{"id":3071,"date":"2025-02-21T16:25:41","date_gmt":"2025-02-21T15:25:41","guid":{"rendered":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=3071"},"modified":"2025-02-21T16:29:20","modified_gmt":"2025-02-21T15:29:20","slug":"ecuaciones-con-radicales-o-ecuaciones-irracionales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=3071","title":{"rendered":"Ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales"},"content":{"rendered":"\n

Podr\u00e1n cortar todas las\u00a0flores, pero no podr\u00e1n detener la\u00a0primavera<\/em><\/p>\n\n\n\n

Pablo Neruda<\/a><\/em><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

En este tipo de ecuaciones la inc\u00f3gnita se encuentra bajo el signo radical. Nos vamos a ce\u00f1ir al caso en que la inc\u00f3gnita se encuentra bajo una ra\u00edz cuadrada. Para resolver este tipo de ecuaciones se a\u00edsla la ra\u00edz (o una de las ra\u00edces si hay m\u00e1s de una) en uno de los miembros y luego se elevan los dos miembros al cuadrado. Si la ecuaci\u00f3n original tiene m\u00e1s de una ra\u00edz habr\u00e1 que volver a repetir este proceso.<\/p>\n\n\n\n

En este procedimiento, al elevar al cuadrado ambos miembros de la igualdad, pueden aparecer soluciones que no lo son de la ecuaci\u00f3n original y que, por tanto, habr\u00eda que rechazar. Por ello, en este tipo de ecuaciones es de obligado cumplimiento comprobar todas las soluciones en la ecuaci\u00f3n original y rechazar aqu\u00e9llas que no se adec\u00faen a la misma.<\/p>\n\n\n\n

Lo veremos mejor con un par de ejemplos.<\/p>\n\n\n\n

Ejemplo 1<\/strong><\/p>\n\n\n\n

En este primer ejemplo resolveremos la ecuaci\u00f3n de la imagen superior:\u00a0<\/p>\n\n\n\n

\\[-\\sqrt{2x-3}+1=x\\]<\/p>\n\n\n\n

Aislamos el radical restando uno en los dos miembros. Luego elevamos al cuadrado y resolvemos la ecuaci\u00f3n resultante:<\/p>\n\n\n\n

\\[-\\sqrt{2x-3}=x-1\\Rightarrow \\left(-\\sqrt{2x-3}\\right)^2=(x-1)^2\\Rightarrow 2x-3=x^2-2x+1\\Rightarrow\\]<\/p>\n\n\n\n

\\[\\Rightarrow x^2-4x+4=0\\Rightarrow x=\\frac{4\\pm\\sqrt{(-4)^2-4\\cdot1\\cdot4}}{2\\cdot1}=\\frac{4\\pm\\sqrt{16-16}}{2}=\\frac{4}{2}=2\\]<\/p>\n\n\n\n

La ecuaci\u00f3n de segundo grado anterior se podr\u00eda haber resuelto sin echar mano de la f\u00f3rmula pues:<\/p>\n\n\n\n

\\[x^2-4x+4=0\\Rightarrow(x-2)^2=0\\Rightarrow x-2=0\\Rightarrow x=2\\]<\/p>\n\n\n\n

Ahora comprobamos si esta soluci\u00f3n se cumple en la ecuaci\u00f3n original.<\/p>\n\n\n\n

\\[-\\sqrt{2\\cdot2-3}+1=-\\sqrt{4-3}+1=-\\sqrt{1}+1=-1+1=0\\neq2\\]<\/p>\n\n\n\n

Por tanto \\(x=2\\) no es soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n \\(-\\sqrt{2x-3}+1=x\\). Observa que si la ecuaci\u00f3n original hubiera sido \\(\\sqrt{2x-3}+1=x\\), entonces s\u00ed que \\(x=2\\) ser\u00eda una soluci\u00f3n de esta \u00faltima.<\/p>\n\n\n\n

Ejemplo 2<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Resolver la siguiente ecuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n

\\[\\sqrt{2x-1}+\\sqrt{x+4}=6\\]<\/p>\n\n\n\n

Esta ecuaci\u00f3n tiene dos radicales. Para resolverla aislamos uno de ellos y elevamos al cuadrado. Luego tendremos que volver a repetir el proceso.<\/p>\n\n\n\n

\\[\\sqrt{2x-1}+\\sqrt{x+4}=6\\Rightarrow\\sqrt{2x-1}=6-\\sqrt{x+4}\\Rightarrow (\\sqrt{2x-1})^2=(6-\\sqrt{x+4})^2\\Rightarrow\\]<\/p>\n\n\n\n

\\[\\Rightarrow2x-1=36-12\\sqrt{x+4}+x+4\\Rightarrow12\\sqrt{x+4}=41-x\\]<\/p>\n\n\n\n

Observa que, tras aislar el primer radical y elevar ambos miembros al cuadrado, la ecuaci\u00f3n todav\u00eda tiene un radical en el que se encuentra la inc\u00f3gnita. Pues bien, este lo hemos pasado al primer miembro y el resto de t\u00e9rminos al segundo, reduciendo los que son semejantes. Ahora volvemos a elevar al cuadrado.<\/p>\n\n\n\n

\\[(12\\sqrt{x+4})^2=(41-x)^2\\Rightarrow 144(x+4)=1681-82x+x^2\\Rightarrow\\]<\/p>\n\n\n\n

\\[\\Rightarrow144x+576=1681-82x+x^2\\Rightarrow x^2-226x+1105=0\\Rightarrow\\]<\/p>\n\n\n\n

\\[x=\\frac{226\\pm\\sqrt{(-226)^2-4\\cdot1\\cdot1105}}{2\\cdot1}=\\frac{51076\\pm\\sqrt{4420}}{2}=\\frac{226\\pm\\sqrt{46656}}{2}=\\]<\/p>\n\n\n\n

\\[=\\frac{226\\pm216}{2}=\\begin{cases}x_1=\\frac{442}{2}\\Rightarrow x_1=221\\\\x_2=\\frac{10}{2}\\Rightarrow x_2=5\\end{cases}\\]<\/p>\n\n\n\n

Comprobemos ahora si estos valores verifican o no la ecuaci\u00f3n original:<\/p>\n\n\n\n

\\[\\sqrt{2\\cdot221-1}+\\sqrt{221+4}=\\sqrt{441}+\\sqrt{225}=21+15=36\\neq6\\]<\/p>\n\n\n\n

\\[\\sqrt{2\\cdot5-1}+\\sqrt{5+4}=\\sqrt{9}+\\sqrt{9}=3+3=6\\]<\/p>\n\n\n\n

Por tanto la \u00fanica soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n original, \\(\\sqrt{2x-1}+\\sqrt{x+4}=6\\), es \\(x=5\\).<\/p>\n\n\n\n

Te propongo, finalmente, que intentes resolver las siguientes ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales:<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> \\(\\sqrt{5x+6}=3+2x\\)<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> \\(x+\\sqrt{7-3x}=1\\)<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> \\(\\sqrt{2-5x}+x\\sqrt{3}=0\\)<\/p>\n\n\n\n

d) <\/strong>\\(\\sqrt{2x}+\\sqrt{5x-6}=4\\)<\/p>\n\n\n\n

e)<\/strong> \\(\\sqrt{3x+3}-1=\\sqrt{8-2x}\\)<\/p>\n\n\n\n

f) <\/strong>\\(\\sqrt{\\dfrac{7x+1}{4}}=\\dfrac{5x-7}{6}\\)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Podr\u00e1n cortar todas las\u00a0flores, pero no podr\u00e1n detener la\u00a0primavera Pablo Neruda En este tipo de ecuaciones la inc\u00f3gnita se encuentra bajo el signo radical. Nos vamos a ce\u00f1ir al caso en que la inc\u00f3gnita se encuentra bajo una ra\u00edz cuadrada. Para resolver este tipo de ecuaciones se a\u00edsla la ra\u00edz (o una de las ra\u00edces […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":3068,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":{"0":"post-3071","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","5":"has-post-thumbnail","6":"hentry","7":"category-uncategorized","9":"post-with-thumbnail","10":"post-with-thumbnail-large"},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3071","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=3071"}],"version-history":[{"count":11,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3071\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3090,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3071\/revisions\/3090"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/media\/3068"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=3071"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=3071"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=3071"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}