{"id":3341,"date":"2025-02-27T17:43:29","date_gmt":"2025-02-27T16:43:29","guid":{"rendered":"https:\/\/matematicastro.es\/?page_id=3341"},"modified":"2025-02-27T21:51:01","modified_gmt":"2025-02-27T20:51:01","slug":"ecuaciones-trigonometricas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/matematicastro.es\/?page_id=3341","title":{"rendered":"Ecuaciones trigonom\u00e9tricas"},"content":{"rendered":"\n

Una ecuaci\u00f3n trigonom\u00e9trica<\/strong> es aquella en la que la inc\u00f3gnita est\u00e1 afectada por alguna raz\u00f3n trigonom\u00e9trica o, lo que es lo mismo, la inc\u00f3gnita se encuentra entre el argumento de alguna raz\u00f3n trigonom\u00e9trica.<\/p>\n\n\n\n

As\u00ed, la igualdad \\(\\cos x=\\frac{1}{2}\\) es una ecuaci\u00f3n trigonom\u00e9trica sencilla. La soluci\u00f3n ser\u00e1 el \u00e1ngulo cuyo coseno es \\(\\frac{1}{2}\\). Si consideramos que el \u00e1ngulo es menor que \\(360^{\\circ}\\) (primera vuelta), hay dos posibilidades, seg\u00fan que el \u00e1ngulo se encuentre en el primer o en el cuarto cuadrante: \\(x=60^{\\circ}\\), \\(x=300^{\\circ}\\) (el coseno es positivo en el primer cuadrante y en el cuarto cuadrante).<\/p>\n\n\n\n

En algunas ecuaciones trigonom\u00e9tricas habr\u00e1 que hacer uso de las f\u00f3rmulas trigonom\u00e9tricas para resolverlas. En general, para resolver una ecuaci\u00f3n trigonom\u00e9trica lo que hemos de conseguir es transformarla en otra ecuaci\u00f3n equivalente en la que solamente aparezca una raz\u00f3n trigonom\u00e9trica. A partir de ah\u00ed puede que todo sea m\u00e1s sencillo. <\/p>\n\n\n\n

Tambi\u00e9n es conveniente tener en cuenta estas dos relaciones (\u00a1pi\u00e9nsalas!):<\/p>\n\n\n\n

$$\\text{sen}\\,x=\\cos x\\Leftrightarrow \\begin{cases} x=45^{\\circ} \\\\x=225^{\\circ} \\end{cases}\\quad;\\quad-\\text{sen}\\,x=\\cos x\\Leftrightarrow \\begin{cases} x=135^{\\circ} \\\\x=315^{\\circ} \\end{cases}$$<\/p>\n\n\n\n

Vamos a hacer algunas ecuaciones trigonom\u00e9tricas como ejemplo. En todas ellas daremos la soluci\u00f3n o soluciones correspondientes a la primera vuelta, es decir, entre $0^{\\circ}$ y $360^{\\circ}$.<\/p>\n\n\n\n

1)<\/strong> $\\cos^2x-3\\cos x+2=0$<\/p>\n\n\n\n

Soluci\u00f3n<\/summary>\n

En este ejemplo la ecuaci\u00f3n trigonom\u00e9trica equivale a una ecuaci\u00f3n de segundo grado. Haciendo \\(\\cos x=z\\), la ecuaci\u00f3n anterior se transforma en \\(z^2-3z+2=0\\), cuyas soluciones son \\(z=1\\) y \\(z=2\\). Por tanto \\(\\cos x=1\\) y \\(\\cos x=2\\). La ecuaci\u00f3n \\(\\cos x=2\\) no proporciona soluciones pues el coseno de un \u00e1ngulo se encuentra siempre entre \\(-1\\) y \\(1\\). Si \\(\\cos x=1\\), entonces \\(x=0^{\\circ}\\), que es la soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

\n<\/details>\n\n\n\n

2)<\/strong> $\\text{sen}\\,x+\\cos x=1$<\/p>\n\n\n\n

Soluci\u00f3n<\/summary>\n

De la f\u00f3rmula fundamental de la trigonometr\u00eda, \\(\\text{sen}^2\\,x+\\cos^2x=1\\), se deduce que \\(\\text{sen}\\, x=\\sqrt{1-\\cos^2x}\\) y de aqu\u00ed:<\/p>\n\n\n\n

$\\text{sen}\\, x+\\cos x=1\\Rightarrow\\text{sen}\\, x=1-\\cos x\\Rightarrow\\sqrt{1-\\cos^2x}=1-\\cos x$<\/p>\n\n\n\n

Ahora, elevando los dos miembros al cuadrado:<\/p>\n\n\n\n

$1-\\cos^2x=1-2\\cos x+\\cos^2x\\Rightarrow 2\\cos^2x-2\\cos x=0\\Rightarrow$<\/p>\n\n\n\n

$\\Rightarrow2\\cos x(\\cos x-1)=0\\Rightarrow\\begin{cases}\\cos x=0\\\\cos x =1\\end{cases}\\Rightarrow\\begin{cases}x=90^{\\circ}\\\\x=270^{\\circ}\\\\x=0^{\\circ}\\end{cases}$<\/p>\n\n\n\n

La soluci\u00f3n \\(x=270^{\\circ}\\) hay que descartarla porque no cumple la ecuaci\u00f3n original, ya que \\(\\text{sen}\\, 270^{\\circ}=-1\\) y entonces, sustituyendo, ser\u00eda $-1+\\cos 270^{\\circ}=1$, con lo que $\\cos 270^{\\circ}=2$, que es una contradicci\u00f3n, porque el coseno siempre se encuentra entre $-1$ y $1$.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Otra forma de resolver esta ecuaci\u00f3n es elevar directamente los dos miembros al cuadrado:<\/p>\n\n\n\n

$(\\text{sen}\\, x+\\cos x)^2=1^2\\Rightarrow \\text{sen}^2\\,x+2\\text{sen}\\, x\\cos x+\\cos^2x=1\\Rightarrow$<\/p>\n\n\n\n

$\\Rightarrow2\\text{sen}\\, x\\cos x+1=1\\Rightarrow2\\text{sen}\\, x\\cos x=0$<\/p>\n\n\n\n

Ahora usando la f\u00f3rmula del seno del \u00e1ngulo doble, $\\text{sen}\\, 2x=2\\text{sen}\\, x\\cos x$, tenemos:<\/p>\n\n\n\n

$\\text{sen}\\, 2x=0\\Rightarrow\\begin{cases} 2x=0^{\\circ}\\\\2x=180^{\\circ}\\end{cases}\\Rightarrow\\begin{cases}x=0^{\\circ}\\\\x=90^{\\circ}\\end{cases}$<\/p>\n\n\n\n

\n<\/details>\n\n\n\n

3)<\/strong> $\\displaystyle 1=\\frac{\\text{sen}\\,2x}{2}+\\cos^2x$<\/p>\n\n\n\n

Soluci\u00f3n<\/summary>\n

Haciendo uso de la f\u00f3rmula del seno del \u00e1ngulo doble, \\(\\text{sen}\\,2x=2\\text{sen}\\,x\\cos x\\), tenemos:<\/p>\n\n\n\n

$\\displaystyle1=\\frac{2\\text{sen}\\,x\\cos x}{2}+\\cos^2x\\Rightarrow1=\\text{sen}\\,x\\cos x+\\cos^2x\\Rightarrow1-\\cos^2x-\\text{sen}\\,x\\cos x=0$<\/p>\n\n\n\n

De la f\u00f3rmula fundamental de la trigonometr\u00eda, $\\text{sen}^2\\,x+\\cos^2x=1$, se deduce que $1-\\cos^2x=\\text{sen}\\,^2x$. Entonces:<\/p>\n\n\n\n

$\\text{sen}^2\\,x-\\text{sen}\\,x\\cos x=0\\Rightarrow\\text{sen}\\, x(\\text{sen}\\,x-\\cos x)\\Rightarrow\\begin{cases}\\text{sen}\\,x=0\\\\ \\text{sen}\\, x=\\cos x\\end{cases}$<\/p>\n\n\n\n

Si \\(\\text{sen}\\, x=0\\), entonces \\(x=0^{\\circ}\\) y \\(x=180^{\\circ}\\).<\/p>\n\n\n\n

Si \\(\\text{sen}\\,x=\\cos x\\), entonces \\(x=45^{\\circ}\\) y \\(x=225^{\\circ}\\) (recuerda que si el seno de un \u00e1ngulo es igual que su coseno, el \u00e1ngulo es $45^{\\circ}$, o bien $225^{\\circ}$).<\/p>\n\n\n\n

\n<\/details>\n\n\n\n

4)<\/strong> $\\displaystyle\\text{sen}^2\\,x=\\frac{3(1-\\cos x)}{2}$<\/p>\n\n\n\n

Soluci\u00f3n<\/summary>\n

Multiplicando por \\(2\\) y haciendo uso de la f\u00f3rmula fundamental de la trigonometr\u00eda tenemos:<\/p>\n\n\n\n

$2(1-\\cos^2x)=3(1-\\cos x)\\Rightarrow 2-2\\cos^2x=3-3\\cos x\\Rightarrow 2\\cos^2x-3\\cos x+1=0$<\/p>\n\n\n\n

Resolviendo la ecuaci\u00f3n de segundo grado:<\/p>\n\n\n\n

$\\displaystyle\\cos x=\\frac{3\\pm\\sqrt{9-8}}{4}=\\frac{3\\pm1}{4}\\Rightarrow\\begin{cases} \\cos x=1\\\\ \\cos x=\\frac{1}{2}\\end{cases}\\Rightarrow\\begin{cases}x=0^{\\circ}\\\\ x=60^{\\circ}\\\\ x=300^{\\circ}\\end{cases}$<\/p>\n\n\n\n

\n<\/details>\n\n\n\n

5)<\/strong> $\\text{sen}\\, 3x-\\cos 3x=\\text{sen}\\, x-\\cos x$<\/p>\n\n\n\n

Soluci\u00f3n<\/summary>\n

Para resolver esta ecuaci\u00f3n vamos a recurrir a la transformaci\u00f3n de sumas y restas en productos (nos referimos a las cuatro \u00faltimas f\u00f3rmulas de la relaci\u00f3n de f\u00f3rmulas trigonom\u00e9tricas<\/a>).<\/p>\n\n\n\n

$\\displaystyle\\text{sen}\\, 3x-\\cos 3x=\\text{sen}\\, x-\\cos x\\Rightarrow \\text{sen}\\, 3x-\\text{sen}\\, x=\\cos 3x-\\cos x\\Rightarrow$<\/p>\n\n\n\n

$\\Rightarrow 2\\,\\cos2x\\,\\text{sen}\\, x=-2\\,\\text{sen}\\,2x\\,\\text{sen}\\, x\\Rightarrow 2\\,\\cos2x\\,\\text{sen}\\, x+2\\,\\text{sen}\\,2x\\,\\text{sen}\\, x=0\\Rightarrow$<\/p>\n\n\n\n

$\\Rightarrow 2\\text{sen}\\, x(\\cos2x+\\text{sen}\\,2x)=0\\Rightarrow\\begin{cases}\\text{sen}\\, x=0\\\\ \\cos2x=-\\text{sen}\\,2x\\end{cases}\\Rightarrow$<\/p>\n\n\n\n

$\\Rightarrow\\begin{cases}x=0^{\\circ}\\\\x=180^{\\circ}\\\\2x=135^{\\circ}\\\\2x=315^{\\circ}\\end{cases}\\Rightarrow\\begin{cases}x=0^{\\circ}\\\\x=180^{\\circ}\\\\x=67,5^{\\circ}\\\\x=157,5^{\\circ}\\end{cases}$<\/p>\n\n\n\n

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