{"id":1987,"date":"2024-01-02T20:25:14","date_gmt":"2024-01-02T18:25:14","guid":{"rendered":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=1987"},"modified":"2025-02-14T19:15:59","modified_gmt":"2025-02-14T17:15:59","slug":"el-numero-e","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=1987","title":{"rendered":"El n\u00famero e"},"content":{"rendered":"\n

Todos los problemas de la humanidad proceden de la incapacidad del hombre para permanecer sentado, en silencio, a solas en una habitaci\u00f3n<\/em><\/p>\n\n\n\n

Blais Pascal<\/a><\/em><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Si se introduce el n\u00famero $\\text{e}$, uno de los n\u00fameros reales m\u00e1s importantes, a la manera matem\u00e1ticamente formal, quiz\u00e1s d\u00e9 un poco de miedo. As\u00ed que lo har\u00e9 de una forma, si no divertida, al menos curiosa. Para ello pr\u00e1cticamente transcribir\u00e9 parte de un libro cuyo t\u00edtulo es Matem\u00e1tica, \u00bfest\u00e1s ah\u00ed?<\/a><\/em>. Su autor es Adri\u00e1n Paenza<\/a>. Adri\u00e1n es doctor en Matem\u00e1tica, profesor y tambi\u00e9n un reconocido periodista en los \u00e1mbitos deportivo y pol\u00edtico. Recomiendo encarecidamente la lectura de su libro.<\/p>\n\n\n\n

Pues bien, empecemos.<\/p>\n\n\n\n

Supongamos que una persona tiene un capital de \\(1\\) euro. Y vamos a suponer tambi\u00e9n que el inter\u00e9s que le pagan anualmente por ese euro es del \\(100\\,\\%\\). Es s\u00f3lo un ejemplo, ya sabemos que no existe ni existir\u00e1 tal banco, pues se arruinar\u00eda antes de empezar. Pero da igual, ser\u00e1 un ejemplo que nos servir\u00e1. As\u00ed que seguid el razonamiento.<\/p>\n\n\n\n

\n\t

Capital: 1 euro<\/p>\n\t

Inter\u00e9s: 100% anual<\/p>\n<\/center>\n\n\n\n

Si uno hace la inversi\u00f3n en el banco y se va a su casa, \u00bfcu\u00e1nto dinero tiene cuando vuelve justo al a\u00f1o? Est\u00e1 claro, como el inter\u00e9s es del \\(100\\,\\%\\), al a\u00f1o el se\u00f1or tiene \\(2\\) euros: uno que corresponde a su capital y otro que es producto del inter\u00e9s que le pag\u00f3 el banco.<\/p>\n\n\n\n

\n\t

Capital al cabo de un a\u00f1o: 2 euros<\/p>\n<\/center>\n\n\n\n

Supongamos ahora que el se\u00f1or decide poner su dinero no a un a\u00f1o, sino s\u00f3lo a seis meses. El inter\u00e9s (a lo largo de todo este ejemplo) permanecer\u00e1 constante: siempre ser\u00e1 de un \\(100\\,\\%\\). Al cabo de seis meses entonces, el se\u00f1or \u00bfcu\u00e1nto dinero tiene? Est\u00e1 claro que tiene \\(1,5\\) euros.<\/p>\n\n\n\n

Esto es porque como invirti\u00f3 el mismo capital de \\(1\\) euro a un inter\u00e9s del \\(100\\,\\%\\) pero s\u00f3lo durante la mitad del a\u00f1o, le corresponde un inter\u00e9s de la mitad de lo que invirti\u00f3 y, por eso, le corresponden \\(0,5\\) euros de inter\u00e9s. Es decir, su nuevo capital es de \\(1,5\\) euros.<\/p>\n\n\n\n

Prestad atenci\u00f3n porque ahora viene lo bueno. Si ahora el se\u00f1or decide reinvertir su nuevo capital en el mismo banco, con el mismo inter\u00e9s<\/em> (\\(100\\,\\%\\)) y por otros seis meses<\/em> para llegar nuevamente al a\u00f1o como antes, \u00bfcu\u00e1nto dinero tiene ahora?<\/p>\n\n\n\n

\n\t

Nuevo capital: 1,5 euros<\/p>\n\t

Inter\u00e9s: 100% anual<\/p>\n\t

Plazo que lo deposita: 6 meses<\/p>\n<\/center>\n\n\n\n

Al finalizar el a\u00f1o tiene:<\/p>\n\n\n\n

\\[1,5+\\frac{1}{2}\\cdot1,5=2,25\\]<\/p>\n\n\n\n

\u00bfPor qu\u00e9? Porque el capital que ten\u00eda a los seis meses iniciales no se toca: \\(1,5\\) euros. El nuevo inter\u00e9s que cobra es de la mitad del capital, porque el dinero lo pone a un inter\u00e9s del \\(100\\,\\%\\) pero s\u00f3lo por seis meses<\/em>. Por eso, tiene \\(1\/2\\cdot1,5=0,75\\) como nuevo dinero que le aporta el banco como producto de los intereses devengados.<\/p>\n\n\n\n

MORALEJA: al se\u00f1or le conviene (siempre que el banco se lo permita) depositar el dinero en primer lugar a seis meses y luego renovar el plazo fijo a otros seis meses. Si comparamos con lo que le hubiera correspondido en el primer caso, al finalizar el a\u00f1o ten\u00eda \\(2\\) euros. En cambio, reinvirtiendo en la mitad, al cabo de \\(365\\) d\u00edas tiene \\(2,25\\) euros.<\/p>\n\n\n\n

Supongamos ahora que el se\u00f1or coloca el mismo euro que ten\u00eda originalmente, pero ahora por cuatro meses. Al cabo de esos cuatro meses, reinvierte el dinero, pero por otros cuatro meses. Y finalmente, hace una \u00faltima reinversi\u00f3n (siempre con el mismo capital) hasta concluir el a\u00f1o. \u00bfCu\u00e1nto dinero tiene ahora? Veamos.<\/p>\n\n\n\n

Al principio del a\u00f1o el se\u00f1or tiene:<\/p>\n\n\n\n

\\[1\\]<\/p>\n\n\n\n

A los cuatro meses (o sea, transcurrido \\(1\/3\\) del a\u00f1o) tiene:<\/p>\n\n\n\n

\\[1+\\frac{1}{3}\\]<\/p>\n\n\n\n

A los siguientes cuatro meses (ocho desde el comienzo) tiene:<\/p>\n\n\n\n

\\[\\left(1+\\frac{1}{3}\\right)+\\frac{1}{3}\\left(1+\\frac{1}{3}\\right)=\\left(1+\\frac{1}{3}\\right)\\left(1+\\frac{1}{3}\\right)=\\left(1+\\frac{1}{3}\\right)^2\\]<\/p>\n\n\n\n

Esto sucede porque a los cuatro meses el capital es de \\((1+1\/3)\\) y, al cabo de otros cuatro meses, tendr\u00e1 el capital m\u00e1s un tercio de ese capital<\/em>. La cuenta que sigue despues se obtiene de sacar factor comun \\((1+1\/3)\\) en el primer miembro de la igualdad.<\/p>\n\n\n\n

Ahora bien: cuando el se\u00f1or invierte \\((1+1\/3)^2\\) por otros cuatro meses, al llegar justo el fin del a\u00f1o, el se\u00f1or tendr\u00e1 el capital \\((1+1\/3)^2\\) m\u00e1s<\/em> \\(1\/3\\) de ese capital. O sea:<\/p>\n\n\n\n

\\[\\left(1+\\frac{1}{3}\\right)^2+\\frac{1}{3}\\left(1+\\frac{1}{3}\\right)^2=\\left(1+\\frac{1}{3}\\right)^2\\left(1+\\frac{1}{3}\\right)=\\left(1+\\frac{1}{3}\\right)^3=2,370370370\\ldots\\]<\/p>\n\n\n\n

Os habr\u00e9is apercibido de que ahora nos queda la tentaci\u00f3n de hacerlo no s\u00f3lo cada cuatro meses, sino cada tres meses. Pod\u00e9is echar la cuenta y obtendr\u00e9is que, al cabo de un a\u00f1o el se\u00f1or tendr\u00e1:<\/p>\n\n\n\n

\\[\\left(1+\\frac{1}{4}\\right)^4=2,44140625\\ldots\\]<\/p>\n\n\n\n

Si lo hiciera cada dos meses, tendr\u00eda que reinvertir su dinero seis veces al a\u00f1o:<\/p>\n\n\n\n

\\[\\left(1+\\frac{1}{6}\\right)^6=2,521626372\\ldots\\]<\/p>\n\n\n\n

Si lo hicera una vez al mes, reinvirtir\u00eda doce<\/em> veces por a\u00f1o:<\/p>\n\n\n\n

\\[\\left(1+\\frac{1}{12}\\right)^{12}=2,61303529\\ldots\\]<\/p>\n\n\n\n

Como pod\u00e9is ver, al se\u00f1or le conviene poner su dinero a plazo fijo, pero haci\u00e9ndolo con un plazo cada vez m\u00e1s corto y reinvirtiendo lo que obtiene (siempre con el mismo inter\u00e9s).<\/p>\n\n\n\n

Supongamos que el banco le permitiera al se\u00f1or renovar su plazo diariamente<\/em>. En este caso, el se\u00f1or tendr\u00eda:<\/p>\n\n\n\n

\\[\\left(1+\\frac{1}{365}\\right)^{365}=2,714567475\\ldots\\]<\/p>\n\n\n\n

Y si lo hiciera una vez por hora, como en el a\u00f1o hay \\(8760\\) horas, tendr\u00eda:<\/p>\n\n\n\n

\\[\\left(1+\\frac{1}{8760}\\right)^{8760}=2,718126664\\ldots\\]<\/p>\n\n\n\n

Y si se le permitiera hacerlo una vez por minuto, como en el a\u00f1o hay \\(525600\\) minutos, su capital resultar\u00eda ser:<\/p>\n\n\n\n

\\[\\left(1+\\frac{1}{525600}\\right)^{525600}=2,718279243\\ldots\\]<\/p>\n\n\n\n

Y, por \u00faltimo, supongamos que le permitieran hacerlo una vez por segundo<\/em>. En este caso, como en el a\u00f1o hay \\(31536000\\) segundos el capital que tendr\u00eda al cabo de un a\u00f1o ser\u00eda:<\/p>\n\n\n\n

\\[\\left(1+\\frac{1}{31536000}\\right)^{31536000}=2,718281785\\ldots\\]<\/p>\n\n\n\n

MORALEJA: si bien uno advierte que el dinero al finalizar el a\u00f1o es cada vez mayor, el dinero que uno tiene al final no aumenta indiscriminadamente<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Hagamos un resumen de la lista que acabamos de escribir, en la que aparezca las veces al a\u00f1o que renueva su capital y su capital final:<\/p>\n\n\n\n

\n\t

1 vez al a\u00f1o – 2<\/p>\n\t

2 veces al a\u00f1o – 2,25<\/p>\n\t

3 veces al a\u00f1o (cuatrimestral) – 2,37037037…<\/p>\n\t

4 veces al a\u00f1o (trimestral) – 2,44140625…<\/p>\n\t

6 veces al a\u00f1o (bimestral) – 2,521626372…<\/p>\n\t

12 veces al a\u00f1o (mensual) – 2,61303529…<\/p>\n\t

365 veces al a\u00f1o (diario) – 2,714567475…<\/p>\n\t

8.760 veces al a\u00f1o (por hora) – 2,718126664…<\/p>\n\t

525.600 veces al a\u00f1o (una vez por minuto) – 2,718279243…<\/p>\n\t

31.536.000 veces al a\u00f1o (una vez por segundo) – 2,718281785…<\/p>\n<\/center>\n\n\n\n

Lo que es muy interesante es que estos n\u00fameros, si bien crecen cada vez que el inter\u00e9s se cobra m\u00e1s frecuentemente, no lo hacen en forma ni arbitraria ni desbocada<\/em>. Al contrario: tienen un tope, est\u00e1n acotados<\/em>. Y la cota superior (es decir, si uno pudiera imaginariamente estar renov\u00e1ndolo a cada instante) es lo que se conoce como el n\u00famero \\(\\text{e}\\) <\/em>(que es la base de los logaritmos naturales o neperianos<\/a>). No s\u00f3lo es una cota superior, sino que es el n\u00famero al cual se est\u00e1 acercando cada vez m\u00e1s la sucesi\u00f3n que estamos generando al modificar los plazos de inversi\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

El n\u00famero \\(\\text{e}\\) es un n\u00famero irracional<\/em><\/a>, cuyas primeras cifras decimales son:<\/p>\n\n\n\n

\\[\\text{e}=2,718281828…\\]<\/p>\n\n\n\n

El n\u00famero \\(\\text{e}\\)<\/a> es uno de los n\u00fameros m\u00e1s importantes de la vida cotidiana, aunque su relevancia est\u00e1 generalmente escondida para el gran p\u00fablico. Habr\u00eda que divulgar mucho m\u00e1s sobre \u00e9l. Por ahora, nos contentamos con celebrar su curiosa aparici\u00f3n en este escenario, mostr\u00e1ndolo como el l\u00edmite (y tambi\u00e9n la cota superior) del crecimiento de un capital de <\/em>\\(1\\) euro a un inter\u00e9s del <\/em>\\(100\\,\\%\\) anual y renovado peri\u00f3dicamente<\/em>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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