href=\"https:\/\/1drv.ms\/b\/s!Aj6in--Gc43qh717Cl7ZgFv1wFYb5A?e=KX1Da7\" data-type=\"link\" data-id=\"https:\/\/1drv.ms\/b\/s!Aj6in--Gc43qh717Cl7ZgFv1wFYb5A?e=KX1Da7\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">aqu\u00ed<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>En la vida hay algo peor que el fracaso: el no haber intentado nada Franklin Delano Roosevelt Por definici\u00f3n, el rango de una matriz es igual al n\u00famero de filas linealmente independientes. Como en estos apuntes no vamos a hablar de independencia lineal, vamos a usar los determinantes para calcular el rango de una matriz. 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