{"id":2910,"date":"2025-02-18T14:50:04","date_gmt":"2025-02-18T12:50:04","guid":{"rendered":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=2910"},"modified":"2025-02-21T16:46:21","modified_gmt":"2025-02-21T15:46:21","slug":"ecuaciones-con-la-incognita-en-el-denominador","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=2910","title":{"rendered":"Ecuaciones con la inc\u00f3gnita en el denominador o ecuaciones racionales"},"content":{"rendered":"\n

Las ecuaciones son m\u00e1s importantes para m\u00ed que la pol\u00edtica, porque la\u00a0pol\u00edtica\u00a0es para el momento actual, pero una ecuaci\u00f3n es para la\u00a0eternidad<\/em><\/p>\n\n\n\n

Albert Einstein<\/a><\/em><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Si algunos de los t\u00e9rminos de una ecuaci\u00f3n contienen denominadores en los que aparecen expresiones algebraicas incluyendo la inc\u00f3gnita que se pretende despejar, se pueden suprimir multiplicando todos los t\u00e9rminos por el producto de todos ellos o, mejor a\u00fan, por su m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo. Una vez eliminados los denominadores, la ecuaci\u00f3n a la que se llega puede ser de las que se saben resolver a un nivel, digamos, de matem\u00e1ticas de cuarto de Educaci\u00f3n Secundaria Obligatoria, es decir, una ecuaci\u00f3n de primer o de segundo grado, una bicuadrada o incluso una ecuaci\u00f3n con radicales.<\/p>\n\n\n\n

Resolvamos, como ejemplo, la ecuaci\u00f3n de la imagen superior.<\/p>\n\n\n\n

\\[\\frac{x+1}{x^2-2x}+\\frac{x-1}{x}=2\\]<\/p>\n\n\n\n

Para obtener el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los denominadores debemos factorizar el primero de ellos: \\(x^2-2x=x(x-2)\\). Entonces la ecuaci\u00f3n es equivalente a esta otra:<\/p>\n\n\n\n

\\[\\frac{x+1}{x(x-2)}+\\frac{x-1}{x}=2\\]<\/p>\n\n\n\n

Ahora es f\u00e1cil darse cuenta de que el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los denominadores es, precisamente, \\(x^2-2x=x(x-2)\\). Multipliquemos por \u00e9l todos los t\u00e9rminos.<\/p>\n\n\n\n

$$x(x-2)\\cdot\\frac{x+1}{x(x-2)}+x(x-2)\\cdot\\frac{x-1}{x}=x(x-2)\\cdot2\\Rightarrow$$ <\/p>\n\n\n\n

$$\\Rightarrow x+1+(x-2)(x-1)=2x(x-2)$$<\/p>\n\n\n\n

Operando y reduciendo t\u00e9rminos semejantes nos queda una ecuaci\u00f3n de segundo grado:<\/p>\n\n\n\n

$$x+1+x^2-x-2x+2=2x^2-4x\\Rightarrow -x^2+2x+3=0\\Rightarrow$$<\/p>\n\n\n\n

$$\\Rightarrow x=\\frac{-2\\pm\\sqrt{2^2-4\\cdot(-1)\\cdot3}}{2\\cdot(-1)}=$$<\/p>\n\n\n\n

\\[=\\frac{-2\\pm\\sqrt{4+12}}{-2}=\\frac{-2\\pm\\sqrt{16}}{-2}=\\frac{-2\\pm4}{-2}=\\begin{cases}x_1=\\dfrac{-2+4}{-2}\\Rightarrow x_1=-1\\\\x_2=\\dfrac{-2-4}{-2}\\Rightarrow x_2=3 \\end{cases}\\]<\/p>\n\n\n\n

Veamos que ambas soluciones satisfacen la ecuaci\u00f3n original.<\/p>\n\n\n\n

\\[\\frac{-1+1}{(-1)^2-2\\cdot(-1)}+\\frac{-1-1}{-1}=\\frac{0}{3}+\\frac{-2}{-1}=0+2=2\\]<\/p>\n\n\n\n

\\[\\frac{3+1}{3^2-2\\cdot3}+\\frac{3-1}{3}=\\frac{4}{3}+\\frac{2}{3}=\\frac{6}{3}=2\\]<\/p>\n\n\n\n

Te propongo, finalmente, que resuelvas las siguientes ecuaciones con la inc\u00f3gnita en el denominador.<\/p>\n\n\n\n

a) <\/strong>\\(\\dfrac{x}{x-1}+\\dfrac{2x}{x+1}=3\\)<\/p>\n\n\n\n

b) <\/strong>\\(\\dfrac{5}{x+2}+\\dfrac{x}{x+3}=\\dfrac{3}{2}\\)<\/p>\n\n\n\n

c) <\/strong>\\(\\dfrac{1}{x}+\\dfrac{1}{x^2}=\\dfrac{3}{4}\\)<\/p>\n\n\n\n

d) <\/strong>\\(\\dfrac{x+1}{x+5}+\\dfrac{1-x}{x-4}=\\dfrac{5}{2}\\)<\/p>\n\n\n\n

e) <\/strong>\\(\\dfrac{x+7}{x+3}+\\dfrac{x^2-3x+6}{x^2+2x-3}=1\\)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Las ecuaciones son m\u00e1s importantes para m\u00ed que la pol\u00edtica, porque la\u00a0pol\u00edtica\u00a0es para el momento actual, pero una ecuaci\u00f3n es para la\u00a0eternidad Albert Einstein Si algunos de los t\u00e9rminos de una ecuaci\u00f3n contienen denominadores en los que aparecen expresiones algebraicas incluyendo la inc\u00f3gnita que se pretende despejar, se pueden suprimir multiplicando todos los t\u00e9rminos por […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":2916,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[46,34],"tags":[],"class_list":{"0":"post-2910","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","5":"has-post-thumbnail","6":"hentry","7":"category-algebra-eso","8":"category-eso","10":"post-with-thumbnail","11":"post-with-thumbnail-large"},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2910","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=2910"}],"version-history":[{"count":6,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2910\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3101,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2910\/revisions\/3101"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/media\/2916"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=2910"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=2910"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=2910"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}