{"id":3050,"date":"2025-02-20T21:18:12","date_gmt":"2025-02-20T20:18:12","guid":{"rendered":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=3050"},"modified":"2025-02-21T15:42:36","modified_gmt":"2025-02-21T14:42:36","slug":"ecuaciones-bicuadradas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=3050","title":{"rendered":"Ecuaciones bicuadradas"},"content":{"rendered":"\n

\u00bfPara qu\u00e9 repetir los errores antiguos habiendo tantos errores nuevos que cometer?<\/em><\/p>\n\n\n\n

Bertrand Russell<\/a><\/em><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Una ecuaci\u00f3n bicuadrada es una ecuaci\u00f3n de cuarto grado a la que le faltan los t\u00e9rminos de grado impar.<\/p>\n\n\n\n

\\[ax^4+bx^2+c=0\\quad a\\neq0\\]<\/p>\n\n\n\n

Para resolverlas se realiza el cambio de variable \\(x^2=z\\), y entonces ocurre lo siguiente:<\/p>\n\n\n\n

\\[ax^4+bx^2+c=0\\Rightarrow a\\left(x^2\\right)^2+bx^2+c=0\\Rightarrow az^2+bz+c=0\\]<\/p>\n\n\n\n

Esta \u00faltima es una ecuaci\u00f3n de segundo grado<\/a> cuya inc\u00f3gnita es ahora \\(z\\). Ahora, para obtener las soluciones de la ecuaci\u00f3n original hay que deshacer el cambio.<\/p>\n\n\n\n

Es decir, si \\(z\\) es una soluci\u00f3n positiva de la \u00faltima ecuaci\u00f3n de segundo grado, tendremos dos soluciones \\(x_1\\) y \\(x_2\\) para la bicuadrada:<\/p>\n\n\n\n

\\[x^2=z\\Rightarrow\\begin{cases}x_1=+\\sqrt{z}\\\\x_2=-\\sqrt{z}\\end{cases}\\]<\/p>\n\n\n\n

En el caso de que \\(z=0\\) sea una soluci\u00f3n de la de segundo grado, tambi\u00e9n \\(x=0\\) ser\u00e1 una soluci\u00f3n de la bicuadrada, pues de \\(x^2=0\\) se deduce \\(x=0\\).<\/p>\n\n\n\n

Finalmente, una soluci\u00f3n negativa \\(z\\) de \\(az^2+bz+c=0\\) no lleva asociada ninguna soluci\u00f3n real de la bicuadrada ya que la ecuaci\u00f3n \\(x^2=z\\) carece de soluciones reales al ser \\(z<0\\).<\/p>\n\n\n\n

Mejor veamos todo lo anterior con un ejemplo concreto.<\/p>\n\n\n\n

Para resolver la ecuaci\u00f3n de la imagen que encabeza este art\u00edculo, \\(x^4-10x^2+9=0\\), realizamos el cambio de variable mencionado, \\(x^2=z\\), con lo que la ecuaci\u00f3n bicuadrada se convierte en la ecuaci\u00f3n de segundo grado \\(z^2-10z+9=0\\). Resolviendo esta \u00faltima se tiene:<\/p>\n\n\n\n

\\[z=\\frac{10\\pm\\sqrt{(-10)^2-4\\cdot1\\cdot9}}{2\\cdot1}=\\frac{10\\pm\\sqrt{100-36}}{2}=\\frac{10\\pm\\sqrt{64}}{2}=\\]<\/p>\n\n\n\n

\\[=\\frac{10\\pm8}{2}=\\begin{cases}z_1=\\displaystyle\\frac{10+8}{2}\\Rightarrow z_1=9\\\\z_2=\\displaystyle\\frac{10-8}{2}\\Rightarrow z_2=1\\end{cases}\\]<\/p>\n\n\n\n

Ahora deshacemos el cambio para obtener las soluciones de la ecuaci\u00f3n bicuadrada.<\/p>\n\n\n\n

Para \\(z_1=9\\) es \\(x^2=9\\Rightarrow x=\\sqrt{9}\\Rightarrow\\displaystyle\\begin{cases}x_1=3\\\\x_2=-3\\end{cases}\\).<\/p>\n\n\n\n

Para \\(z_2=1\\) es \\(x^2=1\\Rightarrow x=\\sqrt{1}\\Rightarrow\\displaystyle\\begin{cases}x_3=1\\\\x_4=-1\\end{cases}\\).<\/p>\n\n\n\n

Te propongo, finalmente, que resuelvas las siguientes ecuaciones:<\/p>\n\n\n\n

a) <\/strong>\\(x^4-9x^2+20=0\\)<\/p>\n\n\n\n

b) <\/strong>\\(4x^4-5x^2+1=0\\)<\/p>\n\n\n\n

c) <\/strong>\\(x^4-18x^2+81=0\\)<\/p>\n\n\n\n

d) <\/strong>\\(\\left(x^2+1\\right)^2+6=5(x^2+1)\\)<\/p>\n\n\n\n

e) <\/strong>\\(\\left(2x^2+1\\right)^2-5=(x^2+2)(x^2-2)\\)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

\u00bfPara qu\u00e9 repetir los errores antiguos habiendo tantos errores nuevos que cometer? Bertrand Russell Una ecuaci\u00f3n bicuadrada es una ecuaci\u00f3n de cuarto grado a la que le faltan los t\u00e9rminos de grado impar. \\[ax^4+bx^2+c=0\\quad a\\neq0\\] Para resolverlas se realiza el cambio de variable \\(x^2=z\\), y entonces ocurre lo siguiente: \\[ax^4+bx^2+c=0\\Rightarrow a\\left(x^2\\right)^2+bx^2+c=0\\Rightarrow az^2+bz+c=0\\] Esta \u00faltima es […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":3052,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-3050","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-uncategorized","post-with-thumbnail","post-with-thumbnail-large"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3050","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=3050"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3050\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3070,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3050\/revisions\/3070"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/media\/3052"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=3050"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=3050"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=3050"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}