{"id":3092,"date":"2025-03-06T16:07:33","date_gmt":"2025-03-06T15:07:33","guid":{"rendered":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=3092"},"modified":"2025-03-06T16:07:33","modified_gmt":"2025-03-06T15:07:33","slug":"sistemas-de-ecuaciones-no-lineales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=3092","title":{"rendered":"Sistemas de ecuaciones no lineales"},"content":{"rendered":"\n

La sabidur\u00eda viene de escuchar; de hablar, el arrepentimiento<\/em><\/p>\n\n\n\n

Proverbio italiano<\/em><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Cuando se estudian las matem\u00e1ticas a un nivel b\u00e1sico en la secundaria, una de las cosas que primero se aprende a resolver es una ecuaci\u00f3n de primer grado. A continuaci\u00f3n, se puede introducir sin mucha dificultad el concepto de sistema lineal de dos ecuaciones con dos inc\u00f3gnitas<\/strong>. La forma, digamos reducida, de un sistema de este tipo es:<\/p>\n\n\n\n

\\[\\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\\\a_2x+b_2y=c_2\\end{cases}\\]<\/p>\n\n\n\n

Los n\u00fameros reales \\(a_1\\), \\(a_2\\), \\(b_1\\), \\(b_2\\) reciben el nombre de coeficientes y los n\u00fameros \\(c_1\\) y \\(c_2\\) son los t\u00e9rminos independientes del sistema (parecido a la nomenclatura estudiada en las expresiones algebraicas, monomios y polinomios). Las inc\u00f3gnitas o n\u00fameros reales de los cuales deseamos saber si satisfacen ambas ecuaciones, son \\(x\\) e \\(y\\).<\/p>\n\n\n\n

B\u00e1sicamente existen tres m\u00e9todos para resolver este tipo de ecuaciones: sustituci\u00f3n, igualaci\u00f3n y reducci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

El primero de ellos, el de sustituci\u00f3n, consiste en despejar una de las dos inc\u00f3gnitas de cualquiera de las dos ecuaciones y sustituirla en la otra.<\/p>\n\n\n\n

Por ejemplo, dado el sistema<\/p>\n\n\n\n

\\[\\begin{cases}2x+3y=4\\\\5x-2y=-9\\end{cases}\\]<\/p>\n\n\n\n

despejamos la inc\u00f3gnita \\(y\\) de la primera ecuaci\u00f3n, \\(y=\\dfrac{4-2x}{3}\\), y la sustituimos en la segunda:<\/p>\n\n\n\n

\\[5x-2\\frac{4-2x}{3}=-9\\Rightarrow15x-2(4-2x)=-27\\Rightarrow\\]<\/p>\n\n\n\n

\\[\\Rightarrow15x-8+4x=-27\\Rightarrow19x=-19\\Rightarrow x=-1\\]<\/p>\n\n\n\n

Sustituyendo el valor de \\(x\\) en la igualdad donde est\u00e1 la inc\u00f3gnita \\(y\\) despejada obtenemos:<\/p>\n\n\n\n

\\[y=\\frac{4-2\\cdot(-1)}{3}=\\frac{4+2}{3}=\\frac{6}{3}\\Rightarrow y=2\\]<\/p>\n\n\n\n

Los sistemas lineales se caracterizan porque la representaci\u00f3n gr\u00e1fica de cada una de las dos ecuaciones es una recta. Si ambas se cortan, el punto de corte es la soluci\u00f3n del sistema. En el caso del ejemplo anterior la representaci\u00f3n gr\u00e1fica queda reflejada en la figura siguiente.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

En un sistema de ecuaciones no lineal con dos inc\u00f3gnitas<\/strong>, al menos una de las dos ecuaciones no es lineal, es decir, su representaci\u00f3n gr\u00e1fica no es una recta. Este tipo de sistemas se suelen resolver por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n, m\u00e9todo cuyo uso se ha visto en el ejemplo anterior para un sistema lineal. Veamos ahora un ejemplo de resoluci\u00f3n de un sistema de ecuaciones no lineal.<\/p>\n\n\n\n

Consideremos el sistema dado en la imagen que encabeza este art\u00edculo:<\/p>\n\n\n\n

\\[\\begin{cases}x^2-2y^2=1\\\\xy=6\\end{cases}\\]<\/p>\n\n\n\n

Despejando \\(y\\) de la segunda ecuaci\u00f3n tenemos \\(y=\\dfrac{6}{x}\\). Y sustituyendo este valor en la primera ecuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n

\\[x^2-2\\left(\\frac{6}{x}\\right)^2=1\\Rightarrow x^2-\\frac{72}{x^2}=1\\]<\/p>\n\n\n\n

Esta \u00faltima es una ecuaci\u00f3n racional<\/a>, ya que la inc\u00f3gnita aparece en un denominador. Multiplicando ahora todos los t\u00e9rminos por \\(x^2\\) llegamos a una ecuaci\u00f3n bicuadrada<\/a>:<\/p>\n\n\n\n

\\[x^4-72=x^2\\Rightarrow x^4-x^2-72=0\\]<\/p>\n\n\n\n

Hagamos el cambio de variable \\(x^2=z\\) para obtener una ecuaci\u00f3n de segundo grado<\/a>:<\/p>\n\n\n\n

\\[z^2-z-72=0\\Rightarrow z=\\frac{1\\pm\\sqrt{(-1)^2-4\\cdot1\\cdot(-72)}}{2\\cdot1}=\\frac{1\\pm\\sqrt{1+288}}{2}=\\]<\/p>\n\n\n\n

\\[=\\frac{1\\pm\\sqrt{289}}{2}=\\frac{1\\pm17}{2}=\\begin{cases}z_1=9\\\\z_2=-8\\end{cases}\\]<\/p>\n\n\n\n

Deshaciendo ahora el cambio \\(x^2=z\\) obtenemos las soluciones de para la inc\u00f3gnita \\(x\\). As\u00ed, si \\(z=9\\), entonces tenemos dos soluciones para \\(x\\): \\(x_1=3\\) y \\(x_2=-3\\). Si \\(z=-8\\), la ecuaci\u00f3n \\(x^2=-8\\) no proporciona soluciones reales para \\(x\\). Cada una de las dos soluciones anteriores para \\(x\\), \\(x_1=3\\) y \\(x_2=-3\\), proporcionan sendas soluciones para \\(y\\) sustituyendo en la f\u00f3rmula donde hab\u00edamos despejado la inc\u00f3gnita \\(y\\) al comienzo de este m\u00e9todo de sustituci\u00f3n, \\(y=\\dfrac{6}{x}\\). Es decir si \\(x_1=3\\), entonces \\(y_1=2\\). Y si \\(x_2=-3\\), entonces \\(y_2=-3\\).<\/p>\n\n\n\n

Resumiendo, y escribiendo las soluciones en forma de pares ordenados, el sistema no lineal tiene dos soluciones:<\/p>\n\n\n\n

\\[(3,\\ 2)\\quad\\text{;}\\quad(-3,\\ -2)\\]<\/p>\n\n\n\n

Estos dos puntos del plano son los puntos donde se cortan las curvas \\(x^2-2y^2=1\\), \\(xy=6\\).<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

En esta p\u00e1gina<\/a> puedes encontrar una relaci\u00f3n de ejercicios de sistemas no lineales, entre otras relaciones de ejercicios de matem\u00e1ticas. Contiene las soluciones finales de cada uno de ellos. Adem\u00e1s, tambi\u00e9n hay algunos problemas cuya soluci\u00f3n se obtiene en muchos casos planteando un sistema de ecuaciones no lineal con dos inc\u00f3gnitas.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

La sabidur\u00eda viene de escuchar; de hablar, el arrepentimiento Proverbio italiano Cuando se estudian las matem\u00e1ticas a un nivel b\u00e1sico en la secundaria, una de las cosas que primero se aprende a resolver es una ecuaci\u00f3n de primer grado. A continuaci\u00f3n, se puede introducir sin mucha dificultad el concepto de sistema lineal de dos ecuaciones […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":3095,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":{"0":"post-3092","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","5":"has-post-thumbnail","6":"hentry","7":"category-uncategorized","9":"post-with-thumbnail","10":"post-with-thumbnail-large"},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3092","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=3092"}],"version-history":[{"count":11,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3092\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3500,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3092\/revisions\/3500"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/media\/3095"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=3092"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=3092"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=3092"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}