{"id":2364,"date":"2024-05-13T19:18:59","date_gmt":"2024-05-13T17:18:59","guid":{"rendered":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=2364"},"modified":"2025-02-10T15:00:51","modified_gmt":"2025-02-10T13:00:51","slug":"el-cumpleanos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=2364","title":{"rendered":"El cumplea\u00f1os"},"content":{"rendered":"\n

El que tiene siempre ante sus ojos un fin hace que todas las cosas le ayuden a conseguirlo<\/em><\/p>\n\n\n\n

Robert Browning<\/a><\/em><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

La intuici\u00f3n a veces no nos funciona tan bien como creemos. Por ejemplo, sup\u00f3n que te encuentras en grupo con otras \\(22\\) personas. \u00bfCu\u00e1l crees que ser\u00eda la probabilidad de que dos de ellas celebren su cumplea\u00f1os el mismo d\u00eda? Si nos dejamos llevar por la intuici\u00f3n pensar\u00e1s que es complicado que en un grupo de \\(23\\) personas, dos de ellas cumplan a\u00f1os el mismo d\u00eda y, por tanto, que esta probabilidad deba ser baja. Digamos \u00bfun \\(10\\,\\%\\) m\u00e1s o menos? \u00bfQu\u00e9 te parece? Es decir, \u00bfcada \\(100\\) veces que nos encontremos un grupo de \\(23\\) personas, en \\(10\\) de ellas, aproximadamente, habr\u00e1 coincidencia en la fecha de cumplea\u00f1os de dos de sus componentes? \u00bfEs elevado este porcentaje o probabilidad? \u00bfEs escaso? \u00bfTe parecer\u00eda una buena estimaci\u00f3n?<\/p>\n\n\n\n

Veamos lo que dicen las matem\u00e1ticas al respecto, en concreto la teor\u00eda de probabilidades.<\/p>\n\n\n\n

La probabilidad de que ocurra un suceso determinado \\(A\\), que escribiremos \\(P(A)\\), se rige por la famosa regla de Laplace<\/a>, seg\u00fan la cual esta probabilidad es igual al n\u00famero de casos favorables<\/strong> de que ocurra el suceso \\(A\\), dividido entre el n\u00famero de casos posibles<\/strong> en que se puede dar el suceso \\(A\\).<\/p>\n\n\n\n

Simb\u00f3licamente:\n$$P(A)=\\frac{\\text{n\u00famero casos favorables}}{\\text{n\u00famero casos posibles}}$$\n<\/p>\n\n\n\n

De este modo la probabilidad de que dos personas no cumplan a\u00f1os el mismo d\u00eda<\/strong> es:\n$$\\frac{365}{365}\\cdot\\frac{364}{365}=\\frac{132860}{133225}\\cong0,997260274$$\n<\/p>\n\n\n\n

Lo que supone un porcentaje superior al \\(99,7\\,\\%\\). Esto es as\u00ed porque, elegida una persona cualquiera, debe haber nacido uno de los \\(365\\) d\u00edas del a\u00f1o (estamos prescindiendo de los a\u00f1os bisiestos) y, para esta persona, el n\u00famero de casos favorables es igual que el n\u00famero de casos posibles: \\(365\\). Ahora bien, si elegimos otra persona, el n\u00famero de casos favorables se reducir\u00e1 a \\(364\\), uno menos que antes, pues no puede cumplir a\u00f1os el mismo d\u00eda que la persona anterior. El n\u00famero de casos posibles sigue siendo \\(365\\).<\/p>\n\n\n\n

Es como calcular cu\u00e1ntos pares de d\u00edas distintos se pueden elegir al a\u00f1o. En cualquier orden. Para el primer d\u00eda del par hay \\(365\\) posibilidades y para el segundo d\u00eda del par quedan \\(364\\), ya que alguno tuvo que haber sido usado para la primera persona. Por eso los casos favorables son:\n$$365\\cdot364=132860$$\n<\/p>\n\n\n\n

Los casos posibles ser\u00edan, visto de este modo, todos los posibles pares de d\u00edas que se pueden formar en el a\u00f1o. Por lo tanto son:\n$$365\\cdot365=133225$$\n<\/p>\n\n\n\n

En realidad, estamos utilizando una conocida regla para contar, el principio de la multiplicaci\u00f3n o del producto<\/a>. Podemos imaginar dos bombos con \\(365\\) bolas cada uno, numeradas desde el n\u00famero \\(1\\) hasta el n\u00famero \\(365\\), una para cada uno de los d\u00edas del a\u00f1o (insistimos en que no contaremos los a\u00f1os bisiestos). Para los casos favorables utilizaremos un bombo completo para la primera persona, y el otro bombo con una bola menos para la segunda persona, justo aquella bola con el n\u00famero en que cumple los a\u00f1os la primera persona. Est\u00e1 claro que para cada bola del primer bombo hay \\(364\\) bolas del segundo bombo. En total, como ya se hab\u00eda visto, \\(365\\cdot364=132860\\) parejas distintas de n\u00fameros para los casos favorables.<\/p>\n\n\n\n

Si ahora tuvi\u00e9ramos tres personas<\/strong> y quisi\u00e9ramos saber la probabilidad de que ninguna de las tres hubiese nacido el mismo d\u00eda<\/strong>, los casos favorables ser\u00edan todas las posibles ternas de d\u00edas del a\u00f1o sin repetici\u00f3n<\/strong>. O sea, siguiendo la argumentaci\u00f3n anterior:\n$$365\\cdot364\\cdot363=48228180$$\n<\/p>\n\n\n\n

Y los casos posibles ahora ser\u00edan, naturalmente:\n$$365\\cdot365\\cdot365=48627125$$\n<\/p>\n\n\n\n

Aplicando la regla de Laplace, la probabilidad de que ninguna de las tres personas hayan nacido el mismo d\u00eda es, por tanto:\n$$\\frac{48228180}{48627125}\\cong0.991795834$$\n<\/p>\n\n\n\n

Si sigui\u00e9ramos con cuatro personas, la probabilidad de que ninguna de ellas hayan nacido el mismo d\u00eda es, siguiendo el mismo proceso:\n$$\\frac{365\\cdot364\\cdot363\\cdot362}{365\\cdot365\\cdot365\\cdot365}=\\frac{17458601160}{17748900625}\\cong0,9836440875$$\n<\/p>\n\n\n\n

Podr\u00edamos seguir as\u00ed con grupos formados por m\u00e1s personas: cinco, seis, siete, etc\u00e9tera; y calcular la probabilidad de que ninguna de ellas haya nacido el mismo d\u00eda. En concreto si llegamos a un grupo de \\(23\\) personas se tiene:\n$$\\frac{365\\cdot364\\cdot363\\cdot362\\cdot\\ldots\\cdot346\\cdot345\\cdot344\\cdot343}{365\\cdot365\\cdot365\\cdot365\\cdot\\ldots\\cdot365\\cdot365\\cdot365\\cdot365}\\cong0,4927027656$$\n<\/p>\n\n\n\n

Es decir, la probabilidad de que, en un grupo de \\(23\\) personas, ninguna de ellas haya nacido el mismo d\u00eda es, aproximadamente, \\(0,4927\\) (en tanto por ciento \\(49,27\\,\\%\\)). Esto quiere decir que, en ese mismo grupo, la probabilidad de que dos de ellas s\u00ed que celebren su cumplea\u00f1os el mismo d\u00eda<\/strong> es \\(1-0,4927=0,5073\\), que supone un porcentaje del \\(50,73\\,\\%\\).<\/p>\n\n\n\n

Por tanto nuestra supuesta intuici\u00f3n estaba lejos de la realidad. En un grupo de, al menos \\(23\\) personas, la probabilidad de que dos de ellas celebren su cumplea\u00f1os el mismo d\u00eda es de m\u00e1s del \\(50\\,\\%\\).<\/p>\n\n\n\n

\u00a1Haz la prueba cuando te encuentres en grupo de esta \u00edndole y ya me contar\u00e1s!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

El que tiene siempre ante sus ojos un fin hace que todas las cosas le ayuden a conseguirlo Robert Browning La intuici\u00f3n a veces no nos funciona tan bien como creemos. Por ejemplo, sup\u00f3n que te encuentras en grupo con otras \\(22\\) personas. \u00bfCu\u00e1l crees que ser\u00eda la probabilidad de que dos de ellas celebren […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":2388,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[54],"tags":[],"class_list":{"0":"post-2364","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","5":"has-post-thumbnail","6":"hentry","7":"category-curiosidades","9":"post-with-thumbnail","10":"post-with-thumbnail-large"},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2364","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=2364"}],"version-history":[{"count":26,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2364\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2815,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/2364\/revisions\/2815"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/media\/2388"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=2364"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=2364"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=2364"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}