{"id":1233,"date":"2023-06-29T12:34:10","date_gmt":"2023-06-29T10:34:10","guid":{"rendered":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=1233"},"modified":"2023-06-29T12:34:11","modified_gmt":"2023-06-29T10:34:11","slug":"semejanza-el-teorema-de-tales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/matematicastro.es\/?p=1233","title":{"rendered":"Semejanza. El teorema de Tales"},"content":{"rendered":"\n

En general, dos figuras son semejantes<\/strong> si tienen la misma forma, aunque el tama\u00f1o sea distinto. En dos figuras semejantes las longitudes de segmentos correspondientes son proporcionales. Se llama raz\u00f3n de semejanza o escala<\/strong> al cociente entre dos longitudes correspondientes.<\/p>\n\n\n\n

Dos tri\u00e1ngulos son semejantes cuando sus \u00e1ngulos son iguales y sus lados son proporcionales. Los \u00e1ngulos (o v\u00e9rtices) de un tri\u00e1ngulo los denotaremos con letras may\u00fasculas y los lados con letras min\u00fasculas. Al lado opuesto a un \u00e1ngulo o v\u00e9rtice \\(A\\) se le suele designar con la misma letra pero min\u00fascula: \\(a\\). Si dos tri\u00e1ngulos \\(ABC\\), \\(A’B’C’\\) son semejantes, escribiremos \\(ABC\\thicksim A’B’C’\\).<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Por tanto, seg\u00fan la definici\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n

\\[ABC\\thicksim A’B’C’\\Leftrightarrow A=A’\\ \\text{,}\\ B=B’\\ \\text{,}\\ C=C’\\quad\\text{;}\\quad\\frac{a}{a’}=\\frac{b}{b’}=\\frac{c}{c’}\\]<\/p>\n\n\n\n

Obs\u00e9rvese que, en la figura anterior, si trasladamos el tri\u00e1ngulo de la derecha, sin girar, sobre el de la izquierda, hasta superponer los v\u00e9rtices \\(A\\) y \\(A’\\), los tri\u00e1ngulos encajan perfectamente. Se dice en este caso que los tri\u00e1ngulos est\u00e1n en posici\u00f3n de Tales. La raz\u00f3n es porque esta situaci\u00f3n concuerda exactamente con el Teorema de Tales, seg\u00fan el cual, rectas paralelas que corten a dos rectas dadas determinan segmentos proporcionales. Por tanto, dos tri\u00e1ngulos en posici\u00f3n de Tales siempre son semejantes.<\/p>\n\n\n\n

Teorema de Tales<\/h3>\n\n\n
\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

\\[\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{A’B’}}=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{B’C’}}=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{A’C’}}\\]<\/p>\n\n\n\n

Tri\u00e1ngulos en posici\u00f3n de Tales<\/h3>\n\n\n
\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

\\[\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{AB’}}=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{B’C’}}=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{AC’}}\\]<\/p>\n\n\n\n

No es necesario comprobar que se cumplen todas las condiciones de la definici\u00f3n para comprobar que dos tri\u00e1ngulos son semejantes. Los criterios de semejanza son las condiciones m\u00ednimas que se han de cumplir para que dos tri\u00e1ngulos sean semejantes.<\/p>\n\n\n\n

    \n
  • Primer criterio<\/strong>: dos tri\u00e1ngulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales.<\/li>\n\n\n\n
  • Segundo criterio<\/strong>: dos tri\u00e1ngulos son semejantes si dos de sus \u00e1ngulos son iguales.<\/li>\n\n\n\n
  • Tercer criterio<\/strong>: dos tri\u00e1ngulos son semejantes si tienen un \u00e1ngulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n

    De la misma manera que se ha definido para tri\u00e1ngulos, la semejanza se puede definir para pol\u00edgonos cualesquiera. As\u00ed, dos pol\u00edgonos son semejantes cuando tienen sus \u00e1ngulos iguales y sus lados correspondientes proporcionales. Recordemos que se llama raz\u00f3n de semejanza o escala<\/strong> al cociente de la longitud de un lado del pol\u00edgono entre la longitud correspondiente del otro pol\u00edgono.<\/p>\n\n\n\n

    La semejanza tiene muchas aplicaciones a la resoluci\u00f3n de problemas geom\u00e9tricos y situaciones reales. Veamos a continuaci\u00f3n algunos ejercicios que se pueden resolver utilizando la semejanza.<\/p>\n\n\n\n

    Ejercicio 1<\/h4>\n\n\n\n

    Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 49 metros en el momento en que un poste de 2 metros arroja una sombra de 1,25 metros.<\/p>\n\n\n\n

    Soluci\u00f3n<\/h4>\n\n\n\n

    El dibujo no est\u00e1 a escala, pero nos sirve para la resoluci\u00f3n del problema. Ambos tri\u00e1ngulos son semejantes pues est\u00e1n en posici\u00f3n de Tales. Por tanto:<\/p>\n\n\n

    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

    $$\\frac{h}{49}=\\frac{2}{1,25}\\Rightarrow h=\\frac{2\\cdot49}{1,25}=78,4$$<\/p>\n\n\n\n

    La altura del edificio es de 78,4 metros.<\/p>\n\n\n\n

    Ejercicio 2<\/h4>\n\n\n\n

    Las sombras de cuatro \u00e1rboles miden, a las cinco de la tarde, 12 metros, 8 metros, 6 metros y 4 metros, respectivamente. El \u00e1rbol peque\u00f1o tiene una altura de de 2,5 metros. \u00bfQu\u00e9 altura tienen los dem\u00e1s?<\/p>\n\n\n\n

    Soluci\u00f3n<\/h4>\n\n\n\n

    Se pueden dibujar tri\u00e1ngulos parecidos al del ejercicio anterior que nos sirvan para resolver este problema. No lo vamos a hacer pues el procedimiento es exactamente el mismo. Llamemos (h_1), (h_2) y (h_3) a las alturas de los \u00e1rboles que arrojan sombras de 12 metros, 8 metros y 6 metros, respectivamente. Entonces:<\/p>\n\n\n\n

    $$\\frac{h_1}{12}=\\frac{2,5}{4}\\Rightarrow h_1=\\frac{2,5\\cdot12}{4}=7,5$$<\/p>\n\n\n\n

    $$\\frac{h_2}{8}=\\frac{2,5}{4}\\Rightarrow h_2=\\frac{2,5\\cdot8}{4}=5$$<\/p>\n\n\n\n

    $$\\frac{h_3}{6}=\\frac{2,5}{4}\\Rightarrow h_3=\\frac{2,5\\cdot6}{4}=3,75$$<\/p>\n\n\n\n

    As\u00ed pues, las alturas de los \u00e1rboles cuyas sombras miden 12 metros, 8 metros y 6 metros son, respectivamente, 7,5 metros, 5 metros y 3,75 metros.<\/p>\n\n\n\n

    Ejercicio 3<\/h4>\n\n\n\n

    Se tiene un rect\u00e1ngulo inscrito en un tri\u00e1ngulo is\u00f3sceles, como se indica en la figura.<\/p>\n\n\n

    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

    \u00a0Sabiendo que la base del tri\u00e1ngulo es \\(b=2\\) cm, y la altura \\(h=3\\) cm, y que la altura del rect\u00e1ngulo es \\(H=2\\) cm, halla cu\u00e1nto mide la base del rect\u00e1ngulo.<\/p>\n\n\n\n

    Soluci\u00f3n<\/h4>\n\n\n
    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

    Observando la figura anterior se aprecia con claridad que la base del rect\u00e1ngulo mide $2-2x$. Los tri\u00e1ngulos en color rojo son semejantes pues est\u00e1n en posici\u00f3n de Tales y sus alturas son, seg\u00fan el enunciado, de 3 cm y 2 cm. De este modo:<\/p>\n\n\n\n

    $$\\frac{3}{1}=\\frac{2}{x}\\Rightarrow x=\\frac{2\\cdot1}{3}=\\frac{2}{3}$$<\/p>\n\n\n\n

    Por tanto la base del rect\u00e1ngulo mide $2-2x=2-2\\cdot\\dfrac{2}{3}=2-\\dfrac{4}{3}=\\dfrac{2}{3}\\approx0,67$ cm.<\/p>\n\n\n\n

    Ejercicio 4<\/h4>\n\n\n\n

    \u00bfCu\u00e1l es la distancia entre el chico y la base de la torre (el chico ve la torre reflejada en el agua)?<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Soluci\u00f3n<\/h4>\n\n\n\n

    Llamemos $x$ a la distancia entre el punto de incidencia de la visual del chico con el agua, y el pie de la torre. Por ser ambos tri\u00e1ngulos claramente semejantes:<\/p>\n\n\n\n

    $$\\frac{1,76}{3,3}=\\frac{16}{x}\\Rightarrow x=\\frac{16\\cdot3.3}{1,76}=30$$<\/p>\n\n\n\n

    Por tanto, la distancia entre el chico en la base de la torre es $3,3+30=33$ metros.<\/p>\n\n\n\n

    Ejercicio 5<\/h4>\n\n\n\n

    El ba\u00f1ista se encuentra a 5 metros del barco. La borda del barco est\u00e1 a 1 metro sobre el nivel del mar. El m\u00e1stil del barco sobresale 3 metros de la borda. El ba\u00f1ista ve alineados el extremo del m\u00e1stil y el foco del faro.<\/p>\n\n\n

    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

    \u00a0Soluci\u00f3n<\/h4>\n\n\n\n

    \u00bfA qu\u00e9 altura sobre el nivel del mar se encuentra el foco del faro?<\/p>\n\n\n\n

    Consideremos los dos tri\u00e1ngulos siguientes. Uno, el formado por la visual del ba\u00f1ista, el extremo superior del m\u00e1stil y la vertical del \u00e9ste hasta el nivel del mar. Otro, el formado por la visual del ba\u00f1ista, el foco del faro y la vertical de \u00e9ste hasta el nivel del mar. Ambos son semejantes (est\u00e1n en posici\u00f3n de Tales) pues el ba\u00f1ista ve alineados el extremo del m\u00e1stil y el foco del faro. Llamemos $h$ a la altura sobre el nivel del mar del foco del faro. La altura del primer tri\u00e1ngulo es $3+1=4$ metros porque la borda del barco est\u00e1 a 1 metro sobre el nivel del mar. La base del segundo tri\u00e1ngulo es, claramente, $20+5=25$ metros. Entonces:<\/p>\n\n\n\n

    $$\\frac{h}{4}=\\frac{25}{5}\\Rightarrow h=\\frac{25\\cdot4}{5}=20$$<\/p>\n\n\n\n

    Por tanto, el foco del faro se encuentra a 20 metros sobre el nivel del mar.<\/p>\n\n\n\n

    Ejercicio 6<\/h4>\n\n\n\n

    \u00bfA qu\u00e9 altura se encuentra el extremo superior de la escultura, sabiendo que Paula la ve alineada con el borde de la valla?<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Soluci\u00f3n<\/h4>\n\n\n
    \n
    \"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

    En la figura anterior se observa claramente que la altura del extremo superior de la escultura es $x+1,6$ metros. Por semejanza tenemos:<\/p>\n\n\n\n

    $$\\frac{x}{0,5}=\\frac{4,6+0,9}{0,9}\\Rightarrow x=\\frac{0,5\\cdot5,5}{0,9}\\approx3,06$$<\/p>\n\n\n\n

    Por tanto, la altura del extremo superior de la escultura es $3,06+1,6=4,66$ metros.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    En general, dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, aunque el tama\u00f1o sea distinto. En dos figuras semejantes las longitudes de segmentos correspondientes son proporcionales. Se llama raz\u00f3n de semejanza o escala al cociente entre dos longitudes correspondientes. Dos tri\u00e1ngulos son semejantes cuando sus \u00e1ngulos son iguales y sus lados son proporcionales. Los \u00e1ngulos […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":1236,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[34,33,35],"tags":[38,42,36,41,39,40,37],"class_list":{"0":"post-1233","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","5":"has-post-thumbnail","6":"hentry","7":"category-eso","8":"category-geometria","9":"category-geometria-eso","10":"tag-poligonos-semejantes","11":"tag-problemas-de-semejanza","12":"tag-semejanza","13":"tag-tales","14":"tag-teorema-de-tales","15":"tag-triangulos","16":"tag-triangulos-semejantes","18":"post-with-thumbnail","19":"post-with-thumbnail-large"},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/1233","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=1233"}],"version-history":[{"count":20,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/1233\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1265,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/1233\/revisions\/1265"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/media\/1236"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=1233"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=1233"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=1233"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}