{"id":3433,"date":"2025-02-27T21:45:54","date_gmt":"2025-02-27T20:45:54","guid":{"rendered":"https:\/\/matematicastro.es\/?page_id=3433"},"modified":"2025-02-28T09:50:46","modified_gmt":"2025-02-28T08:50:46","slug":"identidades-y-expresiones-trigonometricas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/matematicastro.es\/?page_id=3433","title":{"rendered":"Identidades y expresiones trigonom\u00e9tricas"},"content":{"rendered":"\n

Identidades trigonom\u00e9tricas<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Una identidad trigonom\u00e9trica<\/strong> es una igualdad entre expresiones algebraicas en la que aparecen razones trigonom\u00e9tricas, cierta para cualquier valor de la variable o parte literal.<\/p>\n\n\n\n

Las identidades trigonom\u00e9tricas m\u00e1s conocidas son la f\u00f3rmula fundamental de la trigonometr\u00eda y la identidad que relaciona las razones trigonom\u00e9tricas seno, coseno y tangente. Son, respectivamente, las siguientes:
$$\\text{sen}^2\\,x+\\cos^2x=1\\quad;\\quad\\text{tg}\\,x=\\dfrac{\\text{sen}\\,x}{\\cos x}$$<\/p>\n\n\n\n

Si todos los t\u00e9rminos de la f\u00f3rmula fundamental de la trigonometr\u00eda los dividimos, respectivamente, entre $\\text{sen}^2\\,x$ y $\\cos^2x$ obtenemos otras dos identidades trigonom\u00e9tricas:<\/p>\n\n\n\n

$$1+\\frac{1}{\\text{tg}^2\\,x}=\\frac{1}{\\text{sen}^2\\,x}\\quad;\\quad1+\\text{tg}^2\\,x=\\frac{1}{\\cos^2x}$$<\/p>\n\n\n\n

Esta forma de reescribirlas permite tener identidades que relacionen la tangente y el seno, y la tangente y el coseno.<\/p>\n\n\n\n

Hay muchas otras identidades o f\u00f3rmulas trigonom\u00e9tricas que se deducen y se aprenden en un primer curso de bachillerato. Nos referimos al seno, coseno y tangente de la suma, de la diferencia, del \u00e1ngulo doble y del \u00e1ngulo mitad. Tambi\u00e9n hay una serie de f\u00f3rmulas trigonom\u00e9tricas para transformar sumas o diferencias de senos y cosenos en productos. Todas ellas las tienes aqu\u00ed<\/a>. Recuerda que se pueden llevar a un examen para no tener que memorizarlas: son muchas.<\/p>\n\n\n\n

El uso de las identidades o f\u00f3rmulas trigonom\u00e9tricas mencionadas anteriormente permite demostrar otras. Uno de objetivos que se pretender conseguir en las matem\u00e1ticas en bachillerato es demostrar identidades trigonom\u00e9tricas usando las f\u00f3rmulas y transformaciones habituales (que son, precisamente, las que se han mencionado anteriormente). Como ejemplo, imaginemos que nos piden demostrar la siguiente identidad trigonom\u00e9trica:<\/p>\n\n\n\n

$$\\frac{\\cos(\\alpha-\\beta)}{\\cos(\\alpha+\\beta)}=\\frac{1+\\text{tg}\\,\\alpha\\,\\text{tg}\\,\\beta}{1+\\text{tg}\\,\\alpha\\,\\text{tg}\\,\\beta}$$<\/p>\n\n\n\n

Un m\u00e9todo consiste en desarrollar uno de los miembros de la igualdad para, en una serie de pasos encadenando igualdades, llegar al otro miembro de la igualdad. En este caso, si desarrollamos el miembro de la izquierda usando las f\u00f3rmulas del coseno de la suma y de la diferencia, tenemos:<\/p>\n\n\n\n

$$\\frac{\\cos(\\alpha-\\beta)}{\\cos(\\alpha+\\beta)}=\\frac{\\cos\\alpha\\cos\\beta+\\text{sen}\\,\\alpha\\text{sen}\\,\\beta}{\\cos\\alpha\\cos\\beta-\\text{sen}\\,\\alpha\\text{sen}\\,\\beta}=$$<\/p>\n\n\n\n

Si dividimos el numerador y el denominador de la \u00faltima fracci\u00f3n entre $\\cos\\alpha\\cos\\beta$ tenemos:<\/p>\n\n\n\n

$$=\\frac{\\frac{\\cos\\alpha\\cos\\beta+\\text{sen}\\,\\alpha\\text{sen}\\,\\beta}{\\cos\\alpha\\cos\\beta}}{\\frac{\\cos\\alpha\\cos\\beta-\\text{sen}\\,\\alpha\\text{sen}\\,\\beta}{\\cos\\alpha\\cos\\beta}}= \\frac{\\frac{\\cos\\alpha\\cos\\beta}{\\cos\\alpha\\cos\\beta}+\\frac{\\text{sen}\\,\\alpha\\text{sen}\\,\\beta}{\\cos\\alpha\\cos\\beta}}{\\frac{\\cos\\alpha\\cos\\beta}{\\cos\\alpha\\cos\\beta}- \\frac{\\text{sen}\\,\\alpha\\text{sen}\\,\\beta}{\\cos\\alpha\\cos\\beta}}=\\frac{1+\\frac{\\text{sen}\\,\\alpha}{\\cos\\alpha}\\cdot\\frac{\\text{sen}\\,\\beta}{\\cos\\beta}} {1+\\frac{\\text{sen}\\,\\alpha}{\\cos\\alpha}\\cdot\\frac{\\text{sen}\\,\\beta}{\\cos\\beta}}=\\frac{1+\\text{tg}\\,\\alpha\\text{tg}\\,\\beta}{1+\\text{tg}\\,\\alpha\\text{tg}\\,\\beta}$$<\/p>\n\n\n\n

Esto finaliza la demostraci\u00f3n de la identidad trigonom\u00e9trica porque partiendo del primer miembro hemos llegado, en pasos sucesivos y de manera razonada, al segundo miembro de la identidad.<\/p>\n\n\n\n

Vamos a proponer como ejercicio que se demuestren varias identidades trigonom\u00e9tricas y tambi\u00e9n daremos (oculta, en principio) la soluci\u00f3n de cada una de ellas.<\/p>\n\n\n\n

1)<\/strong> $\\cos\\alpha\\cos(\\alpha-\\beta)+\\text{sen}\\,\\alpha\\,\\text{sen}(\\alpha-\\beta)=\\cos\\beta$<\/p>\n\n\n\n

Soluci\u00f3n<\/summary>\n

Usamos las f\u00f3rmulas del seno y del coseno de la diferencia (ver formulario<\/a>):<\/p>\n\n\n\n

$\\cos\\alpha\\cos(\\alpha-\\beta)+\\text{sen}\\,\\alpha\\,\\text{sen}(\\alpha-\\beta)=$<\/p>\n\n\n\n

$=\\cos\\alpha(\\cos\\alpha\\cos\\beta+\\text{sen}\\,\\alpha\\,\\text{sen}\\,\\beta)+\\text{sen}\\,\\alpha(\\text{sen}\\,\\alpha\\cos\\beta-\\cos\\alpha\\,\\text{sen}\\,\\beta)=$<\/p>\n\n\n\n

$=\\cos^2\\alpha\\cos\\beta+\\cos\\alpha\\,\\text{sen}\\,\\alpha\\,\\text{sen}\\,\\beta+\\text{sen}^2\\,\\alpha\\,\\cos\\beta-\\text{sen}\\,\\alpha\\,\\cos\\alpha\\,\\text{sen}\\,\\beta=$<\/p>\n\n\n\n

$=(\\cos^2\\alpha+\\text{sen}^2\\,\\alpha)\\cos\\beta=1\\cdot\\cos\\beta=\\cos\\beta$<\/p>\n\n\n\n

\n<\/details>\n\n\n\n

2)<\/strong> $\\displaystyle\\text{sen}^2\\left(\\frac{\\alpha+\\beta}{2}\\right)- \\text{sen}^2\\left(\\frac{\\alpha-\\beta}{2}\\right)=\\text{sen}\\,\\alpha\\,\\text{sen}\\,\\beta$<\/p>\n\n\n\n

Soluci\u00f3n<\/summary>\n

Usamos las f\u00f3rmulas del seno del \u00e1ngulo mitad y luego las f\u00f3rmulas del coseno de la suma y de la diferencia:<\/p>\n\n\n\n

$\\displaystyle\\text{sen}^2\\left(\\frac{\\alpha+\\beta}{2}\\right)- \\text{sen}^2\\left(\\frac{\\alpha-\\beta}{2}\\right)=\\frac{1-\\cos(\\alpha+\\beta)}{2}-\\frac{1-\\cos(\\alpha-\\beta)}{2}=$<\/p>\n\n\n\n

$=\\displaystyle\\frac{1-\\cos(\\alpha+\\beta)-1+\\cos(\\alpha-\\beta)}{2}=\\frac{\\cos(\\alpha-\\beta)-\\cos(\\alpha+\\beta)}{2}=$<\/p>\n\n\n\n

$=\\displaystyle\\frac{\\cos\\alpha\\cos\\beta+\\text{sen}\\,\\alpha\\,\\text{sen}\\,\\beta-\\cos\\alpha\\cos\\beta+\\text{sen}\\,\\alpha\\,\\text{sen}\\,\\beta}{2}=\\frac{2\\,\\text{sen}\\,\\alpha\\,\\text{sen}\\,\\beta}{2}=\\text{sen}\\,\\alpha\\,\\text{sen}\\,\\beta$<\/p>\n\n\n\n

\n<\/details>\n\n\n\n

3)<\/strong> $\\text{sen}\\,3x=3\\,\\text{sen}\\, x\\cos^2x-\\text{sen}^3\\,x$<\/p>\n\n\n\n

Soluci\u00f3n<\/summary>\n

Ponemos \\(\\text{sen}\\,3x=\\text{sen}(2x+x)\\) y usamos la f\u00f3rmula del seno de la suma. Luego usamos las f\u00f3rmulas del seno y del coseno del \u00e1ngulo doble.<\/p>\n\n\n\n

$\\text{sen}\\,3x=\\text{sen}(2x+x)=\\text{sen}\\,2x\\,\\cos x+\\cos2x\\,\\text{sen}\\, x=$<\/p>\n\n\n\n

$=2\\,\\text{sen}\\, x\\,\\cos x\\cos x+(\\cos^2x-\\text{sen}^2\\,x)\\,\\text{sen}\\, x=$<\/p>\n\n\n\n

$=2\\,\\text{sen}\\, x\\,\\cos^2x+\\text{sen}\\, x\\,\\cos^2x-\\text{sen}^3\\,x=3\\,\\text{sen}\\, x\\,\\cos^2x-\\text{sen}^3\\,x$<\/p>\n\n\n\n

\n<\/details>\n\n\n\n

4)<\/strong> $\\displaystyle\\frac{2\\,\\text{sen}\\,x-\\text{sen}\\,2x}{2\\,\\text{sen}\\, x+\\text{sen}\\,2x}=\\frac{1-\\cos x}{1+\\cos x}$<\/p>\n\n\n\n

Soluci\u00f3n<\/summary>\n

Este es muy f\u00e1cil haciendo uso de la f\u00f3rmula del seno del \u00e1ngulo doble:<\/p>\n\n\n\n

$\\displaystyle\\frac{2\\,\\text{sen}\\, x-\\text{sen}\\,2x}{2\\,\\text{sen}\\, x+\\text{sen}\\,2x}=\\frac{2\\,\\text{sen}\\, x-2\\,\\text{sen}\\, x\\,\\cos x}{2\\,\\text{sen}\\, x+2\\,\\text{sen}\\, x\\,\\cos x}=\\frac{2\\,\\text{sen}\\, x\\,(1-\\cos x)}{2\\,\\text{sen}\\, x\\,(1+\\cos x)}=\\frac{1-\\cos x}{1+\\cos x}$<\/p>\n\n\n\n

\n<\/details>\n\n\n\n

5)<\/strong> $\\displaystyle\\frac{\\cos x+\\text{sen}\\, x}{\\cos x-\\text{sen}\\, x}-\\frac{\\cos x-\\text{sen}\\, x}{\\cos x+\\text{sen}\\, x}=2\\text{tg}\\,2x$<\/p>\n\n\n\n

Soluci\u00f3n<\/summary>\n

Demostraremos esta identidad trigonom\u00e9trica restando las dos fracciones del primer miembro y luego usando algunas f\u00f3rmulas trigonom\u00e9tricas.<\/p>\n\n\n\n

$\\displaystyle\\frac{\\cos x+\\text{sen}\\, x}{\\cos x-\\text{sen}\\, x}-\\frac{\\cos x-\\text{sen}\\, x}{\\cos x+\\text{sen}\\, x}=\\frac{(\\cos x+\\text{sen}\\, x)^2-(\\cos x-\\text{sen}\\, x)^2}{(\\cos x-\\text{sen}\\, x)(\\cos x+\\text{sen}\\, x)}$<\/p>\n\n\n\n

$\\displaystyle=\\frac{\\cos^2x+2\\,\\text{sen}\\, x\\,\\cos x+\\text{sen}^2\\,x-(\\cos^2x-2\\,\\text{sen}\\, x\\,\\cos x+\\text{sen}^2\\,x)}{\\cos^2x-\\text{sen}^2\\,x}=$<\/p>\n\n\n\n

$\\displaystyle=\\frac{1+2\\,\\text{sen}\\, x\\cos x-1+2\\,\\text{sen}\\, x\\,\\cos x}{\\cos^2x-\\text{sen}^2\\,x}=\\frac{\\text{sen}\\,2x+\\text{sen}\\,2x}{\\cos2x}=\\frac{2\\,\\text{sen}\\,2x}{\\cos2x}=2\\,\\text{tg}\\,2x$<\/p>\n\n\n\n

\n<\/details>\n\n\n\n

6)<\/strong> $\\displaystyle1-\\frac{1}{2}\\text{sen}\\,2x=\\frac{\\text{sen}^3\\,x+\\cos^3x}{\\text{sen}\\, x+\\cos x}$<\/p>\n\n\n\n

Soluci\u00f3n<\/summary>\n

Demostrar la identidad<\/p>\n\n\n\n

$\\displaystyle1-\\frac{1}{2}\\text{sen}\\,2x=\\frac{\\text{sen}^3\\,x+\\cos^3x}{\\text{sen}\\, x+\\cos x}$<\/p>\n\n\n\n

es lo mismo que demostrar la siguiente identidad<\/p>\n\n\n\n

$\\displaystyle(\\text{sen}\\, x+\\cos x)\\left(1-\\frac{1}{2}\\text{sen}\\,2x\\right)=\\text{sen}^3\\,x+\\cos^3x$<\/p>\n\n\n\n

Demostraremos pues esta \u00faltima.<\/p>\n\n\n\n

$\\displaystyle(\\text{sen}\\, x+\\cos x)\\left(1-\\frac{1}{2}\\text{sen}\\,2x\\right)=(\\text{sen}\\, x+\\cos x)\\left(1-\\frac{1}{2}2\\,\\text{sen}\\, x\\,\\cos x\\right)=$<\/p>\n\n\n\n

$=(\\text{sen}\\, x+\\cos x)(1-\\text{sen}\\, x\\,\\cos x)=\\text{sen}\\, x-\\text{sen}^2\\,x\\,\\cos x+\\cos x-\\text{sen}\\, x\\,\\cos^2x=$<\/p>\n\n\n\n

$=\\text{sen}\\, x-(1-\\cos^2x)\\cos x+\\cos x-\\text{sen}\\, x(1-\\text{sen}^2\\,x)=$<\/p>\n\n\n\n

$=\\text{sen}\\, x-\\cos x+\\cos^3x+\\cos x-\\text{sen}\\, x+\\text{sen}^3\\,x=\\text{sen}^3\\,x+\\cos^3x$<\/p>\n\n\n\n

\n<\/details>\n\n\n\n

Expresiones trigonom\u00e9tricas<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Adem\u00e1s de la demostraci\u00f3n de identidades trigonom\u00e9tricas, tambi\u00e9n es habitual, en un primer curso de bachillerato, pedir la simplificaci\u00f3n de expresiones algebraicas que contengan razones trigonom\u00e9tricas (abreviadamente expresiones trigonom\u00e9tricas<\/strong>). La ventaja que tiene lanzarse a la demostraci\u00f3n de una identidad trigonom\u00e9trica, como es el caso de cualquiera de las anteriores, es que sabemos d\u00f3nde queremos llegar. Conocemos los dos miembros de la igualdad y, partiendo de uno, sabemos que tenemos que llegar al otro. Es m\u00e1s, podemos simplificar ambos t\u00e9rminos. Si llegamos a la misma expresi\u00f3n, tendremos demostrada la identidad. Esto no ocurre si nos piden simplificar una expresi\u00f3n trigonom\u00e9trica. En este caso vamos \u201ca ciegas\u201d: partimos de una expresi\u00f3n y la vamos transformando usando nuestras f\u00f3rmulas trigonom\u00e9tricas hasta que consideremos que est\u00e1 adecuadamente simplificada. Imaginemos que nos piden simplificar la siguiente expresi\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n

$$\\frac{\\text{sen}\\,2\\alpha}{1-\\cos^2\\alpha}$$<\/p>\n\n\n\n

Haciendo uso de la f\u00f3rmula del seno del \u00e1ngulo doble y de la f\u00f3rmula fundamental de la trigonometr\u00eda podremos transformarla y simplificarla:<\/p>\n\n\n\n

$$\\frac{\\text{sen}\\,2\\alpha}{1-\\cos^2\\alpha}=\\frac{2\\,\\text{sen}\\,\\alpha\\,\\cos\\alpha}{\\text{sen}^2\\,\\alpha}=\\frac{2\\cos\\alpha}{\\text{sen}\\,\\alpha}=2\\,\\text{cotg}\\,\\alpha$$<\/p>\n\n\n\n

La raz\u00f3n trigonom\u00e9trica $\\text{cotg}$ es la cotangente<\/strong> y se define del siguiente modo: <\/p>\n\n\n\n

$$\\text{cotg}\\,\\alpha=\\dfrac{1}{\\text{tg}\\,\\alpha}=\\dfrac{\\text{sen}\\,\\alpha}{\\cos\\alpha}$$<\/p>\n\n\n\n

Vamos a proponer como ejercicio la simplificaci\u00f3n de algunas expresiones trigonom\u00e9tricas. Tambi\u00e9n daremos la soluci\u00f3n (oculta, en principio) de cada una de ellas.<\/p>\n\n\n\n

1)<\/strong> $\\displaystyle\\frac{2\\cos(45^{\\circ}+\\alpha)\\cos(45^{\\circ}-\\alpha)}{\\cos2\\alpha}$<\/p>\n\n\n\n

Soluci\u00f3n<\/summary>\n

Usamos las f\u00f3rmulas del coseno de la suma y del coseno de la diferencia, y la f\u00f3rmula del coseno del \u00e1ngulo doble:<\/p>\n\n\n\n

$\\displaystyle\\frac{2\\cos(45^{\\circ}+\\alpha)\\cos(45^{\\circ}-\\alpha)}{\\cos2\\alpha}=$<\/p>\n\n\n\n

$\\displaystyle=\\frac{2(\\cos45^{\\circ}\\cos\\alpha-\\text{sen}\\,45^{\\circ}\\,\\text{sen}\\,\\alpha) (\\cos45^{\\circ}\\cos\\alpha+\\text{sen}\\,45^{\\circ}\\,\\text{sen}\\,\\alpha)}{\\cos^2\\alpha-\\text{sen}^2\\,\\alpha}=$<\/p>\n\n\n\n

Ahora usamos la conocida igualdad notable \u00absuma por diferencia igual a diferencia de cuadrados\u00bb y que \\(\\text{sen}\\,45^{\\circ}=\\cos45^{\\circ}=\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\), con lo que \\(\\text{sen}\\,^2\\,45^{\\circ}=\\cos^245^{\\circ}=\\dfrac{2}{4}=\\dfrac{1}{2}\\):<\/p>\n\n\n\n

$\\displaystyle=\\frac{2(\\cos^245^{\\circ}\\cos^2\\alpha-\\text{sen}^2\\,45^{\\circ}\\text{sen}^2\\,\\alpha)}{\\cos^2\\alpha-\\text{sen}^\\,2\\alpha}=\\frac{2(\\frac{1}{2}\\cos^2\\alpha-\\frac{1}{2}\\text{sen}^2\\,\\alpha)} {\\cos^2\\alpha-\\text{sen}^2\\,\\alpha}=\\frac{\\cos^2\\alpha-\\text{sen}^2\\,\\alpha}{\\cos^2\\alpha-\\text{sen}^2\\,\\alpha}=1$<\/p>\n\n\n\n

\n<\/details>\n\n\n\n

2)<\/strong> $\\displaystyle\\frac{\\text{sen}^2\\,\\alpha} {1-\\cos\\alpha} \\left(1+\\text{tg}^2\\frac{\\alpha}{2}\\right)$<\/p>\n\n\n\n

Soluci\u00f3n<\/summary>\n

Usaremos ahora la f\u00f3rmula de la tangente del \u00e1ngulo mitad:<\/p>\n\n\n\n

$\\displaystyle\\frac{\\text{sen}^2\\,\\alpha} {1-\\cos\\alpha} \\left(1+\\text{tg}^2\\frac{\\alpha}{2}\\right)=\\frac{\\text{sen}^2\\,\\alpha} {1-\\cos\\alpha}\\left(1+\\frac{1-\\cos\\alpha}{1+\\cos\\alpha}\\right)=$<\/p>\n\n\n\n

$\\displaystyle= \\frac{\\text{sen}^2\\,\\alpha} {1-\\cos\\alpha}\\left(\\frac{1+\\cos\\alpha+1-\\cos\\alpha}{1+\\cos\\alpha}\\right)=$<\/p>\n\n\n\n

$\\displaystyle=\\frac{\\text{sen}^2\\,\\alpha} {1-\\cos\\alpha}\\cdot\\frac{2}{1+\\cos\\alpha}=\\frac{2\\,\\text{sen}^2\\,\\alpha}{1-\\cos^2\\alpha}=\\frac{2\\,\\text{sen}^2\\,\\alpha}{\\text{sen}^2\\,\\alpha}=2$<\/p>\n\n\n\n

\n<\/details>\n\n\n\n

3)<\/strong> $\\displaystyle\\frac{\\text{sen}\\,\\alpha+\\text{cotg}\\,\\alpha}{\\text{tg}\\,\\alpha+\\text{cosec}\\alpha}$, donde $\\text{cosec}$ es la raz\u00f3n cosecante<\/strong>: $\\text{cosec}\\,\\alpha=\\dfrac{1}{\\text{sen}\\,\\alpha}$<\/p>\n\n\n\n

Soluci\u00f3n<\/summary>\n

$\\displaystyle\\frac{\\text{sen}\\,\\alpha+\\text{cotg}\\,\\alpha}{\\text{tg}\\,\\alpha+\\text{cosec}\\,\\alpha}=\\frac{\\text{sen}\\,\\alpha+\\dfrac{\\cos\\alpha}{\\text{sen}\\,\\alpha}}{\\dfrac{\\text{sen}\\,\\alpha}{\\cos\\alpha}+\\dfrac{1}{\\text{sen}\\,\\alpha}}= \\frac{\\dfrac{\\text{sen}^2\\,\\alpha+\\cos\\alpha}{\\text{sen}\\,\\alpha}}{\\dfrac{\\text{sen}\\,^2\\,\\alpha+\\cos\\alpha}{\\text{sen}\\,\\alpha\\cos\\alpha}}=$<\/p>\n\n\n\n

$\\displaystyle=\\frac{\\text{sen}\\,\\alpha\\cos\\alpha(\\text{sen}^2\\,\\alpha+\\cos\\alpha)} {\\text{sen}\\,\\alpha(\\text{sen}^2\\,\\alpha+\\cos\\alpha)}=\\cos\\alpha$<\/p>\n\n\n\n

\n<\/details>\n\n\n\n

4)<\/strong> $\\displaystyle2\\,\\text{tg}\\,\\alpha\\,\\cos^2\\frac{\\alpha}{2}-\\text{sen}\\,\\alpha$<\/p>\n\n\n\n

Soluci\u00f3n<\/summary>\n

Usaremos la f\u00f3rmula del coseno del \u00e1ngulo mitad:<\/p>\n\n\n\n

$\\displaystyle2\\,\\text{tg}\\,\\alpha\\cos^2\\frac{\\alpha}{2}-\\text{sen}\\,\\alpha=2\\cdot\\frac{\\text{sen}\\,\\alpha}{\\cos\\alpha}\\cdot\\frac{1+\\cos\\alpha}{2}-\\text{sen}\\,\\alpha=\\frac{2\\,\\text{sen}\\,\\alpha(1+\\cos\\alpha)}{2\\,\\cos\\alpha}-\\text{sen}\\,\\alpha=$<\/p>\n\n\n\n

$\\displaystyle=\\frac{\\text{sen}\\,\\alpha+\\text{sen}\\,\\alpha\\cos\\alpha} {\\cos\\alpha}-\\text{sen}\\,\\alpha=$<\/p>\n\n\n\n

$\\displaystyle=\\frac{\\text{sen}\\,\\alpha+\\text{sen}\\,\\alpha\\,\\cos\\alpha-\\text{sen}\\,\\alpha\\,\\cos\\alpha}{\\cos\\alpha}=\\frac{\\text{sen}\\,\\alpha}{\\cos\\alpha}=\\text{tg}\\,\\alpha$<\/p>\n\n\n\n

\n<\/details>\n\n\n\n

5)<\/strong> $\\displaystyle\\frac{\\text{sen}\\,\\alpha+\\text{sen}\\,2\\alpha}{1+\\cos\\alpha+\\cos2\\alpha}$<\/p>\n\n\n\n

Soluci\u00f3n<\/summary>\n

Haremos uso de las f\u00f3rmulas del seno y del coseno del \u00e1ngulo doble, as\u00ed como de la f\u00f3rmula fundamental de la trigonometr\u00eda:<\/p>\n\n\n\n

$\\displaystyle\\frac{\\text{sen}\\,\\alpha+\\text{sen}\\,2\\alpha}{1+\\cos\\alpha+\\cos2\\alpha}=\\frac{\\text{sen}\\,\\alpha+2\\,\\text{sen}\\,\\alpha\\,\\cos\\alpha}{1+\\cos\\alpha+\\cos^2\\alpha-\\text{sen}^2\\,\\alpha}=$<\/p>\n\n\n\n

$\\displaystyle=\\frac{\\text{sen}\\,\\alpha+2\\,\\text{sen}\\,\\alpha\\,\\cos\\alpha}{1+\\cos\\alpha+\\cos^2\\alpha-(1-\\cos^2\\alpha)}=\\frac{\\text{sen}\\,\\alpha+2\\,\\text{sen}\\,\\alpha\\,\\cos\\alpha}{\\cos\\alpha+2\\cos^2\\alpha}=$<\/p>\n\n\n\n

$\\displaystyle= \\frac{\\text{sen}\\,\\alpha(1+2\\cos\\alpha)}{\\cos\\alpha(1+2\\cos\\alpha)}=\\frac{\\text{sen}\\,\\alpha}{\\cos\\alpha}=\\text{tg}\\,\\alpha$<\/p>\n\n\n\n

\n<\/details>\n\n\n\n

6)<\/strong> $\\displaystyle\\frac{\\text{sec}^2\\,x}{1-\\text{tg}^2\\,x}$, donde $\\text{sec}$ es la raz\u00f3n secante<\/strong>: $\\text{sec}\\,\\alpha=\\dfrac{1}{\\cos\\alpha}$<\/p>\n\n\n\n

Soluci\u00f3n<\/summary>\n

$\\displaystyle\\frac{\\text{sec}^2\\,x}{1-\\text{tg}^2\\,x}=\\frac{\\dfrac{1}{\\cos^2x}}{1-\\dfrac{\\text{sen}^2\\,x}{\\cos^2x}}=\\frac{\\dfrac{1}{\\cos^2x}}{\\dfrac{\\cos^2x-\\text{sen}^2\\,x}{\\cos^2x}}=\\frac{\\cos^2x}{\\cos^2x(\\cos^2x-\\text{sen}^2\\,x)}=$<\/p>\n\n\n\n

$\\displaystyle=\\frac{1}{\\cos^2x-\\text{sen}^2\\,x}=\\begin{cases}\\dfrac{1}{\\cos2x}=\\text{sec}\\,2x\\\\ \\dfrac{1}{\\cos^2x-(1-\\cos^2x)}=\\dfrac{1}{2\\cos^2x-1} \\end{cases}$<\/p>\n\n\n\n

En el paso final las dos formas de simplificaci\u00f3n se pueden considerar correctas. T\u00e9ngase en cuenta que $\\cos^2x-\\text{sen}^2\\,x=\\cos2x$ (f\u00f3rmula del coseno del \u00e1ngulo doble).<\/p>\n\n\n\n

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Identidades trigonom\u00e9tricas Una identidad trigonom\u00e9trica es una igualdad entre expresiones algebraicas en la que aparecen razones trigonom\u00e9tricas, cierta para cualquier valor de la variable o parte literal. Las identidades trigonom\u00e9tricas m\u00e1s conocidas son la f\u00f3rmula fundamental de la trigonometr\u00eda y la identidad que relaciona las razones trigonom\u00e9tricas seno, coseno y tangente. Son, respectivamente, las siguientes:$$\\text{sen}^2\\,x+\\cos^2x=1\\quad;\\quad\\text{tg}\\,x=\\dfrac{\\text{sen}\\,x}{\\cos […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-3433","page","type-page","status-publish","hentry","post"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/3433","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=3433"}],"version-history":[{"count":28,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/3433\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3494,"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/3433\/revisions\/3494"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/matematicastro.es\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=3433"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}