{"id":2825,"date":"2025-02-13T15:41:12","date_gmt":"2025-02-13T13:41:12","guid":{"rendered":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=2825"},"modified":"2025-02-24T01:17:17","modified_gmt":"2025-02-24T00:17:17","slug":"calculo-de-inversas-de-matrices-de-orden-3","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=2825","title":{"rendered":"C\u00e1lculo de inversas de matrices de orden 3"},"content":{"rendered":"\n

La vida es fascinante; s\u00f3lo hay que mirarla a trav\u00e9s de las gafas correctas<\/em><\/p>\n\n\n\n

Alejandro Dumas<\/a><\/em><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Lo mejor es ver c\u00f3mo se hace con un ejemplo concreto.<\/p>\n\n\n\n

Consideremos la matriz <\/p>\n\n\n\n

$$A=\\begin{pmatrix}
2&1&0\\\\
0&1&3\\\\
2&1&1
\\end{pmatrix}$$<\/p>\n\n\n\n

El objetivo es hallar una matriz $A^{-1}$ tal que $AA^{-1}=A^{-1}A=I$, donde <\/p>\n\n\n\n

$$I=\\begin{pmatrix}
1&0&0\\\\
0&1&0\\\\
0&0&1
\\end{pmatrix}$$<\/p>\n\n\n\n

es la matriz identidad<\/em><\/strong> de orden 3. Esta matriz, $A^{-1}$, se llama inversa<\/em><\/strong> de $A$.<\/p>\n\n\n\n

Lo primero de todo es hallar el determinante de la matriz $A$. Esto es porque hay un teorema que dice que \u201cuna matriz cuadrada tiene inversa si, y solo si, su determinante es distinto de cero\u201d<\/em><\/strong>. Por tanto, si el determinante de la matriz $A$ es igual a cero, la matriz $A$ no tendr\u00e1 inversa y se detiene el proceso. Si el determinante no es cero, su valor nos servir\u00e1 para hallar la inversa de la matriz $A$ usando una f\u00f3rmula que veremos al final.<\/p>\n\n\n\n

Ahora debemos de hallar una matriz, llamada matriz adjunta<\/em><\/strong> de la matriz $A$, que la vamos a denominar $A^d$. Esta es una matriz muy peculiar pues cada uno de sus elementos son lo que se llaman adjuntos. Es un proceso puede que, al principio, un poco largo, pero es muy sencillo.<\/p>\n\n\n\n

Del primer elemento de la matriz $A$, que es el $a_{11}=2$ vamos a eliminar la fila y la columna donde se encuentra. Observaremos entonces que queda una matriz de orden 2. F\u00edjate:<\/p>\n\n\n\n

$$\\begin{pmatrix}
2&1&0\\\\
0&1&3\\\\
2&1&1
\\end{pmatrix}\\Rightarrow\\begin{pmatrix}
1&3\\\\
1&1
\\end{pmatrix}$$<\/p>\n\n\n\n

Ahora hallamos el determinante de esta \u00faltima matriz de orden 2:<\/p>\n\n\n\n

$$\\begin{vmatrix}
1&3\\\\
1&1
\\end{vmatrix}=1-3=-2\\Rightarrow\\Delta_{11}=-2$$<\/p>\n\n\n\n

El determinante anterior recibe el nombre de menor complementario<\/em><\/strong> del elemento $a_{11}$ de la matriz $A$, y como acabas de ver, se escribe con el s\u00edmbolo $\\Delta_{11}$. Cada elemento $a_{ij}$ de la matriz $A$ tendr\u00e1 su menor complementario $\\Delta_{ij}$, que se obtendr\u00e1 haciendo el determinante de la matriz de orden 2 que resulta de eliminar la fila y la columna donde se encuentra el elemento $a_{ij}$.<\/p>\n\n\n\n

Vamos a hallar los ocho menores complementarios restantes. Esto, con el tiempo, lo har\u00e1s de cabeza, sin necesidad de escribirlos. Imagina, adem\u00e1s, la fila y la columna de las que has de prescindir para obtener el correspondiente menor de orden dos.<\/p>\n\n\n\n

$$\\begin{pmatrix}
2&1&0\\\\
0&1&3\\\\
2&1&1
\\end{pmatrix}\\Rightarrow\\begin{pmatrix}
0&3\\\\
2&1
\\end{pmatrix}\\Rightarrow\\Delta_{12}=\\begin{vmatrix}
0&3\\\\
2&1
\\end{vmatrix}=0-6=-6$$<\/p>\n\n\n\n

$$\\begin{pmatrix}
2&1&0\\\\
0&1&3\\\\
2&1&1
\\end{pmatrix}\\Rightarrow\\begin{pmatrix}
0&1\\\\
2&1
\\end{pmatrix}\\Rightarrow\\Delta_{13}=\\begin{vmatrix}
0&1\\\\
2&1
\\end{vmatrix}=0-2=-2$$<\/p>\n\n\n\n

$$\\begin{pmatrix}
2&1&0\\\\
0&1&3\\\\
2&1&1
\\end{pmatrix}\\Rightarrow\\begin{pmatrix}
1&0\\\\
1&1
\\end{pmatrix}\\Rightarrow\\Delta_{21}=\\begin{vmatrix}
1&0\\\\
1&1
\\end{vmatrix}=1-0=1$$<\/p>\n\n\n\n

$$\\begin{pmatrix}
2&1&0\\\\
0&1&3\\\\
2&1&1
\\end{pmatrix}\\Rightarrow\\begin{pmatrix}
2&0\\\\
2&1
\\end{pmatrix}\\Rightarrow\\Delta_{22}=\\begin{vmatrix}
2&0\\\\
2&1
\\end{vmatrix}=2-0=2$$<\/p>\n\n\n\n

$$\\begin{pmatrix}
2&1&0\\\\
0&1&3\\\\
2&1&1
\\end{pmatrix}\\Rightarrow\\begin{pmatrix}
2&1\\\\
2&1
\\end{pmatrix}\\Rightarrow\\Delta_{23}=\\begin{vmatrix}
2&1\\\\
2&1
\\end{vmatrix}=2-2=0$$<\/p>\n\n\n\n

$$\\begin{pmatrix}
2&1&0\\\\
0&1&3\\\\
2&1&1
\\end{pmatrix}\\Rightarrow\\begin{pmatrix}
1&0\\\\
0&3
\\end{pmatrix}\\Rightarrow\\Delta_{31}=\\begin{vmatrix}
1&0\\\\
0&3
\\end{vmatrix}=3-0=3$$<\/p>\n\n\n\n

$$\\begin{pmatrix}
2&1&0\\\\
0&1&3\\\\
2&1&1
\\end{pmatrix}\\Rightarrow\\begin{pmatrix}
2&0\\\\
0&3
\\end{pmatrix}\\Rightarrow\\Delta_{32}=\\begin{vmatrix}
2&0\\\\
0&3
\\end{vmatrix}=6-0=6$$<\/p>\n\n\n\n

$$\\begin{pmatrix}
2&1&0\\\\
0&1&3\\\\
2&1&1
\\end{pmatrix}\\Rightarrow\\begin{pmatrix}
2&1\\\\
0&1
\\end{pmatrix}\\Rightarrow\\Delta_{33}=\\begin{vmatrix}
2&1\\\\
0&1
\\end{vmatrix}=2-0=2$$<\/p>\n\n\n\n

Es muy importante andar con sumo cuidado en el c\u00e1lculo de los menores complementarios sobre todo con la regla de los signos al multiplicar y al restar.<\/p>\n\n\n\n

El siguiente paso es hallar el adjunto<\/em><\/strong> asociado a cada menor complementario $\\Delta_{ij}$, que lo llamaremos $A_{ij}$. Esto es muy sencillo porque los adjuntos son exactamente iguales que los menores complementarios si la suma de su fila y columna es par, y son los menores complementarios cambiados de signo si la suma de su fila y de su columna es impar. Un poco \u201clioso\u201d de decir pero muy f\u00e1cil de ver:<\/p>\n\n\n\n

$A_{11}=\\Delta_{11}=-2$. No cambiamos el signo porque $1+1=2$, que es par.<\/p>\n\n\n\n

$A_{12}=-\\Delta_{12}=-(-6)=6$. Cambiamos el signo porque $1+2=3$, que es impar. <\/p>\n\n\n\n

$A_{13}=\\Delta_{11}=-2$. No cambiamos el signo porque $1+3=4$, que es par.<\/p>\n\n\n\n

$A_{21}=-\\Delta_{21}=-1$. Cambiamos el signo porque $2+1=3$, que es impar.<\/p>\n\n\n\n

$A_{22}=\\Delta_{22}=2$. No cambiamos el signo porque $2+2=4$, que es par.<\/p>\n\n\n\n

$A_{23}=-\\Delta_{23}=-0=0$. Cambiamos el signo porque $2+3=5$, que es impar (aunque el cero queda igual).<\/p>\n\n\n\n

$A_{31}=\\Delta_{31}=3$. No cambiamos el signo porque $3+1=4$, que es par.<\/p>\n\n\n\n

$A_{32}=-\\Delta_{32}=-6$. Cambiamos el signo porque $3+2=5$, que es impar.<\/p>\n\n\n\n

$A_{33}=\\Delta_{33}=2$. No cambiamos el signo porque $3+3=6$, que es par.<\/p>\n\n\n\n

Pues bien, hecho esto ya casi hemos terminado. Ahora construimos una matriz, llamada matriz adjunta<\/em><\/strong> de la matriz $A$, y que nombraremos as\u00ed: $A^d$. Los elementos de esta matriz son los adjuntos que hemos hallado anteriormente:<\/p>\n\n\n\n

$$A^d=\\begin{pmatrix}
A_{11}&A_{12}&A_{13}\\\\
A_{21}&A_{22}&A_{23}\\\\
A_{31}&A_{32}&A_{33}
\\end{pmatrix}$$<\/p>\n\n\n\n

En nuestro ejemplo la matriz adjunta ser\u00e1:<\/p>\n\n\n\n

$$A^d=\\begin{pmatrix}
-2&6&-2\\\\
-1&2&0\\\\
3&-6&2
\\end{pmatrix}$$<\/p>\n\n\n\n

La matriz inversa de la matriz $A$ viene dada por la siguiente f\u00f3rmula:<\/p>\n\n\n\n

$$A^{-1}=\\frac{1}{\\left|A\\right|}\\left(A^d\\right)^t$$<\/p>\n\n\n\n

En la f\u00f3rmula anterior la matriz $\\left(A^d\\right)^t$ es la traspuesta de la matriz adjunta.<\/p>\n\n\n\n

En nuestro ejemplo esta \u00faltima matriz es<\/p>\n\n\n\n

$$\\left(A^d\\right)^t=\\begin{pmatrix}
-2&-1&3\\\\
6&2&-6\\\\
-2&0&2
\\end{pmatrix}$$<\/p>\n\n\n\n

y, finalmente, la inversa de $A$ ser\u00e1, aplicando la f\u00f3rmula:<\/p>\n\n\n\n

$$A^{-1}=\\frac{1}{\\left|A\\right|}\\left(A^d\\right)^t=\\frac{1}{2}\\cdot\\begin{pmatrix}
-2&-1&3\\\\
6&2&-6\\\\
-2&0&2
\\end{pmatrix}\\Rightarrow A^{-1}=\\begin{pmatrix}
-1&-\\frac{1}{2}&\\frac{3}{2}\\\\
3&1&-3\\\\
-1&0&1
\\end{pmatrix}$$<\/p>\n\n\n\n

Ahora se puede hacer la comprobaci\u00f3n de que, efectivamente, la inversa est\u00e1 bien hecha:<\/p>\n\n\n\n

$$AA^{-1}=\\begin{pmatrix}
2&1&0\\\\
0&1&3\\\\
2&1&1
\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix}
-1&-\\frac{1}{2}&\\frac{3}{2}\\\\
3&1&-3\\\\
-1&0&1
\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}
1&0&0\\\\
0&1&0\\\\
0&0&1
\\end{pmatrix}=I$$<\/p>\n\n\n\n

$$A^{-1}A=\\begin{pmatrix}
-1&-\\frac{1}{2}&\\frac{3}{2}\\\\
3&1&-3\\\\
-1&0&1
\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix}
2&1&0\\\\
0&1&3\\\\
2&1&1
\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}
1&0&0\\\\
0&1&0\\\\
0&0&1
\\end{pmatrix}=I$$<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Puedes ver y descargar este art\u00edculo en formato pdf aqu\u00ed<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

La vida es fascinante; s\u00f3lo hay que mirarla a trav\u00e9s de las gafas correctas Alejandro Dumas Lo mejor es ver c\u00f3mo se hace con un ejemplo concreto. Consideremos la matriz $$A=\\begin{pmatrix}2&1&0\\\\0&1&3\\\\2&1&1\\end{pmatrix}$$ El objetivo es hallar una matriz $A^{-1}$ tal que $AA^{-1}=A^{-1}A=I$, donde $$I=\\begin{pmatrix}1&0&0\\\\0&1&0\\\\0&0&1\\end{pmatrix}$$ es la matriz identidad de orden 3. Esta matriz, $A^{-1}$, se llama […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":2826,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":{"0":"post-2825","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","5":"has-post-thumbnail","6":"hentry","7":"category-uncategorized","9":"post-with-thumbnail","10":"post-with-thumbnail-large"},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2825","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=2825"}],"version-history":[{"count":29,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2825\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3195,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2825\/revisions\/3195"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/media\/2826"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=2825"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=2825"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=2825"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}