{"id":3010,"date":"2025-02-20T16:13:56","date_gmt":"2025-02-20T14:13:56","guid":{"rendered":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=3010"},"modified":"2025-02-22T12:24:50","modified_gmt":"2025-02-22T11:24:50","slug":"ecuaciones-de-segundo-grado-y-de-grado-superior","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=3010","title":{"rendered":"Ecuaciones de segundo grado y de grado superior"},"content":{"rendered":"\n

El modo de dar una vez en el clavo es dar cien veces en la herradura<\/em><\/p>\n\n\n\n

Miguel de Unamuno<\/a><\/em><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Dado un polinomio de grado \\(n\\),<\/p>\n\n\n\n

\\[p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\\ldots+a_2x^2+a_1x^1+a_0\\, ,\\ a_n\\neq0\\]<\/p>\n\n\n\n

nos planteamos como objetivo resolver la ecuaci\u00f3n<\/p>\n\n\n\n

\\[p(x)=0\\]<\/p>\n\n\n\n

Si \\(n=1\\) la ecuaci\u00f3n anterior es de primer grado<\/strong> y la podemos escribir de la forma <\/p>\n\n\n\n

\\[ax+b=0\\] <\/p>\n\n\n\n

con \\(a\\neq0\\), cuya soluci\u00f3n es <\/p>\n\n\n\n

\\[\\displaystyle x=-\\frac{b}{a}\\]<\/p>\n\n\n\n

Si \\(n=2\\) la ecuaci\u00f3n toma la forma de la conocida ecuaci\u00f3n de segundo grado<\/strong>: <\/p>\n\n\n\n

\\[ax^2+bx+c=0\\, ,\\ a\\neq0\\]<\/p>\n\n\n\n

Esta secci\u00f3n no es de necesaria lectura para alumnos de 4\u00ba de ESO.<\/summary>\n

Una manera de obtener la soluci\u00f3n se expone a continuaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

Multiplicando por \\(4a\\) los dos miembros de la igualdad obtenemos:<\/p>\n\n\n\n

\\[4a^2x^2+4abx+4ac=0\\]<\/p>\n\n\n\n

Sumando y restando \\(b^2\\) en el primer miembro podemos escribir:<\/p>\n\n\n\n

\\[\\left(4a^2x^2+4abx+b^2\\right)-b^2+4ac=0\\]<\/p>\n\n\n\n

Obs\u00e9rvese que lo que hay en el interior del par\u00e9ntesis es el cuadrado de la suma \\(2ax+b\\). Por tanto, la ecuaci\u00f3n anterior la podemos escribir ahora as\u00ed:<\/p>\n\n\n\n

\\[\\left(2ax+b\\right)^2=b^2-4ac\\]<\/p>\n\n\n\n

Teniendo en cuenta que las soluciones de la ecuaci\u00f3n \\(x^2=a\\) son \\(x=\\pm\\sqrt{a}\\), se deduce ahora f\u00e1cilmente que:<\/p>\n\n\n\n

\\[2ax+b=\\pm\\sqrt{b^2-4ac}\\]<\/p>\n\n\n\n

Despejando \\(x\\):<\/p>\n\n\n\n

\\[x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\]<\/p>\n\n\n\n

\n<\/details>\n\n\n\n

Para hallar las soluciones se aplica la siguiente f\u00f3rmula:<\/p>\n\n\n\n

\\[x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\]<\/p>\n\n\n\n

En la f\u00f3rmula anterior, la expresi\u00f3n \\(b^2-4ac\\,\\) recibe el nombre de discriminante<\/strong> de la ecuaci\u00f3n de segundo grado y se le suele denotar con la letra griega delta may\u00fascula: \\(\\Delta=b^2-4ac\\). Si \\(\\Delta>0\\) la ecuaci\u00f3n de segundo grado tienen dos soluciones reales, si \\(\\Delta=0\\) tiene s\u00f3lo una (doble) y , finalmente, si \\(\\Delta<0\\) la ecuaci\u00f3n no tiene ra\u00edces reales.<\/p>\n\n\n\n

Como ejemplo, resolvamos la siguiente ecuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n

\\[\\displaystyle \\frac{2x^2+x}{2}-\\frac{6x+3}{8}=\\frac{x}{2}\\]<\/p>\n\n\n\n

En primer lugar, para eliminar los denominadores, multiplicamos todos los t\u00e9rminos por el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los denominadores, que es \\(8\\):<\/span><\/p>\n\n\n\n

$$8\\cdot\\frac{2x^2+x}{2}-8\\cdot\\frac{6x+3}{8}=8\\cdot\\frac{x}{2}\\Rightarrow$$<\/p>\n\n\n\n

$$\\Rightarrow 4(2x^2+x)-1(6x+3)=4x\\Rightarrow 8x^2+4x-6x-3=4x$$<\/p>\n\n\n\n

Ahora pasamos todos los t\u00e9rminos al primer miembro para obtener una ecuaci\u00f3n de segundo grado en su forma general:<\/span><\/p>\n\n\n\n

\\[8x^2+4x-6x-3-4x=0\\Rightarrow 8x^2-6x-3=0\\]<\/span><\/p>\n\n\n\n

Y, finalmente aplicamos la f\u00f3rmula para obtener las soluciones de la ecuaci\u00f3n de segundo grado. Tendremos en cuenta que los coeficientes son \\(a=8\\), \\(b=-6\\), \\(c=-3\\).<\/span><\/p>\n\n\n\n

\\[x=\\frac{-(-6)\\pm\\sqrt{(-6)^2-4\\cdot8\\cdot(-3)}}{2\\cdot8}=\\frac{6\\pm\\sqrt{36-(-96)}}{16}=\\frac{6\\pm\\sqrt{132}}{16}=\\]<\/span><\/p>\n\n\n\n

\\[=\\frac{6\\pm2\\sqrt{33}}{16}=\\begin{cases}\\displaystyle x_1=\\frac{6+2\\sqrt{33}}{16}=\\frac{3+\\sqrt{33}}{8}\\cong1,093\\\\\\displaystyle x_2=\\frac{6-2\\sqrt{33}}{16}=\\frac{3-\\sqrt{33}}{8}\\cong-0,343 \\end{cases}\\]<\/span><\/p>\n\n\n\n

Esta secci\u00f3n no es de necesaria lectura para alumnos de 4\u00ba de ESO.<\/summary>\n

Si el grado del polinomio \\(p(x)\\) es tres o cuatro nos encontramos con ecuaciones c\u00fabicas y cu\u00e1rticas<\/strong>. Las f\u00f3rmulas y resoluci\u00f3n de este tipo de ecuaciones escapa a los objetivos de las matem\u00e1ticas de secundaria y bachillerato. En cualquier caso, para alumnos que cursen estudios universitarios, recomiendo el sititio Web de Carlos Iborra<\/a> y sus apuntes sobre las f\u00f3rmulas de Cardano-Ferrari<\/a>. Transcribo aqu\u00ed un parrafo que aparece al principio de tales apuntes.<\/span><\/p>\n\n\n\n

Tambi\u00e9n es conocido que Tartaglia<\/a> y Cardano<\/a> encontraron una f\u00f3rmula an\u00e1loga para ecuaciones c\u00fabicas (en la que aparecen ra\u00edces c\u00fabicas adem\u00e1s de cuadradadas) y que Ferrari<\/a> encontr\u00f3 otra m\u00e1s compleja para ecuaciones cu\u00e1rticas. En realidad, m\u00e1s que f\u00f3rmulas, encontraron m\u00e9todos de resoluci\u00f3n que pueden resumirse en sendas f\u00f3rmulas, si bien en el caso de las ecuaciones cu\u00e1rticas, la f\u00f3rmula es tan compleja que resulta inmanejable, y es preferible describir el proceso de resoluci\u00f3n como un algoritmo de varios pasos. Por \u00faltimo, Abel<\/a> demostr\u00f3 que, para \\(n>4\\), no existen f\u00f3rmulas an\u00e1logas que expresen las ra\u00edces de la ecuaci\u00f3n general de grado \\(n\\) en funci\u00f3n de sus coeficientes a trav\u00e9s de sumas, productos, cocientes y extracci\u00f3n de ra\u00edces, lo que convierte a las f\u00f3rmulas de Cardano-Ferrari en dos singularidades algebraicas.<\/p>\n\n\n\n

\n<\/details>\n\n\n\n

En la materia de matem\u00e1ticas de 4\u00ba de ESO (Educaci\u00f3n Secundaria Obligatoria) se resuelven algunas ecuaciones polin\u00f3micas de grado superior a tres, siempre y cuando algunas de sus ra\u00edces sean enteras (recu\u00e9rdese que decir ra\u00edz de un polinomio<\/strong> es lo mismo que decir soluci\u00f3n de la correspondiente ecuaci\u00f3n polin\u00f3mica, es m\u00e1s, a veces se utiliza el t\u00e9rmino ra\u00edz en vez del t\u00e9rmino soluci\u00f3n de una ecuaci\u00f3n). <\/span><\/p>\n\n\n\n

Para resolver estas ecuaciones polin\u00f3micas de grado superior a tres se utiliza la conocida regla de Ruffini<\/a><\/strong> y el teorema del resto<\/strong>, seg\u00fan el cual, el resto \\(r\\) de dividir un polinomio \\(p(x)\\) entre el binomio \\(x-a\\) coincide con el valor num\u00e9rico para \\(x=a\\), es decir, \\(r=p(a)\\). En particular, si \\(x=a\\) es una ra\u00edz de \\(p(x)\\), tenemos que \\(p(a)=0\\) y consecuentemente el resto de dividir \\(p(x)\\) entre \\(x-a\\) ser\u00e1 igual a \\(0\\). As\u00ed pues el polinomio \\(p(x)\\) factoriza de la forma \\(p(x)=(x-a)c(x)\\), donde \\(c(x)\\) es el cociente de la divisi\u00f3n. Podemos buscar ahora las ra\u00edces de \\(c(x)\\) y continuar con el proceso. Hay un importante resultado seg\u00fan el cual las posibles ra\u00edces enteras de un polinomio \\(p(x)\\) se encuentran entre los divisores del t\u00e9rmino independiente. De este modo es f\u00e1cil encontrar las ra\u00edces enteras de un polinomio (incluso algunas m\u00e1s que no sean enteras), y por tanto las soluciones (o ra\u00edces) de la correspondiente ecuaci\u00f3n polin\u00f3mica. Adem\u00e1s tendremos una descomposici\u00f3n del polinomio en factores. Ve\u00e1moslo en el siguiente ejemplo.<\/span><\/p>\n\n\n\n

Resolver la siguiente ecuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n

\\[x^7+2x^6-5x^5-19x^4-26x^3-19x^2-6x=0\\]<\/p>\n\n\n\n

Las soluciones de la ecuaci\u00f3n son las ra\u00edces del polinomio<\/p>\n\n\n\n

\\[x^7+2x^6-5x^5-19x^4-26x^3-19x^2-6x\\]<\/p>\n\n\n\n

Una ra\u00edz es claramente \\(x=0\\) (el t\u00e9rmino independiente del polinomio es cero). Extrayendo factor com\u00fan tenemos:<\/p>\n\n\n\n

\\[x(x^6+2x^5-5x^4-19x^3-26x^2-19x-6)\\]<\/p>\n\n\n\n

Ahora factorizamos el polinomio \\(x^6+2x^5-5x^4-19x^3-26x^2-19x-6\\). Para ello utilizamos la regla de Ruffini probando con los divisores del t\u00e9rmino independiente: \\(\\text{Div}(-6)=\\{\\pm1\\,\\pm2\\,\\pm3\\,\\pm6\\}\\).<\/p>\n\n\n\n

$$\\begin{array}{r|rrrrrrr} & 1 & 2 & -5 & -19 & -26 & -19 & -6 \\\\ -1 & & -1 & -1 & 6 & 13 & 13 & 6\\\\ \\hline & 1 & 1 & -6 & -13 & -13 & -6 & 0 \\\\ -1 & & -1 & 0 & 6 & 7 & 6 & \\\\ \\hline & 1 & 0 & -6 & -7 & -6 & 0 & \\\\ -2 & & -2 & 4 & 4 & 6 & & \\\\ \\hline & 1 & -2 & -2 & -3 & 0 & & \\\\ 3 & & 3 & 3 & 3 & & & \\\\ \\hline & 1 & 1 & 1 & 0 & & & \\end{array}$$<\/p>\n\n\n\n

Si seguimos probando con el resto de divisores del t\u00e9rmino independiente no volvemos a obtener resto cero. Esto quiere decir que las ra\u00edces enteras del polinomio son \\(-1\\) (doble), \\(-2\\) y \\(3\\), y que la factorizaci\u00f3n del polinomio queda de la forma:<\/p>\n\n\n\n

\\[x^7+2x^6-5x^5-19x^4-26x^3-19x^2-6x=x(x+1)^2(x+2)(x-3)(x^2+x+1)\\]<\/p>\n\n\n\n

El resto de ra\u00edces habr\u00eda que encontrarlas resolviendo la ecuaci\u00f3n de segundo grado \\(x^2+x+1=0\\), ecuaci\u00f3n que no tiene soluciones reales pues su discriminante es menor que cero:<\/p>\n\n\n\n

\\[\\Delta=1^2-4\\cdot1\\cdot1=1-4=-3<0\\]<\/p>\n\n\n\n

De todo lo anterior se desprende que las soluciones de la ecuaci\u00f3n <\/p>\n\n\n\n

\\[x^7+2x^6-5x^5-19x^4-26x^3-19x^2-6x=0\\]<\/p>\n\n\n\n

son:<\/p>\n\n\n\n

\\[x_1=0\\, ,\\ x_2=-1\\, \\text{(doble)}\\, ,\\ x_3=-2\\, ,\\ x_4=3\\]<\/p>\n\n\n\n

Seg\u00fan lo comentado anteriormente, cada vez que encontremos una ra\u00edz entera \\(a\\), tendremos que \\(x-a\\) es un factor del polinomio \\(p(x)\\). Si \\(a\\) vuelve a ser ra\u00edz del cociente obtenido se dice que es una ra\u00edz doble y \\(x-a\\) volver\u00e1 a ser un factor del polinomio original \\(p(x)\\). De este modo una ra\u00edz puede ser simple, doble, triple, etc\u00e9tera.<\/p>\n\n\n\n

Esta secci\u00f3n no es de necesaria lectura para alumnos de 4\u00ba de ESO.<\/summary>\n

Seg\u00fan el teorema fundamental del \u00e1lgebra<\/a><\/strong>, todo polinomio de grado \\(n\\) tiene \\(n\\) ra\u00edces. Pero no todas ellas tienen que ser reales, algunas pueden ser ra\u00edces complejas<\/strong>. Adem\u00e1s, est\u00e1s \u00faltimas, siempre aparecen en parejas de n\u00fameros complejos conjugados. Como la teor\u00eda de n\u00fameros complejos<\/a><\/strong> no se estudia en las matem\u00e1ticas de la Educaci\u00f3n Secundaria Obligatoria (si acaso se ven \u00abde pasada\u00bb en la materia Matem\u00e1ticas I, de 1\u00ba de Bachillerato Cient\u00edfico-Tecnol\u00f3gico), podremos factorizar un polinomio obteniendo factores de grado uno de la forma \\(x-a\\) y de grado dos de la forma \\(x^2+bx+c\\) que no tengan ra\u00edces reales, llamados polinomos irreducibles. A no ser que el polinomio tenga varias parejas de ra\u00edces complejas conjugadas y entonces, a un nivel de matem\u00e1ticas de Secundaria o Bachillerato, habremos de incluir factores irreducibles de grado par mayor que dos. No ser\u00e1 este el caso que nos ocupe, desde luego, en el caso particular de las matem\u00e1ticas de 4\u00ba de ESO.<\/p>\n\n\n\n

En cualquier caso finalizaremos la factorizaci\u00f3n del ejemplo anterior resolviendo la ecuaci\u00f3n \\(x^2+x+1=0\\) y llamando \\(i=\\sqrt{-1}\\), que es la unidad imaginaria<\/a><\/strong>, el n\u00famero complejo m\u00e1s conocido y desde el que parte toda la teor\u00eda de n\u00fameros complejos. Entre otras cosas porque cualquier estudiante de secundaria que conozca la ecuaci\u00f3n de segundo grado es capaz de entender perfectamente este proceso y, al menos, nos habremos acercado un poco a los n\u00fameros complejos.<\/p>\n\n\n\n

Resolvamos, finalmente, la ecuaci\u00f3n <\/p>\n\n\n\n

\\[x^2+x+1=0\\]<\/p>\n\n\n\n

En este caso los coeficientes son \\(a=b=c=1\\). Por tanto:<\/p>\n\n\n\n

\\[x=\\frac{-1\\pm\\sqrt{1^2-4\\cdot1\\cdot1}}{2\\cdot1}=\\frac{-1\\pm\\sqrt{1-4}}{2}=\\frac{-1\\pm\\sqrt{-3}}{2}=\\]<\/p>\n\n\n\n

\\[=\\frac{-1\\pm\\sqrt{3}\\sqrt{-1}}{2}=\\frac{-1\\pm\\sqrt{3}i}{2}=\\begin{cases}\\displaystyle x_1=\\frac{-1+\\sqrt{3}i}{2}=-\\frac{1}{2}+\\frac{\\sqrt{3}}{2}i\\\\ \\displaystyle x_2=\\frac{-1-\\sqrt{3}i}{2}=-\\frac{1}{2}-\\frac{\\sqrt{3}}{2}i\\end{cases}\\]<\/p>\n\n\n\n

Las soluciones anteriores (obs\u00e9rvese que son conjugadas, una es de la forma \\(x_1=p+q\\) y otra de la forma \\(x_2=p-q\\)) son tambi\u00e9n las ra\u00edces del polinomio \\(x^2+x+1\\). Esto quiere decir que el polinomio factoriza de la forma \\((x-x_1)(x-x_2)\\), es decir:<\/p>\n\n\n\n

\\[x^2+x+1=\\left(x-\\left(-\\frac{1}{2}+\\frac{\\sqrt{3}}{2}i\\right)\\right)\\left(x-\\left(-\\frac{1}{2}-\\frac{\\sqrt{3}}{2}i\\right)\\right)=\\]<\/p>\n\n\n\n

\\[=\\left(x+\\frac{1}{2}-\\frac{\\sqrt{3}}{2}i\\right)\\left(x+\\frac{1}{2}+\\frac{\\sqrt{3}}{2}i\\right)\\]<\/p>\n\n\n\n

\n<\/details>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

El modo de dar una vez en el clavo es dar cien veces en la herradura Miguel de Unamuno Dado un polinomio de grado \\(n\\), \\[p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\\ldots+a_2x^2+a_1x^1+a_0\\, ,\\ a_n\\neq0\\] nos planteamos como objetivo resolver la ecuaci\u00f3n \\[p(x)=0\\] Si \\(n=1\\) la ecuaci\u00f3n anterior es de primer grado y la podemos escribir de la forma \\[ax+b=0\\] con \\(a\\neq0\\), cuya soluci\u00f3n es […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":3041,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":{"0":"post-3010","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","5":"has-post-thumbnail","6":"hentry","7":"category-uncategorized","9":"post-with-thumbnail","10":"post-with-thumbnail-large"},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3010","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=3010"}],"version-history":[{"count":34,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3010\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3104,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3010\/revisions\/3104"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/media\/3041"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=3010"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=3010"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=3010"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}