Es f\u00e1cil darse cuenta de que el denominador de la funci\u00f3n se anula para $x=1$. Entonces:<\/p>\n\n\n\n
$$\\text{Dom}\\,f=\\mathbb{R}-\\{1\\}$$<\/p>\n\n\n\n
Puntos de corte con los ejes<\/strong><\/p>\n\n\n\n Los puntos de corte con el eje $X$ son de la forma $(x,0)$. Por tanto, para obtenerlos habremos de resolver la ecuaci\u00f3n $f(x)=0\\Leftrightarrow\\dfrac{x^2-2x+2}{x-1}=0$.<\/p>\n\n\n\n Pero un cociente es cero si el numerador es cero. luego habremos de resolver la ecuaci\u00f3n $x^2-2x+2=0$, ecuaci\u00f3n de segundo grado que no tiene soluci\u00f3n real porque su discriminante es menor que cero: $\\Delta=(-2)^2-4\\cdot1\\cdot2=4-8=-4$. <\/p>\n\n\n\n Por tanto, la gr\u00e1fica de nuestra funci\u00f3n no corta al eje $X$.<\/p>\n\n\n\n Los puntos de corte con el eje $Y$ son de la forma $(0,y)$. Entonces, haciendo $x=0$, obtenemos claramente que $y=-2$. Esto quiere decir que la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n corta al eje $Y$ en el punto $(0,-2)$.<\/p>\n\n\n\n As\u00edntotas<\/strong><\/p>\n\n\n\n Una recta vertical $x=k$ es una as\u00edntota vertical de una funci\u00f3n $f(x)$ si se cumple que<\/p>\n\n\n\n $$\\lim_{x\\rightarrow k}f(x)=\\pm\\infty$$<\/p>\n\n\n\n Para que esto pueda ocurrir debemos estudiar el l\u00edmite en el punto que no pertenece al dominio, es decir, en $x=1$:<\/p>\n\n\n\n $$\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to 1} \\frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{x – 1}} = \\left[ {\\frac{1}{0}} \\right] = \\left\\{ \\begin{array}{lcl} -\\infty & \\text{ si } & x\\to1^- \\\\ +\\infty & \\text{ si } & x\\to1^+ \\\\ \\end{array} \\right.$$<\/p>\n\n\n\n De lo anterior se deduce que $x=1$ es una as\u00edntota vertical.<\/p>\n\n\n\n Una recta vertical $y=k$ es una as\u00edntota horizontal de una funci\u00f3n $f(x)$ si se cumple que<\/p>\n\n\n\n $$\\lim_{x\\to \\pm\\infty}f(x)=k$$<\/p>\n\n\n\n En nuestro caso:<\/p>\n\n\n\n $$\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to \\pm\\infty} \\frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{x – 1}} = \\left\\{ \\begin{array}{lcl} +\\infty & \\text{ si } & x\\to+\\infty \\\\ -\\infty & \\text{ si } & x\\to-\\infty \\\\ \\end{array} \\right.$$<\/p>\n\n\n\n Esto ocurre porque el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del polinomio del denominador. Como el l\u00edmite en el infinito de la funci\u00f3n no es un n\u00famero real, hemos de deducir que $f$ no tiene as\u00edntotas horizontales.<\/p>\n\n\n\n Una recta de la forma $y=mx+n$ es una as\u00edntota oblicua de una funci\u00f3n $f$ si <\/p>\n\n\n\n $$m=\\lim_{x\\to\\pm\\infty}\\frac{f(x)}{x}\\quad;\\quad n=\\lim_{x\\to\\pm\\infty}\\left(f(x)-mx\\right)$$<\/p>\n\n\n\n En este caso tenemos:<\/p>\n\n\n\n $$m=\\lim_{x\\to\\pm\\infty}\\frac{f(x)}{x}=\\lim_{x\\to\\pm\\infty}\\frac{x^2-2x+2}{x^2-x}=1$$<\/p>\n\n\n\n $$n = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to \\infty } \\left( {f\\left( x \\right) – mx} \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to \\infty } \\left( {\\frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{x – 1}} – x} \\right) =$$<\/p>\n\n\n\n $$= \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to \\infty } \\left( {\\frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{x – 1}} – \\frac{{{x^2} – x}}{{x – 1}}} \\right) = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to \\infty } \\frac{{ – x + 2}}{{x – 1}} = \\frac{{ – 1}}{1} = – 1$$<\/p>\n\n\n\n De lo anterior se deduce que $y=x-1$ es una as\u00edntota oblicua de la funci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n Extremos (m\u00e1ximos y m\u00ednimos) y monoton\u00eda: intervalos de crecimiento y decrecimiento<\/strong><\/p>\n\n\n\n Si una funci\u00f3n $f$ presenta en un punto $x=a$ un m\u00e1ximo o un m\u00ednimo relativo, entonces se tiene que $f'(a)=0$. Derivemos pues nuestra funci\u00f3n e igualemos a cero.<\/p>\n\n\n\n Usando la regla de derivaci\u00f3n de un cociente:<\/p>\n\n\n\n $$f'(x)=\\frac{(2x-2)\\cdot(x-1)-(x^2-2x+2)\\cdot1}{(x-1)^2}=$$<\/p>\n\n\n\n $$=\\frac{2x^2-2x-2x+2-x^2+2x-2}{x-1}=\\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$$<\/p>\n\n\n\n Entonces<\/p>\n\n\n\n $$f'(x)=0\\Leftrightarrow x^2-2x=0\\Leftrightarrow x=0\\ \\text{;}\\ x=2$$<\/p>\n\n\n\n Estos dos puntos reciben el nombre de puntos singulares o cr\u00edticos, a los que vamos a a\u00f1adir el punto $x=1$ (que no pertenec\u00eda al dominio) para elaborar una tabla en la que estudiar el crecimiento y el decrecimiento de la funci\u00f3n. Recordemos antes que si $f'(a)>0$, entonces $f$ es creciente en $x=a$, y que si $f'(a)<0$, entonces $f$ es decreciente $x=a$.<\/p>\n\n\n\n $$ \\begin{array}{||c|c|c|c|c||} \\hline \\hline & (-\\infty,0) & (0,1) & (1,2) & (2,+\\infty)\\\\\\hline f’ & + & – & – & +\\\\\\hline f & \\uparrow \\uparrow& \\downarrow\\downarrow & \\downarrow\\downarrow & \\uparrow\\uparrow\\\\\\hline \\hline\\end{array} $$<\/p>\n\n\n\n Por tanto, $f$ es creciente en $(-\\infty,0)\\cup(2,+\\infty)$ y decreciente en $(0,1)\\cup(1,2)$. Adem\u00e1s, tiene un m\u00ednimo relativo en el punto $(0,-2)$ y un m\u00e1ximo relativo en el punto $(2,2)$.<\/p>\n\n\n\n Con todos los datos anteriores no es dif\u00edcil esbozar la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n. Es la siguiente:<\/p>\n\n\n\n Vamos a hacer un estudio bastante completo de una funci\u00f3n racional. Hallaremos su dominio, sus puntos de corte con los ejes y sus as\u00edntotas. Tambi\u00e9n estudiaremos su monoton\u00eda (intervalos de crecimiento y decrecimiento), as\u00ed como sus extremos (m\u00e1ximos y m\u00ednimos) relativos. Recordemos que una funci\u00f3n racional es una funci\u00f3n como la siguiente: $$f(x)=\\frac{p(x)}{q(x)}$$ donde $p(x)$ […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":297,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[5,4],"tags":[],"class_list":{"0":"post-174","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","5":"has-post-thumbnail","6":"hentry","7":"category-analisis-matematico","8":"category-bachillerato","10":"post-with-thumbnail","11":"post-with-thumbnail-large"},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/174","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=174"}],"version-history":[{"count":55,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/174\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":298,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/174\/revisions\/298"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/media\/297"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=174"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=174"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=174"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}![\"\"](\"https:\/\/matematicastro.es\/wp-content\/uploads\/2023\/05\/grafica001.jpg\")
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