{"id":2867,"date":"2025-02-17T13:44:02","date_gmt":"2025-02-17T11:44:02","guid":{"rendered":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=2867"},"modified":"2025-02-23T23:14:57","modified_gmt":"2025-02-23T22:14:57","slug":"ecuaciones-matriciales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=2867","title":{"rendered":"Ecuaciones matriciales"},"content":{"rendered":"\n

Adoramos el caos porque amamos producir orden<\/em><\/p>\n\n\n\n

M. C. Escher<\/a><\/em><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Un ecuaci\u00f3n matricial<\/em><\/strong> es una ecuaci\u00f3n donde la inc\u00f3gnita es una matriz. La ecuaci\u00f3n matricial m\u00e1s sencilla es de la forma $AX=B$, donde $A$ es una matriz cuadrada, $B$ es otra matriz y $X$ es la matriz inc\u00f3gnita. La ecuaci\u00f3n de primer grado m\u00e1s sencilla tambi\u00e9n es $ax=b$, donde $a$ y $b$ son n\u00fameros reales y $x$ es la inc\u00f3gnita. Si $a\\neq0$, la soluci\u00f3n es $x=\\frac{b}{a}$. Si $a=0$, tenemos que $0x=0$, con lo que $b=0$ y cualquier n\u00famero $x$ es soluci\u00f3n. Por eso, si $a=0$, la ecuaci\u00f3n no tiene inter\u00e9s alguno. Centr\u00e9monos pues en el caso $a\\neq0$. \u00bfPor qu\u00e9 $x=\\frac{b}{a}$ es soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n? No es dif\u00edcil de demostrar. Sabemos que si $a\\neq0$, el n\u00famero $a$ tiene inverso, $a^{-1}=\\frac{1}{a}$. El inverso de un n\u00famero $a\\neq0$, tiene la caracter\u00edstica de que al multiplicarlo por $a$ se obtiene el n\u00famero $1$ (el uno es el elemento neutro de la multiplicaci\u00f3n de n\u00fameros reales). De este modo:<\/p>\n\n\n\n

$$ax = b \\Leftrightarrow {a^{ – 1}}ax = {a^{ – 1}}b \\Leftrightarrow 1x = \\frac{1}{a}b \\Leftrightarrow x = \\frac{b}{a}$$<\/p>\n\n\n\n

As\u00ed, por ejemplo, la soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n $-3x=4$ es $x=\\frac{4}{-3}=-\\frac{4}{3}$. Nos han ense\u00f1ado que \u201clo que est\u00e1 multiplicando pasa al otro miembro dividiendo\u201d. Esta regla tan extendida deber\u00eda de usarse menos. En realidad, lo que se hace es dividir los dos miembros de la igualdad entre $-3$ o, mejor, multiplicar los dos miembros de la igualdad por el inverso de $-3$, que es ${\\left( { – 3} \\right)^{ – 1}} = \\frac{1}{{ – 3}} = – \\frac{1}{3}$. Esta es la propiedad que realmente deber\u00edamos de retener: \u201csi multiplicamos o dividimos los dos miembros de una igualdad por un mismo n\u00famero (distinto de cero en el caso de que dividamos), la igualdad se mantiene o no var\u00eda\u201d<\/em><\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Como no sabemos dividir matrices, s\u00ed que podemos proceder como anteriormente, multiplicando a la izquierda de ambos miembros por $A^{-1}$, para resolver la ecuaci\u00f3n $AX=B$:<\/p>\n\n\n\n

$$AX = B \\Leftrightarrow {A^{ – 1}}AX = {A^{ – 1}}B \\Leftrightarrow IX = {A^{ – 1}}B \\Leftrightarrow X = {A^{ – 1}}B$$<\/p>\n\n\n\n

Recuerda que $I$ es la matriz identidad. En el caso de orden 3 es $I=\\begin{pmatrix}
1&0&0\\\\
0&1&0\\\\
0&0&1
\\end{pmatrix}$. Adem\u00e1s, $A{A^{ – 1}} = {A^{ – 1}}A = I$.<\/p>\n\n\n\n

La ecuaci\u00f3n matricial $AX=B$ es muy \u00fatil para resolver sistemas de ecuaciones, en particular sistemas de tres ecuaciones con tres inc\u00f3gnitas. Veamos un ejemplo.<\/p>\n\n\n\n

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:<\/p>\n\n\n\n

$$\\begin{cases}
2x+y=0 \\\\
y+3z=10 \\\\ 2x+y+z=8
\\end{cases}$$<\/p>\n\n\n\n

Este sistema lo podemos reescribir matricialmente as\u00ed:<\/p>\n\n\n\n

$$\\left( {\\begin{array}{{20}{c}} 2&1&0\\\\ 0&1&3\\\\ 2&1&1 \\end{array}} \\right)\\left( {\\begin{array}{{20}{c}}
x\\\\
y\\\\
z
\\end{array}} \\right) = \\left( {\\begin{array}{*{20}{c}}
4\\\\
{10}\\\\
8
\\end{array}} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

Si llamamos $A=\\left( {\\begin{array}{{20}{c}} 2&1&0\\\\ 0&1&3\\\\ 2&1&1 \\end{array}} \\right)$, $X=\\left( {\\begin{array}{{20}{c}}
x\\\\
y\\\\
z
\\end{array}} \\right)$ y $B=\\left( {\\begin{array}{*{20}{c}}
4\\\\
{10}\\\\
8
\\end{array}} \\right)$, el sistema adopta la forma de una ecuaci\u00f3n matricial del tipo $AX=B$, cuya soluci\u00f3n sabemos que es $X=AB^{-1}$.<\/p>\n\n\n\n

La inversa de la matriz $A=\\left( {\\begin{array}{{20}{c}} 2&1&0\\\\ 0&1&3\\\\ 2&1&1 \\end{array}} \\right)$ es $A^{-1}=\\left( {\\begin{array}{{20}{c}} -1&-\\frac{1}{2}&\\frac{3}{2}\\\\ 3&1&-3\\\\ -1&0&1 \\end{array}} \\right)$. Entonces:<\/p>\n\n\n\n

$$X = A^{-1}B=\\left( {\\begin{array}{{20}{c}} -1&-\\frac{1}{2}&\\frac{3}{2}\\\\ 3&1&-3\\\\ -1&0&1 \\end{array}} \\right)\\left( {\\begin{array}{*{20}{c}}4\\\\{10}\\\\8\\end{array}} \\right)\\Rightarrow X=\\left( {\\begin{array}{*{20}{c}}3\\\\{-2}\\\\4\\end{array}} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

Por tanto, las soluciones del sistema son $x=3$., $y=-2$, $z=4$.<\/p>\n\n\n\n

Los matem\u00e1ticos dedicaron muchos esfuerzos a la resoluci\u00f3n de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones. De hecho, las soluciones del sistema anterior se pueden obtener aplicando una curiosa regla, llamada regla de Cramer<\/em><\/strong>. Pensemos en un sistema cualquiera de tres ecuaciones con tres inc\u00f3gnitas que tenga soluci\u00f3n \u00fanica (hay sistemas que no tienen soluci\u00f3n y sistemas que tienen infinitas soluciones):<\/p>\n\n\n\n

$$\\begin{cases}
a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1 \\\\
a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2 \\\\ a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3
\\end{cases}$$<\/p>\n\n\n\n

La matriz $A$ se llama matriz de los coeficientes. Esta matriz debe de ser regular o invertible, es decir, debe de tener determinante distinto de cero: $\\left|A\\right|\\neq0$. La matriz $B$ es la matriz de los t\u00e9rminos independientes y la matriz $X$ es la matriz inc\u00f3gnita.<\/p>\n\n\n\n

Pues bien, la regla de Cramer dice que las inc\u00f3gnitas pueden calcularse del siguiente modo:<\/p>\n\n\n\n

$$x=\\frac{\\begin{vmatrix} b_1&a_{12}&a_{13}\\\\ b_2&a_{22}&a_{23}\\\\ b_3&a_{32}&a_{33} \\end{vmatrix}}{\\left|A\\right|}\\ \\text{;}\\ y=\\frac{\\begin{vmatrix} a_{11}&b_1&a_{13}\\\\ a_{21}&b_2&a_{23}\\\\ a_{31}&b_3&a_{33} \\end{vmatrix}}{\\left|A\\right|}\\ \\text{;}\\ z=\\frac{\\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&b_1\\\\ a_{21}&a_{22}&b_2\\\\ a_{31}&a_{32}&b_3 \\end{vmatrix}}{\\left|A\\right|}$$<\/p>\n\n\n\n

En nuestro ejemplo, $\\left|A\\right|=2$. Por tanto:<\/p>\n\n\n\n

$$x=\\frac{\\begin{vmatrix} 4&1&0\\\\ 10&1&3\\\\ 8&1&1 \\end{vmatrix}}{2}=\\frac{(4+24+0)-(0+10+12)}{2}=\\frac{28-22}{2}=\\frac{6}{2}\\Rightarrow x=3$$<\/p>\n\n\n\n

$$y=\\frac{\\begin{vmatrix} 2&4&0\\\\ 0&10&3\\\\ 2&8&1 \\end{vmatrix}}{2}=\\frac{(20+24+0)-(0+0+48)}{2}=\\frac{44-48}{2}=\\frac{-4}{2}\\Rightarrow y=-2$$<\/p>\n\n\n\n

$$z=\\frac{\\begin{vmatrix} 2&1&4\\\\ 0&1&10\\\\ 2&1&8 \\end{vmatrix}}{2}=\\frac{(16+20+0)-(8+0+20)}{2}=\\frac{36-28}{2}=\\frac{8}{2}\\Rightarrow z=4$$<\/p>\n\n\n\n

\u00bfPor qu\u00e9 funciona esta regla? Bueno, no lo vamos a hacer aqu\u00ed, pero un buen ejercicio ser\u00eda intentar demostrarla.<\/p>\n\n\n\n

En general, la inversa de una matriz sirve para calcular ecuaciones matriciales de muchos tipos. Hagamos otro ejemplo.<\/p>\n\n\n\n

El siguiente problema se propuso en el a\u00f1o 2019 en Castilla-La Mancha.<\/p>\n\n\n\n

Enunciado<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n

Dadas las matrices $A=\\begin{pmatrix} -1&-1&-1\\\\ -1&1&0\\\\ 2&-1&0 \\end{pmatrix}$, $B=\\begin{pmatrix} 1&2&2\\\\ 0&1&1\\\\ 1&-1&2 \\end{pmatrix}$ y $C=\\begin{pmatrix} 0&1&1\\\\ 1&1&0\\\\ 0&1&2 \\end{pmatrix}$, calcular razonadamente la matriz $X$ que verifica $AX-2B=C$.<\/p>\n\n\n\n

Soluci\u00f3n<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n

En primer lugar, calcularemos la inversa de la matriz $A$.<\/p>\n\n\n\n

$\\left|A\\right|=(0+0+1)-(-2+0+0)=-1+2=1$. Como $\\left|A\\right|\\neq0$, existe la inversa de $A$.<\/p>\n\n\n\n

La matriz adjunta de $A$ es $A^d=\\begin{pmatrix} 0&0&-1\\\\ 1&2&3\\\\ 1&1&-2 \\end{pmatrix}$. Entonces:<\/p>\n\n\n\n

$$A^{-1}=\\frac{1}{\\left|A\\right|}\\left(A^d\\right)^t=\\frac{1}{1}\\begin{pmatrix} 0&1&1\\\\ 0&2&1\\\\ -1&-3&-2 \\end{pmatrix}\\Rightarrow A^{-1}=\\begin{pmatrix} 0&1&1\\\\ 0&2&1\\\\ -1&-3&-2 \\end{pmatrix}$$<\/p>\n\n\n\n

Resolvamos ahora la ecuaci\u00f3n matricial. Lo primero es despejar la matriz inc\u00f3gnita $X$:<\/p>\n\n\n\n

$$AX – 2B = C \\Rightarrow AX = C + 2B \\Rightarrow {A^{ – 1}}AX = {A^{ – 1}}\\left( {C + 2B} \\right) \\Rightarrow X = {A^{ – 1}}\\left( {C + 2B} \\right)$$<\/p>\n\n\n\n

Obs\u00e9rvese que hemos multiplicado por la inversa de $A$ por la izquierda en ambos miembros de la igualdad. No se puede hacer por la derecha porque las matrices no cumplen la propiedad conmutativa y, en principio, $AX{A^{ – 1}} \\ne {A^{ – 1}}AX$. Ahora, operando:<\/p>\n\n\n\n

$$X=\\begin{pmatrix} 0&1&1\\\\ 0&2&1\\\\ -1&-3&-2 \\end{pmatrix}\\cdot\\left[\\begin{pmatrix} 0&1&1\\\\ 1&1&0\\\\ 0&1&2 \\end{pmatrix}+2\\begin{pmatrix} 1&2&2\\\\ 0&1&1\\\\ 1&-1&2 \\end{pmatrix}\\right]=$$<\/p>\n\n\n\n

$$=\\begin{pmatrix} 0&1&1\\\\ 0&2&1\\\\ -1&-3&-2 \\end{pmatrix}\\cdot\\begin{pmatrix} 2&5&5\\\\ 1&3&2\\\\ 2&-1&-6 \\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix} 3&2&8\\\\ 4&5&10\\\\ -9&-12&-23 \\end{pmatrix}$$<\/p>\n\n\n\n

Supongamos ahora que, con las mismas matrices que en el ejercicio anterior, la ecuaci\u00f3n matricial que se pide resolver es la siguiente:<\/p>\n\n\n\n

$$XB-2X+AB=C$$<\/p>\n\n\n\n

Esta ecuaci\u00f3n matricial es un poco m\u00e1s complicada que la anterior. En primer lugar, vamos a pasar al segundo miembro los t\u00e9rminos que no contienen la inc\u00f3gnita:<\/p>\n\n\n\n

$$XB-2X=C-AB$$<\/p>\n\n\n\n

Ahora, para despejar la inc\u00f3gnita $X$, debemos de sacarla factor com\u00fan en el primer miembro. Pero no debemos de extraerla as\u00ed: $X(B-2)$. Esto es porque no tiene sentido realizar la resta $B-2$, es decir, no se  puede restar una matriz $B$ de orden tres con el n\u00famero $2$. Lo que tenemos que hacer es pensar que $2X = 2IX = 2XI = X2I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden tres. Recuerda que esta matriz es el elemento neutro de la multiplicaci\u00f3n en el conjunto de las matrices cuadradas de orden tres. Entonces:<\/p>\n\n\n\n

$$XB – 2X = C – AB \\Rightarrow XB – X2I = C – AB \\Rightarrow X\\left( {B – 2I} \\right) = C – AB \\Rightarrow $$<\/p>\n\n\n\n

$$ \\Rightarrow X\\left( {B – 2I} \\right){\\left( {B – 2I} \\right)^{ – 1}} = \\left( {C – AB} \\right){\\left( {B – 2I} \\right)^{ – 1}} \\Rightarrow X = \\left( {C – AB} \\right){\\left( {B – 2I} \\right)^{ – 1}}$$<\/p>\n\n\n\n

Se tiene que <\/p>\n\n\n\n

$$B-2I=\\begin{pmatrix} 1&2&2\\\\ 0&1&1\\\\ 1&-1&2 \\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix} 2&0&0\\\\ 0&2&0\\\\ 0&0&2 \\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix} -1&2&2\\\\ 0&-1&1\\\\ 1&-1&0 \\end{pmatrix}$$ <\/p>\n\n\n\n

Esta matriz tiene inversa ya que su determinante es distinto de cero:<\/p>\n\n\n\n

$$\\begin{vmatrix} -1&2&2\\\\ 0&-1&1\\\\ 1&-1&0 \\end{vmatrix}=(0+2+0)-(-2+0+1)=2-(-1)=3$$<\/p>\n\n\n\n

La matriz adjunta y la matriz traspuesta de la adjunta de $B-2I$ son, respectivamente, las siguientes:<\/p>\n\n\n\n

$$(B-2I)^d=\\begin{pmatrix} 1&1&1\\\\ -2&-2&1\\\\ 4&1&1 \\end{pmatrix}\\ \\text{;}\\ \\left((B-2I)^d\\right)^t=\\begin{pmatrix} 1&-2&4\\\\ 1&-2&1\\\\ 1&1l3&1 \\end{pmatrix}$$<\/p>\n\n\n\n

Por tanto, la matriz inversa de $B-2I$ es:<\/p>\n\n\n\n

$$(B-2I)^{-1}=\\frac{1}{\\left|B-2I\\right|}\\left((B-2I)^t\\right)^t=\\frac{1}{3}\\begin{pmatrix} 1&-2&4\\\\ 1&-2&1\\\\ 1&1l3&1 \\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix} \\frac{1}{3}&-\\frac{2}{3}&\\frac{4}{3}\\\\ \\frac{1}{3}&-\\frac{2}{3}&\\frac{1}{3}\\\\ \\frac{1}{3}&\\frac{1}{3}&\\frac{1}{3} \\end{pmatrix}$$<\/p>\n\n\n\n

Por otro lado,<\/p>\n\n\n\n

$$C-AB=\\begin{pmatrix} 0&1&1\\\\ 1&1&0\\\\ 0&1&2 \\end{pmatrix}-\\begin{pmatrix} 0&1&1\\\\ 0&2&1\\\\ -1&-3&-2 \\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} 1&2&2\\\\ 0&1&1\\\\ 1&-1&2 \\end{pmatrix}=$$<\/p>\n\n\n\n

$$=\\begin{pmatrix} 0&1&1\\\\ 1&1&0\\\\ 0&1&2 \\end{pmatrix}-\\begin{pmatrix} -2&-2&-5\\\\ -1&-1&-1\\\\ 2&3&3 \\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix} 2&3&6\\\\ 2&2&1\\\\ -2&-2&-1 \\end{pmatrix}$$<\/p>\n\n\n\n

Finalmente:<\/p>\n\n\n\n

$$X=(C-AB)(B-2I)^{-1}=\\begin{pmatrix} 2&3&6\\\\ 2&2&1\\\\ -2&-2&-1 \\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} \\frac{1}{3}&-\\frac{2}{3}&\\frac{4}{3}\\\\ \\frac{1}{3}&-\\frac{2}{3}&\\frac{1}{3}\\\\ \\frac{1}{3}&\\frac{1}{3}&\\frac{1}{3} \\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix} \\frac{11}{3}&-\\frac{4}{3}&\\frac{17}{3}\\\\ \\frac{5}{3}&-\\frac{7}{3}&\\frac{11}{3}\\\\ -\\frac{5}{3}&\\frac{7}{3}&-\\frac{11}{3} \\end{pmatrix}$$<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Puedes ver y descargar este art\u00edculo en formato pdf aqu\u00ed<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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